付雁博,田國(guó)富

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110870)

0 引言

弧齒錐齒輪因具有較高的齒面接觸的重合度而可以實(shí)現(xiàn)較為優(yōu)秀的傳動(dòng)平穩(wěn)性和承載能力,同時(shí)具有能夠?qū)崿F(xiàn)交錯(cuò)軸及相交軸傳動(dòng)的特點(diǎn),因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)械的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,如作為汽車或輪船和航空航天的載具中的重載傳動(dòng)部件。弧齒錐齒輪因?yàn)槠潺X面形狀的復(fù)雜,在進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)以及建模的過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)曲面精度不足等問(wèn)題造成后續(xù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值偏差。實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪對(duì)中的大小齒輪的凹凸面、齒根與齒頂,以及齒根過(guò)渡曲面的參數(shù)設(shè)計(jì)與之后的建模是實(shí)現(xiàn)輪齒使用強(qiáng)度及壽命等性能指標(biāo)仿真分析的重要基石。

LITVIN、李兆文等[1-2]在研究中利用展成法的原理對(duì)弧齒錐齒輪齒面進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì),通過(guò)刀具外側(cè)方程和刀尖圓角方程通過(guò)齒面的展成加工原理所進(jìn)行的齒面特征點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算;薛德余等[3]基于展成法,利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)際的弧齒錐齒輪加工過(guò)程,并反向推導(dǎo)出齒輪工作曲面的凹凸面點(diǎn)位,進(jìn)而生成齒槽。

利用展成法等理論的參數(shù)設(shè)計(jì)方法所得出的數(shù)學(xué)建模,在計(jì)算齒面點(diǎn)時(shí)往往會(huì)因?yàn)辇X輪或者加工過(guò)程中刀具或加工機(jī)床等的參數(shù)設(shè)置差異使得結(jié)果齒面精度并不理想,同時(shí)對(duì)于齒根過(guò)渡曲面大多采用了近似取值,在實(shí)際應(yīng)用中往往需要通過(guò)齒面擬合等方法進(jìn)行矯正,且計(jì)算過(guò)程復(fù)雜,其程序生成齒面點(diǎn)時(shí)過(guò)程繁瑣,存在較大誤差,不利于提高弧齒錐齒輪參數(shù)建模的效率和精度。

隨著研究發(fā)展,利用球面漸開(kāi)線齒廓進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算逐漸在弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)與制造中獲得重視[4-6]。利用球面漸開(kāi)線理論設(shè)計(jì)的工作曲面的齒面齒形可以實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)過(guò)程中一堆共軛曲面的正確嚙合,且基于球面漸開(kāi)線的設(shè)計(jì)具有軸角誤差補(bǔ)償能力[7]。

近幾年來(lái),有學(xué)者基于共軛曲線理論發(fā)展出了新的弧齒錐齒輪網(wǎng)格劃分理論[8],為利用平面對(duì)數(shù)幾何元素引入到齒面生成中提供了理論依據(jù);ZHOU等[9]提出了一種新型的計(jì)算齒輪齒面點(diǎn)位的方法,以此來(lái)獲得弧齒錐齒輪近似等距點(diǎn)與曲線;為了避免制造和裝配的空間及角度誤差造成的對(duì)中性誤差,有學(xué)者通過(guò)調(diào)整機(jī)床設(shè)置獲得最佳齒面進(jìn)行了嘗試[10-11]。目前基于球面漸開(kāi)線的弧齒錐齒輪齒形設(shè)計(jì)仍有改良的空間,為了使球面漸開(kāi)線理論在弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)中得到更加充分的應(yīng)用,本文利用平面共軛對(duì)數(shù)進(jìn)一步提升工作齒面的精度。

