王 浩,韓振華,周醞晨,石萬(wàn)凱,單文桃,曹忠亮

(1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,常州 213001;2.南京華秦光聲科技有限責(zé)任公司,南京 210034;3.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

0 引言

輪齒承載能力是評(píng)價(jià)齒輪傳動(dòng)品質(zhì)的一項(xiàng)重要標(biāo)準(zhǔn),齒間載荷分配系數(shù)和面接觸應(yīng)力的模型精度是齒輪承載接觸力學(xué)計(jì)算結(jié)果精確性的前提與關(guān)鍵[1]。齒輪修形可以有效改善齒輪動(dòng)載荷變化梯度,減少?zèng)_擊、振動(dòng)與噪音,對(duì)提高齒輪傳動(dòng)品質(zhì)有十分重要的作用。然而,已有的齒輪承載接觸分析力學(xué)解析模型大都只能考慮鼓形的齒向修形,較難計(jì)入齒廓修形的影響[2-4]。

對(duì)于齒輪承載過(guò)程中產(chǎn)生的齒面接觸應(yīng)力,學(xué)者常采用有限元法和解析法。其中,有限元法建模精度高,且計(jì)算結(jié)果精確,因而得到較為廣泛的應(yīng)用。朱才朝[5]利用基于勢(shì)能法的三段函數(shù)式齒間載荷分配系數(shù)模型分析齒輪的彈流潤(rùn)滑特性;AZNAR等[6]采用MPC算法與局部網(wǎng)格細(xì)化法優(yōu)化齒輪的承載接觸有限元模型,提高了計(jì)算精度與效率;MAPER等[7]建立了包含齒廓修形的漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪承載接觸有限元模型;唐進(jìn)元等[8]利用有限元分析了正交面齒輪的重合度、載荷分布、接觸應(yīng)力等承載接觸性能參數(shù);白恩軍等[9]建立了斜齒圓柱齒輪承載接觸有限元模型。然而,有限元算法計(jì)算精度依賴于模型的網(wǎng)格質(zhì)量和局部網(wǎng)格細(xì)化程度,存在計(jì)算效率低、收斂難的問(wèn)題。

相較于有限元法,基于赫茲彈性接觸理論的力學(xué)解析算法,計(jì)算快捷高效受到了越來(lái)越多的關(guān)注與研究。王會(huì)良等[10]基于齒輪TCA法和齒面柔度系數(shù),分析齒輪承載接觸特性,建立了齒輪LTCA理論;曹雪梅等[11]提出一種簡(jiǎn)化輪齒接觸分析中非線性方程數(shù)量的分解算法,提高了計(jì)算效率;王羽達(dá)等[12]基于輪齒TCA模型和赫茲接觸理論,計(jì)算了漸開(kāi)線齒輪的動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力。

綜上所述,傳統(tǒng)齒間載荷分配系數(shù)解析建模未考慮齒廓修形及其引起的單雙齒接觸區(qū)域變化,無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算承載嚙合齒對(duì)的齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力,同時(shí),LTCA方法大都僅在TCA分析階段考慮齒廓修形,而在齒面柔度系數(shù)或承載接觸分析時(shí)采用有限元方法。為此,本文以齒廓修形的漸開(kāi)線直齒輪為研究對(duì)象,提出修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)的s判定方法與相應(yīng)的嚙合剛度計(jì)算方法,建立更為精確的修形齒輪齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力解析算法,對(duì)不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)條件下的齒輪算例進(jìn)行承載接觸分析,并與同參數(shù)下的有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證解析算法的精度與穩(wěn)定性。

1 齒廓修形的漸開(kāi)線直齒輪模型

為建立齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪的齒廓曲線方程,需確定齒廓最大修形量Δmaxi、修形高度h、修形曲線,根據(jù)文獻(xiàn)[13]最大修形量Δmaxi為:

Δmaxi=ci+0.04FtB-1

(1)

