鄭飂默,欒昊軒,李備備

(1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)計(jì)算技術(shù)研究所,沈陽(yáng) 110168;2.沈陽(yáng)中科數(shù)控技術(shù)股份有限公司自動(dòng)化裝備事業(yè)部,沈陽(yáng) 110168;3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

0 引言

制造業(yè)是一個(gè)國(guó)家的興國(guó)之器和強(qiáng)國(guó)之基,為我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展注入了強(qiáng)大動(dòng)力。近年來(lái),我國(guó)對(duì)高端數(shù)控機(jī)床的性能要求進(jìn)一步提高。隨著現(xiàn)代制造要求高速化和高精度,絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性建模及其仿真愈發(fā)重要[1]。研究傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性能夠幫助機(jī)床伺服反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì),極大地提高機(jī)床響應(yīng)特性和精度。滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)主要包含伺服電機(jī)、聯(lián)軸器、底座、滾珠絲杠、導(dǎo)軌、工作臺(tái)等。在高速度和高加速度下,電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力增加,導(dǎo)致滾珠絲杠傳動(dòng)部件之間的作用力增加,造成一些部件的彈性變形和振動(dòng)[2],因此滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償以及工件的加工穩(wěn)定性成為了研究熱點(diǎn)與突破點(diǎn)。

劉吉柱等[3]所設(shè)計(jì)的微動(dòng)補(bǔ)償平臺(tái)具有良好的動(dòng)態(tài)特性,定位系統(tǒng)具有良好的誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償效果,針對(duì)X、Y方向的振動(dòng)范圍由補(bǔ)償前的3.5 μm,補(bǔ)償后減小到1 μm的范圍內(nèi),有效的提高了系統(tǒng)的定位精度。宣賀等[4]使用ADAMS軟件對(duì)滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)仿真分析,得到了臥式和立式的頻響曲線,并結(jié)合HyperMesh軟件建立了臥式和立式滾珠絲杠進(jìn)給機(jī)床的多柔體模型;曾浩然等[5]對(duì)滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)軸向的非線性振動(dòng)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)中軸向振動(dòng)同時(shí)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng),并且當(dāng)激勵(lì)頻率和阻尼系數(shù)增大時(shí),系統(tǒng)周期性增強(qiáng);WU等[6]針對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的振動(dòng)特性,提出一種混合建模方法來(lái)研究其動(dòng)力學(xué)行為;GAO等[7]進(jìn)行了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模與分析研究,使用了PSO算法進(jìn)行動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí);LI等[8]針對(duì)基于柔性動(dòng)力學(xué)模型的滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了單軸的振動(dòng)抑制研究,在絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)中引入了輸入整形器,并最終使用ZVD輸入整形器進(jìn)行振動(dòng)誤差補(bǔ)償。

本文以X-Y軸滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象,首先通過(guò)拉格朗日方程建立X、Y方向的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型[9-10],建立數(shù)學(xué)模型并分析傳遞函數(shù)進(jìn)行降階,計(jì)算ZV輸入整形與ZVD輸入整形的參數(shù),并在Simulink中仿真實(shí)驗(yàn),比較得出最優(yōu)方案,最后在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證,并分析兩種整形器補(bǔ)償效果不同的產(chǎn)生原因。

1 滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

1.1 振動(dòng)誤差來(lái)源分析

如圖1所示,電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)絲杠受力不均勻,發(fā)生彈性形變,因此運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)中會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)誤差[11-12],此外,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)軸向的推力不穩(wěn)定也會(huì)導(dǎo)致波動(dòng),引起軸承副的配合部位發(fā)生彈性形變,是導(dǎo)致振動(dòng)誤差的主要原因,從而影響平臺(tái)的定位精度。

圖1 振動(dòng)誤差來(lái)源分析

1.2 X、Y方向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模

如圖2a所示是本實(shí)驗(yàn)所用滾珠絲杠傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),圖2b是根據(jù)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)建立的三維模型。

(a) 實(shí)驗(yàn)平臺(tái) (b) 三維模型

為建立兩個(gè)方向上的動(dòng)力學(xué)模型,本文通過(guò)改進(jìn)集中參數(shù)法與分布式參數(shù)法相結(jié)合的方法[7]建立拉格朗日方程。首先建立進(jìn)給系統(tǒng)的混合模型,工作臺(tái)相當(dāng)于集中質(zhì)量單元,簡(jiǎn)化后的滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)圖如圖3所示,絲杠相當(dāng)于3個(gè)等集中質(zhì)量和慣性矩,每一段都由彈簧阻尼單元連接,螺母、軸承分別相當(dāng)于彈簧阻尼單元。此模型考慮影響工作臺(tái)進(jìn)給方向的運(yùn)動(dòng)。

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

其中共有5個(gè)自由度,分別為:θ1為左段絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)角;θ2為中段絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)角;θ3為右段絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)角;x1為螺母副位移距離;x2為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位移距離。

1.2.1 系統(tǒng)的總動(dòng)能

由于絲杠被分為了3個(gè)部分,因此需要分別計(jì)算左段絲杠的動(dòng)能、中段絲杠的動(dòng)能以及右段絲杠的動(dòng)能,相加即可得到絲杠的總動(dòng)能,再根據(jù)絲杠總動(dòng)能、工作臺(tái)的動(dòng)能以及螺母的動(dòng)能,確定系統(tǒng)總動(dòng)能。