1 利用空間共軛曲線改進(jìn)的弧齒錐齒輪成形原理

理論上,弧齒錐齒輪中本身具有的球面漸開(kāi)線是具有類似于軸角誤差補(bǔ)償?shù)饶芰Φ?因此若是根據(jù)展成法等理論進(jìn)行弧齒錐齒輪的齒形設(shè)計(jì),其生成齒廓在實(shí)際建模和虛擬裝配中往往會(huì)出現(xiàn)對(duì)中性誤差等等,需要在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中不斷矯正以達(dá)到相對(duì)準(zhǔn)確的精度與平穩(wěn)的接觸應(yīng)力變化。故本文提出以球面漸開(kāi)線理論為基礎(chǔ),并基于平面共軛對(duì)數(shù)進(jìn)行弧齒錐齒輪基于共軛曲線的改進(jìn)設(shè)計(jì)理論與方法。

1.1 改進(jìn)的弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)理論

為了使齒輪嚙合時(shí)能夠沿著嚙合線始終保持較高的接觸強(qiáng)度,故本文在球面漸開(kāi)線齒形設(shè)計(jì)理論的基礎(chǔ)上,利用共軛曲線設(shè)計(jì),如圖1所示,為球面漸開(kāi)線的形成原理。在從弧齒錐齒輪的基礎(chǔ)齒面所展開(kāi)的盤型平面上,盤形平面所處的坐標(biāo)系沿著基圓錐的母線相連并相切。處在盤形平面邊緣上的動(dòng)點(diǎn)P在球面漸開(kāi)線上的任意一個(gè)位置其與基圓錐的頂點(diǎn)O,即盤形平面坐標(biāo)軸的原點(diǎn)的距離相等,且動(dòng)點(diǎn)P在空間活動(dòng)的跡為球面漸開(kāi)線,利用平面對(duì)數(shù)在弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)的共軛曲線上利用法向截面的圓弧齒形上建立新的齒面。

圖1 平面對(duì)數(shù)在球面漸開(kāi)線錐齒輪設(shè)計(jì)中的引入

弧齒錐齒輪的齒面即可根據(jù)從同時(shí)存在于基圓錐底部與圓盤平面的交點(diǎn)來(lái)進(jìn)行確定,其平面對(duì)數(shù)rlog可表示為:

rlog=[0ecotβ·θsin(φsinδb)ecotβ·θ(φsinδb) 1]T

(1)

式中:δb為基圓錐軸線OO0與圓盤坐標(biāo)系中yc軸的夾角,同時(shí)也為基圓錐母線與基圓錐軸線的夾角。所以當(dāng)基圓錐與圓盤平面發(fā)生相對(duì)滾動(dòng)時(shí),兩者的坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換為:

(2)

故引入平面共軛對(duì)數(shù)后的弧齒錐齒輪的球面漸開(kāi)線齒廓的對(duì)數(shù)齒面轉(zhuǎn)化可表示為:

[x1y1z11]=M1c·[x1y1z11]T

(3)

在圖2中設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在球形漸開(kāi)線的另一位置時(shí)處于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Q。作與圓形盤面所處坐標(biāo)系原點(diǎn)O0及基圓錐底面圓心O這兩者連線OO0保持垂直關(guān)系的平面,與軸線OO0相交于K點(diǎn),與基圓錐母線相交于N點(diǎn)。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系,在直角三角形O0NK、O0NP和O0PM中,可知:

(4)

圖2 球面漸開(kāi)線的形成原理

且根據(jù)球形漸開(kāi)線的性質(zhì)可知:

(5)

繼而得出:

(6)

得到在球面漸開(kāi)線上的任何位置上的動(dòng)點(diǎn)P所在的偏角為:

(7)

式中:δk為動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)的所對(duì)應(yīng)的基圓錐母線與圓錐軸線的夾角。

圖3 齒面形成原理圖

1.2 確定弧齒錐齒輪的齒面嚙合曲線

由圖4所示的柔性坐標(biāo)系中,S0和Sp是與水平面相連,其中點(diǎn)O1、O2、O0、Op是弧齒錐齒輪中的兩個(gè)齒輪的頂點(diǎn)重合。z0軸穿過(guò)小輪的軸線,zp則穿過(guò)大輪的軸線。x0與γp·φ1和φ2重合,其中γp·φ1和φ2(φ2=i21φ1)表示小輪和大輪在一定時(shí)間段內(nèi)相對(duì)于原位置的轉(zhuǎn)動(dòng)角度,Γ1和Γ2分別表示大小齒輪的球面漸開(kāi)線共軛曲線。