式中:Δmaxi、ci分別為最大修形量與修形修正量(i為1、2,用以區(qū)分參與嚙合的主/從動(dòng)輪),相應(yīng)的主/從動(dòng)輪修形修正量c1、c2分別取9與4[13],Ft為接觸點(diǎn)的圓周力,B為齒輪寬度。

建立坐標(biāo)系XdOYd,如圖1所示,以Δx作為增量等距離散嚙合線,并在圓周方向上計(jì)算出輪齒1上的齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn),若該點(diǎn)位于修形齒廓區(qū)域內(nèi),嚙合線離散點(diǎn)的齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的修形量Δj為:

圖1 基于主動(dòng)輪的嚙合線等距離散示意圖

Δj=Δmaxi(x/L)k

(2)

式中:修形曲線變化系數(shù)k由選取的修形曲線確定[14],Linear、Yoshio、Walker與拋物線修形曲線變化系數(shù)k分別為1.0、1.2、1.5與2.0,x為嚙合點(diǎn)M在嚙合線方向上距離單雙齒變化點(diǎn)A的距離,L為輪齒2的修形區(qū)域在高度方向上對(duì)應(yīng)至嚙合線A點(diǎn)至C點(diǎn)的線段長(zhǎng)度(長(zhǎng)修形),C點(diǎn)為輪齒1的嚙合起始點(diǎn);另外,根據(jù)文獻(xiàn)[15],正弦修形曲線的嚙合點(diǎn)修形量為:

Δj=Δmaxisin(πx/L)

(3)

確定齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的修形量Δj后,根據(jù)漸開(kāi)線齒廓曲線展成原理,可建立修形齒廓曲線參數(shù)方程為:

(4)

式中:u為嚙合線離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線齒廓處的參角,u=θ+αt,θ為嚙合點(diǎn)處展角,αt為壓力角。

2 修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)判定與嚙合剛度

標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪副在承載嚙合傳動(dòng)過(guò)程中齒輪嚙合剛度主要包括3部分:輪齒剛度(彎曲剛度kb、剪切剛度ks與徑向壓縮剛度ka)、齒輪接觸剛度kc與齒輪基體剛度kf。單齒嚙合剛度Ki為上述各剛度的串聯(lián)形式,雙齒嚙合剛度Kall為兩對(duì)輪齒嚙合剛度的并聯(lián)形式[16-17]。

(5)

(6)

式中:i為1、2,用于區(qū)分參與嚙合的不同齒對(duì),下標(biāo)g、e分別表示主動(dòng)輪與從動(dòng)輪。

當(dāng)采用齒廓修形時(shí),原單齒嚙合區(qū)間的齒輪嚙合剛度根據(jù)式(5)進(jìn)行計(jì)算,原雙齒嚙合區(qū)間由于修形齒廓參與嚙合,嚙合狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化,需要重新判定嚙合狀態(tài):根據(jù)齒對(duì)嚙合力與嚙合剛度計(jì)算接觸點(diǎn)處沿嚙合線方向的變形量,然后與接觸點(diǎn)處修形量進(jìn)行對(duì)比,基于二者的大小關(guān)系判定修形齒輪副的單雙齒嚙合狀態(tài),并計(jì)算單雙齒的嚙合區(qū)間與嚙合剛度,其中,修形齒輪嚙合剛度定義為KTPM[18]。

如圖2a所示,當(dāng)主動(dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),齒對(duì)1首先進(jìn)入嚙合承擔(dān)載荷,由于齒對(duì)2主動(dòng)輪處存在修形齒廓,當(dāng)齒對(duì)1沿嚙合線方向的變形量δ1大于齒對(duì)2處主動(dòng)輪的齒廓修形量Δ1時(shí),齒對(duì)2將進(jìn)入嚙合并參與傳動(dòng),此時(shí)兩對(duì)輪齒共同承擔(dān)負(fù)載扭矩Tc,并在嚙合線方向上的兩處作用點(diǎn)產(chǎn)生嚙合力F1、F2,根據(jù)力矩平衡和廣義胡克定律可得:

(7)