(1)

表1 動(dòng)能方程參數(shù)物理意義及取值

1.2.2 系統(tǒng)的總勢(shì)能

由于絲杠被分為了3部分,分別計(jì)算左段絲杠的勢(shì)能、右段絲杠的勢(shì)能、絲杠螺母的勢(shì)能,相加即可得到絲杠的總勢(shì)能,確定系統(tǒng)總勢(shì)能。

(2)

表2 勢(shì)能方程參數(shù)物理意義及取值

1.2.3 系統(tǒng)的總耗散能

由于絲杠被分為了3部分,故而分別計(jì)算左段絲杠的耗散能、右段絲杠的耗散能、中段絲杠的耗散能,相加即可得到絲杠的總耗散能,再根據(jù)絲杠總耗散能、螺母的耗散能、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的耗散能,確定系統(tǒng)總耗散能。

(3)

表3 耗散能方程參數(shù)物理意義及取值

1.2.4 進(jìn)給系統(tǒng)的微分方程

根據(jù)拉格朗日方程,系統(tǒng)的總動(dòng)能、總勢(shì)能、總耗散能之間的關(guān)系為:

(4)

將總動(dòng)能、總勢(shì)能、總耗散能帶入方程可得系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組:

(5)

通過(guò)拉氏變換求解微分方程組:

(6)

求得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:

(7)

帶入物理參數(shù)可得X軸開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)傳遞函數(shù)降階后可得:

(8)

同理可得Y軸閉環(huán)降階傳遞函數(shù)為:

(9)

2 輸入整形器的Simulink仿真實(shí)驗(yàn)

整形器里面含有一系列的不同幅值和時(shí)滯的脈沖[13-14]。而其中的關(guān)鍵就是計(jì)算出每一個(gè)脈沖信號(hào)的幅值以及它們各自的時(shí)滯[15]。而常見(jiàn)的輸入整形器主要有ZV輸入整形器和ZVD輸入整形器。

2.1 X軸輸入整形

ZV輸入整形:

(10)

ZVD輸入整形:

(11)

將結(jié)果在simulink中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖4所示。

圖4 X軸輸入整形仿真

2.2 Y軸的輸入整形器

ZV輸入整形:

(12)

ZVD輸入整形:

(13)

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 Y軸輸入整形仿真

3 輸入整形的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖6所示是本文使用的X-Y軸絲杠傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的控制模塊是基于自主研發(fā)的運(yùn)動(dòng)控制器整合的輸入整形算法模塊。

圖6 X-Y軸絲杠傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

將傳遞函數(shù)的頻率以及阻尼系數(shù)輸入算法模塊中進(jìn)行實(shí)驗(yàn),在進(jìn)行X、Y兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),穩(wěn)定性與調(diào)整速度都有明顯增強(qiáng)。

如圖7所示,在X軸方向,ZV輸入整形器與ZVD輸入整形器的振動(dòng)誤差補(bǔ)償效果相近,而使用ZV整形器進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆桨刚{(diào)整時(shí)間更短。因此在X軸方向上采用ZV輸入整形器進(jìn)行補(bǔ)償。

(a) ZV輸入整形 (b) ZVD輸入整形

如圖8所示,在Y軸方向,ZV輸入整形器與ZVD輸入整形器區(qū)別較大,使用ZV輸入整形器后,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的穩(wěn)定性遠(yuǎn)不及ZVD輸入整形器的補(bǔ)償效果。因此,在Y軸方向上采用ZVD輸入整形器進(jìn)行補(bǔ)償。

(a) ZV輸入整形 (b) ZVD輸入整形

X、Y軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)區(qū)別在于負(fù)載的大小不同,X軸方向上的負(fù)載主要是運(yùn)動(dòng)平臺(tái),而Y軸方向上增加了X軸的機(jī)械結(jié)構(gòu),整體負(fù)載更大,就導(dǎo)致其振動(dòng)頻率更低,更接近整體機(jī)床的固有頻率。而輸入整形器的參數(shù)計(jì)算都是根據(jù)降階處理過(guò)的傳遞函數(shù),振動(dòng)頻率接近固有頻率就會(huì)使得傳遞函數(shù)的降階處理過(guò)后的參數(shù)不準(zhǔn)確,從而引起誤差。

4 結(jié)論

本文首先通過(guò)混合建模法建立了滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,然后在Simulink中進(jìn)行不同輸入整形器的仿真實(shí)驗(yàn),最后在整合了輸入整形模塊的自主研發(fā)的運(yùn)動(dòng)控制器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行驗(yàn)證。ZV輸入整形器在實(shí)驗(yàn)中會(huì)帶來(lái)更短的調(diào)整時(shí)間,并且在X軸方向上效果略優(yōu)于ZVD輸入整形器。而在Y軸方向上ZVD輸入整形器的補(bǔ)償效果要明顯優(yōu)于ZV輸入整形器,這是因?yàn)閅軸的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量更大,因此其振動(dòng)固有頻率比較低,在降階運(yùn)算時(shí)會(huì)帶來(lái)更多誤差,從而導(dǎo)致模型不準(zhǔn)確,也就使得ZV輸入整形器的補(bǔ)償穩(wěn)定性下降。因此,不通過(guò)降階處理就能計(jì)算輸入整形器參數(shù)或是將降階的過(guò)程更精確化就是未來(lái)工作的研究重點(diǎn)。