(a) 齒對(duì)2受力分析 (b) 齒對(duì)1受力分析

式中:K1、K2與δ1、δ2分別為齒對(duì)1、齒對(duì)2的單齒嚙合剛度與接觸點(diǎn)沿嚙合線方向的變形量,rb2為從動(dòng)輪的基圓半徑。

與此同時(shí),齒對(duì)1沿嚙合線方向的變形量δ1即為整體嚙合變形量δall,則δall=δ1>δ2,相應(yīng)的修形齒輪嚙合剛度KTPM為:

KTPM=Fn/δ1,δall=δ1>δ2

(8)

式中:Fn為齒輪副法向力,根據(jù)式(7)將式(8)推導(dǎo)為:

KTPM=(K1δ1+K2δ2)/δ1,δall=δ1>δ2

(9)

同時(shí),齒對(duì)2在嚙合點(diǎn)處嚙合變形量δ2與修形量Δj之和等于齒對(duì)1處嚙合變形量為δ1。

δ1=Δj+δ2

(10)

將式(10)帶入式(9),可得到:

KTPM=K1+K2-K2Δj(δ1)-1,δall=δ1>δ2

(11)

將式(8)轉(zhuǎn)化為關(guān)于變形量δ1的表達(dá)式,并代入式(11),可推導(dǎo)得出圖2a所示齒對(duì)承載接觸狀態(tài)下的修形齒輪嚙合剛度KTPM,即式(12)中條件為δall=δ1>δ2的表達(dá)式;同樣地,如圖2b所示的齒對(duì)承載接觸狀態(tài),此時(shí)齒對(duì)2沿嚙合線方向的變形量δ2即為整體嚙合變形量δall,即δall=δ2>δ1,同理可推導(dǎo)出相應(yīng)的修形齒輪嚙合剛度KTPM,即式(12)中條件為δall=δ2>δ1的表達(dá)式。因此,圖2所示齒對(duì)承載接觸狀態(tài)下的修形齒輪嚙合剛度KTPM可寫為:

(12)

式(12)即為齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪的嚙合剛度分析方法,下文將建立單雙齒嚙合狀態(tài)的判定模型,確定實(shí)際雙齒嚙合區(qū)間,然后依據(jù)式(12)計(jì)算雙齒區(qū)間內(nèi)的齒輪嚙合剛度。

如圖3所示,基于主動(dòng)輪齒廓,對(duì)齒輪副嚙合區(qū)間進(jìn)行劃分,分析齒對(duì)1、2的接觸嚙合狀態(tài)及相應(yīng)的嚙合剛度,點(diǎn)a1為嚙入點(diǎn),點(diǎn)a3、a4為單雙齒嚙合變化點(diǎn),點(diǎn)a2、a5為原雙齒接觸區(qū)域平分點(diǎn),點(diǎn)a1～點(diǎn)a5將接觸區(qū)域劃分為A1、A2、A3、A4、A5。

(a) 接觸區(qū)域A1參與嚙合 (b) 接觸區(qū)域A2參與嚙合

如圖3a所示,當(dāng)齒對(duì)1以a1點(diǎn)即將進(jìn)入接觸區(qū)域A1參與嚙合時(shí),齒對(duì)1中從動(dòng)輪待接觸區(qū)域存在修形齒廓,若齒對(duì)2沿嚙合線方向的變形量δ2大于齒對(duì)1中從動(dòng)輪修形量Δ2,則齒對(duì)1接觸參與嚙合,即為雙齒嚙合狀態(tài),此時(shí)的修形齒輪嚙合剛度KTPM可依據(jù)式(12)計(jì)算;若齒對(duì)2沿嚙合線方向的變形量δ2小于齒對(duì)1中主動(dòng)輪修形量Δ2,則齒對(duì)1不參與嚙合,此時(shí)為單齒嚙合狀態(tài)(齒對(duì)2單獨(dú)承載),齒對(duì)2的嚙合剛度K2依據(jù)式(5)進(jìn)行計(jì)算。

如圖3b所示,當(dāng)齒對(duì)1以a2點(diǎn)即將進(jìn)入接觸區(qū)域A2參與嚙合時(shí),齒對(duì)2中主動(dòng)輪待接觸區(qū)域存在修形齒廓,若齒對(duì)1沿嚙合線方向的變形量δ1大于齒對(duì)2中主動(dòng)輪修形量Δ1,則齒對(duì)2接觸參與嚙合,即為雙齒嚙合狀態(tài),此時(shí)的修形齒輪嚙合剛度KTPM可依據(jù)式(17)計(jì)算;若齒對(duì)1沿嚙合線方向的變形量δ1小于齒對(duì)2中主動(dòng)輪修形量Δ1,則齒對(duì)2不參與嚙合,此時(shí)為單齒嚙合狀態(tài)(齒對(duì)1單獨(dú)承載),齒對(duì)1的嚙合剛度K1依據(jù)式(5)進(jìn)行計(jì)算。

如圖3c所示,當(dāng)齒對(duì)1以a3點(diǎn)即將進(jìn)入接觸區(qū)域A3參與嚙合時(shí),此時(shí)接觸區(qū)域A3為單齒嚙合狀態(tài),齒對(duì)1的嚙合剛度依據(jù)式(5)進(jìn)行計(jì)算。

綜合圖3所述,即可得到齒廓修形齒輪在各嚙合位置的單雙齒嚙合狀態(tài)判定與相應(yīng)嚙合剛度計(jì)算方法。

3 齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪承載接觸分析

3.1 齒間載荷分配系數(shù)

3.1.1 未修形齒輪的齒間載荷分配系數(shù)

根據(jù)式(6)確定的雙齒嚙合剛度Kall與齒輪整體變形量δall,法向力Fn可表示為:

Fn=Kallδall=(K1+K2)δall

(13)

根據(jù)式(7)中確定的載荷、剛度以及變形關(guān)系,帶入式(13)等式左側(cè),可推導(dǎo)出:

K1(δall-δ1)=K2(δall-δ2)

(14)

由于嚙合齒對(duì)在嚙合線方向上變形量δ1、δ2中的較大值與雙齒嚙合整體變形量δall相等,此時(shí)無(wú)論δall=δ1≥δ2或δall=δ2≥δ1,根據(jù)式(14)皆可推導(dǎo)出各嚙合齒對(duì)在嚙合線方向上的變形量δ1、δ2與雙齒整體嚙合變形量δall相等,即:

δall=δ1=δ2

(15)

進(jìn)一步可根據(jù)式(7)中嚙合力、剛度與變形的數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出:

Fi/Ki=Fn/Kall=δall

(16)

式中:Fi為接觸齒對(duì)的嚙合力(i為1、2)。

對(duì)式(16)進(jìn)行比例互換,可得到未修形下的齒輪齒間載荷分配系數(shù)S為:

S=Fi/Fn=Ki/Kall

(17)

3.1.2 齒廓修形齒輪的齒間載荷分配系數(shù)

當(dāng)齒廓修形后,原雙齒嚙合區(qū)域的嚙合狀態(tài)發(fā)生變化,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪時(shí)變嚙合剛度式(5)與齒廓修形齒輪嚙合剛度式(12),重新確定齒輪的單雙齒嚙合狀態(tài)與相應(yīng)嚙合剛度,繼而根據(jù)式(17)計(jì)算修形齒輪不同齒廓區(qū)域參與嚙合的齒間載荷分配系數(shù)SLDF。根據(jù)圖3,以齒對(duì)1為例,分析齒對(duì)1承載嚙合下的齒間載荷分配情況,具體為:

(18)

式中:Ku為齒對(duì)1的嚙合剛度,當(dāng)齒對(duì)1處于單齒嚙合狀態(tài)時(shí),其嚙合剛度依據(jù)式(5)計(jì)算,即Ku=K1;當(dāng)齒對(duì)1、2同時(shí)參與嚙合時(shí),此時(shí)計(jì)算Ku需考慮齒對(duì)2嚙合剛度K2的疊加影響,即:

Ku=KTPM-K2

(19)

當(dāng)齒對(duì)1在齒廓區(qū)域A1處嚙合時(shí),由于齒對(duì)2接觸變形量δ2的影響,齒對(duì)1存在非接觸與接觸兩種狀態(tài),若δ2>Δ2,則齒對(duì)1接觸,此時(shí)為雙齒嚙合狀態(tài),將式(18)代入式(19)可得到齒對(duì)1的齒間載荷分配系數(shù)SLDF。

(20)

若δ2<Δ2,則齒對(duì)1為非接觸狀態(tài),此時(shí)齒對(duì)1不分擔(dān)載荷,則齒間載荷分配系數(shù)為0,即:

SLDF=0

(21)

當(dāng)齒對(duì)1在齒廓區(qū)域A2處嚙合時(shí),由于齒對(duì)1接觸變形量δ1的影響,齒對(duì)2存在非接觸與接觸兩種嚙合狀態(tài),若δ1>Δ1,則齒對(duì)1接觸,此時(shí)為雙齒嚙合狀態(tài),齒對(duì)1的嚙合齒廓為非修形區(qū)域,其齒間載荷分配系數(shù)根據(jù)式(22)進(jìn)行計(jì)算。

(22)

若δ1<Δ1,則齒對(duì)2為非接觸,此時(shí)齒對(duì)1承擔(dān)全部載荷,齒間載荷分配系數(shù)為1,即:

SLDF=1

(23)

當(dāng)齒對(duì)1在齒廓A3處嚙合時(shí),此時(shí)為單齒嚙合區(qū)域,齒間載荷分配系數(shù)為1,即:

SLDF=1

(24)

當(dāng)齒廓進(jìn)入A4、A5段參與嚙合時(shí),齒對(duì)1皆為非修形齒廓參與嚙合,此時(shí)僅考慮齒對(duì)1的嚙合剛度,即Ku=K1,相應(yīng)的齒間載荷分配系數(shù)為:

(25)

綜上所述,在一個(gè)嚙合周期內(nèi),根據(jù)齒對(duì)1在齒廓區(qū)域A1、A2、A3、A4、A5是否接觸參與嚙合及其嚙合狀態(tài)判定,計(jì)算參與嚙合齒對(duì)的嚙合剛度,根據(jù)式(18)～式(25),可得到修形漸開(kāi)線直齒輪齒間載荷分配系數(shù)SLDF計(jì)算模型。

(26)

3.2 齒面接觸應(yīng)力

根據(jù)上述建立的修形齒輪齒間載荷分配系數(shù)模型,可計(jì)算嚙合力Fi,繼而根據(jù)赫茲接觸理論計(jì)算齒面接觸應(yīng)力。

首先,需確定不同齒廓赫茲接觸類型下接觸點(diǎn)處的綜合曲率半徑Re,針對(duì)未修形的齒廓區(qū)域,根據(jù)歐拉薩瓦利公式[19],通過(guò)計(jì)算沿嚙合線方向上基圓至嚙合點(diǎn)的距離求得其曲率半徑ρ1、ρ2,對(duì)于齒廓修形區(qū)域,以主動(dòng)輪為例,根據(jù)微分幾何與修形齒廓方程式(4),可推導(dǎo)出修形齒廓曲率CTPM與曲率半徑ρTPM。

(27)

ρTPM=1/CTPM

(28)

β=u+tanu,rb1為主動(dòng)輪基圓半徑。

針對(duì)齒廓修形齒輪承載嚙合時(shí)存在的不同赫茲接觸類型,可推導(dǎo)出相應(yīng)的綜合曲率半徑Re。

(29)

通過(guò)式(26)確定的齒間載荷分配系數(shù)SLDF,可計(jì)算出參與嚙合齒對(duì)的接觸力Fi,根據(jù)式(29)所得綜合曲率半徑Re,基于赫茲彈性接觸理論,可推導(dǎo)出修形齒輪承載接觸時(shí)的齒面接觸應(yīng)力σH與接觸半寬b。

(30)

式中:Ee為綜合彈性模量,具體表達(dá)式為:

(31)

式中:E1、E2與ν1、ν2分別為主、從動(dòng)輪的彈性模量與泊松比。

如圖4所示為該解析算法的流程圖。

圖4 齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力計(jì)算流程圖

4 計(jì)算結(jié)果分析與討論

基于上述建立的算法,求解不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)3種條件下不同算例的齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力,并與同參數(shù)下的有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比評(píng)價(jià),驗(yàn)證本文解析算法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性?；诒?中拋物線修形齒輪的主要幾何參數(shù),每種條件下選取5個(gè)算例求解以上不同齒廓修形齒輪算例的齒間載荷分配系數(shù)(圖5～圖7)和齒面接觸應(yīng)力(圖12～圖14)。使用有限元法對(duì)比評(píng)價(jià)解析算法結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性,以驗(yàn)證算法的正確性。

表1 齒輪參數(shù)

圖5 不同修形高度算例的齒間載荷分配系數(shù)

圖6 不同修形曲線算例的齒間載荷分配系數(shù)

圖7 不同配對(duì)齒數(shù)算例的齒間載荷分配系數(shù)

分析如圖5～圖7所示的齒間載荷分配系數(shù)結(jié)果可知:

(1)本文解析算法與有限元兩種計(jì)算方法的齒間載荷分配系數(shù)具有相同變化趨勢(shì):由最小值逐漸增大至最大值1,此過(guò)程為雙齒嚙合區(qū)間;隨后進(jìn)入單齒嚙合區(qū)間,即SLDF=1的水平線;再進(jìn)入雙齒嚙合區(qū),下降至最小值。同時(shí)嚙合線各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的誤差數(shù)值較小。

(2)根據(jù)圖5～圖7數(shù)據(jù)結(jié)果,可得到不同齒廓修形算例在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒間載荷分配系數(shù)誤差均值,如圖8所示,每種條件下5個(gè)算例誤差均值變化范圍分別為7.5%～9.2%、7.5%～8.0%、5.6%～7.8%,表明誤差均值較小且不同算例的誤差均值相近。算例結(jié)果分析表明,對(duì)于不同算例情況下的齒輪副,本文解析算法的齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算精度較高,且算法具有較好的誤差穩(wěn)定性。

圖8 一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒間載荷分配系數(shù)誤差均值

圖10 單齒嚙合區(qū)結(jié)束點(diǎn)位置誤差

(3)根據(jù)圖5～圖7數(shù)據(jù)結(jié)果,分析齒廓修形后每個(gè)算例的單齒嚙合區(qū)位置誤差,以此可進(jìn)一步評(píng)價(jià)解析算法的計(jì)算精度。其中,齒廓修形后的單齒嚙合區(qū)起始點(diǎn)位置誤差、結(jié)束點(diǎn)位置誤差與嚙合區(qū)間位置誤差分別如圖9～圖11所示。不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)算例的單齒嚙合區(qū)起始誤差變化范圍分別為5.8%～12.4%、5.1%～14.2%、5.8%～10.1%,單齒嚙合區(qū)結(jié)束點(diǎn)位置誤差變化范圍分別9.2%～13.1%、6.1%～13.3%、9.7%～12.6%,單齒嚙合區(qū)間位置誤差變化范圍分別為3.2%～12.5%、3.2%～13.0%、2.2%～8.8%,表明解析算法所得出的單雙齒變換點(diǎn)及其區(qū)間大小與有限元結(jié)果之間誤差較小,可較為準(zhǔn)確地計(jì)算出單雙齒嚙合變換點(diǎn)以及嚙合區(qū)間位置。因此,本文解析算法中依據(jù)修形量與變形建立的單雙齒嚙合區(qū)間判定方法具有較高的計(jì)算精度,可較為準(zhǔn)確的計(jì)算單雙齒變換點(diǎn)以及嚙合區(qū)間位置。

(4)另外,由于配對(duì)齒數(shù)的變化,齒輪副有效嚙合區(qū)間也會(huì)隨之變化,分析圖7中得到的橫坐標(biāo)實(shí)際嚙合線長(zhǎng)度可得到齒廓修形齒輪的有效嚙合區(qū)間,相對(duì)于有限元結(jié)果,5個(gè)配對(duì)齒數(shù)算例的有效嚙合區(qū)間誤差分別為1.3%、1.0%、3.0%、3.1%、1.1%,相對(duì)誤差較小,表明本文解析算法對(duì)不同配對(duì)齒數(shù)的齒輪副嚙合區(qū)間計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度較高。

分析如圖12～圖14所示的4種條件下不同齒廓修形算例在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力結(jié)果可知:

圖12 不同修形高度算例的齒面接觸應(yīng)力

圖13 不同修形曲線算例的齒面接觸應(yīng)力

圖14 不同配對(duì)齒數(shù)算例的齒面接觸應(yīng)力

(1)解析算法的齒面接觸應(yīng)力結(jié)果與有限元結(jié)果在變化趨勢(shì)具有較好的一致性;根據(jù)圖12～圖14的齒面接觸應(yīng)力結(jié)果,可得到3種條件下齒廓修形算例在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力誤差均值(圖15a)變化范圍分別為7.0%～9.0%、8.4%～10.4%、9.0%～10.7%,誤差均值較小,同時(shí)不同算例間誤差均值相近,表明解析算法具有較高的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算精度與誤差穩(wěn)定性。

(a) 單嚙合區(qū)間 (b) 去除突變區(qū)域

(2)與此同時(shí),在修形齒輪剛開(kāi)始進(jìn)入嚙合、即將退出嚙合以及修形曲線與漸開(kāi)線過(guò)渡區(qū)域,有限元結(jié)果產(chǎn)生了局部應(yīng)力突變,以圖12～圖14中的A、B區(qū)域?yàn)槔?主要由以下兩個(gè)原因?qū)е?①剛開(kāi)始嚙入與即將退出嚙合時(shí),接觸齒對(duì)嚙合力較小,需要極小網(wǎng)格尺寸(低于微米1～2個(gè)量級(jí))才能有效捕捉到該處的接觸應(yīng)力信息,建模困難,且嚙入時(shí)齒頂部位存在幾何尖點(diǎn);②修形齒廓過(guò)渡區(qū)域?qū)缀吻十a(chǎn)生一定程度的嚙合畸變。因此,當(dāng)求解步長(zhǎng)位于上述位置附近時(shí)會(huì)直接影響有限元計(jì)算結(jié)果,導(dǎo)致有限元局部應(yīng)力突變、計(jì)算誤差較大,這是不可避免的。除去由有限元結(jié)果突變區(qū)域所帶來(lái)的計(jì)算誤差后,解析算法的齒面接觸應(yīng)力在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的誤差均值(圖15b)變化范圍分別為4.8%～6.4%、4.5%～6.8%、6.1%～8.6%,再次表明解析算法具有較高的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算精度與誤差穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

(1)本文針對(duì)齒廓修形的漸開(kāi)線直齒輪,通過(guò)對(duì)比承載齒輪接觸點(diǎn)沿嚙合線方向的變形量與修形量,得到了修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)的判定方法與相應(yīng)嚙合剛度的計(jì)算方法,通過(guò)推導(dǎo)修形齒輪嚙合力、剛度與變形的力學(xué)關(guān)系,建立了修形齒輪各嚙合齒對(duì)精確的齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算模型。

(2)基于齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算了嚙合齒對(duì)實(shí)際承擔(dān)載荷,應(yīng)用歐拉薩瓦利公式和赫茲接觸理論,建立了齒廓修形齒輪嚙合過(guò)程中的齒面接觸應(yīng)力模型。

(3)不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)條件下多種齒廓修形齒輪的算例結(jié)果表明:本文所提出解析算法的齒間載荷分配系數(shù)、齒面接觸應(yīng)力與相應(yīng)單雙齒嚙合區(qū)間結(jié)果與有限元方法結(jié)果變化規(guī)律相一致,相對(duì)誤差較小,具有較高的計(jì)算精度與穩(wěn)定性,為齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪的承載接觸分析提供了一種高效便捷的新方法。