圖4 齒輪傳動(dòng)嚙合的基本坐標(biāo)系

坐標(biāo)軸S1到坐標(biāo)軸S2的轉(zhuǎn)換矩陣可表示為:

M21=M2pMp0M01=

(8)

基于球面漸開(kāi)線建模的弧齒錐齒輪中的齒面接觸路徑可表示:

(9)

式中:c1與c2的值由邊界條件所確定。

對(duì)于小輪來(lái)說(shuō),接觸跡線可表達(dá)為:

rΓ1=[xΓ1(φ)yΓ1(φ)zΓ1(φ) 1]T

(10)

齒面上進(jìn)行網(wǎng)格化處理之后曲線的相對(duì)速度可表示為:

v12=ω1×rΓ1-ω2×rΓ2

(11)

式中:rΓ1、rΓ2和ω1、ω2分別表示為小輪和大輪在坐標(biāo)軸S1中的位置矢量以及相對(duì)角速度。

在接觸跡線rΓ1中存在的單位法向量nΓ1需要滿足與起始球面漸開(kāi)線方向重合,則有:

(12)

nΓ1·v12=0

(13)

繼而推導(dǎo):

(14)

故共軛曲線Γ2與共軛曲線Γ1相切等性質(zhì)可以總結(jié)為:

(15)

2 弧齒錐齒輪的齒面生成

在弧齒錐齒輪建模程序中,將建模過(guò)程分為齒輪工作曲面、大小齒端曲線以及齒根過(guò)渡部分3個(gè)部分。

2.1 生成弧齒錐齒輪工作齒面

(16)

圖5 弧齒錐齒輪齒面生成原理

式中:單個(gè)齒面凹凸面的法向橫截面的齒廓可表示為:

(17)

所以在以球形漸開(kāi)線為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的弧齒錐齒輪的齒面選擇兩對(duì)共軛曲線,一對(duì)在節(jié)錐角上方,另一對(duì)在下方,通過(guò)此方法可以生成齒輪的凹凸面。根據(jù)變換矩陣M21可以得到圖5中兩個(gè)向量αΓi與nΓi:

(18)

2.2 大小齒端曲線的確定

大端的曲線分為齒頂、齒根進(jìn)行求解。其中齒頂部分用以下公式進(jìn)行確定:

(19)

進(jìn)行齒根計(jì)算時(shí)則需要公式:

(20)

式中:ρ表示矢徑。對(duì)于同一齒的另一面的計(jì)算,則需要替換以下參數(shù):

(21)

式中:φf(shuō)表示齒厚。

對(duì)于小端部分的曲線求解的方程可表示為:

(22)

式中:Δφ表示小端相對(duì)于大端的偏角。

2.3 齒根過(guò)渡曲面參數(shù)的確定

齒根過(guò)渡曲面需要根據(jù)以基于球面漸開(kāi)線設(shè)計(jì)中的漸開(kāi)線與基圓錐的參數(shù)進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)。根據(jù)設(shè)計(jì)齒輪的參數(shù)不同,也會(huì)隨其球面漸開(kāi)線中的基圓錐的底面半徑的變化有關(guān)。在半徑值大于齒根圓的半徑時(shí),根據(jù)選用的刀盤圓角的半徑以及考慮刀具與被加工齒輪之間是否存在側(cè)面間隙和齒頂間隙,有公式為:

(23)

式中:

(24)

式中:α為弧齒錐齒輪參數(shù)中的壓力角,ha為齒頂高,rp為節(jié)圓半徑。

如果加工刀具與齒輪之間存在側(cè)面間隙或齒頂間隙時(shí),則需要將以下參數(shù)進(jìn)行替換:

(25)

式中:jm表示為最大間隙。

若基圓錐底面半徑小于齒根圓半徑,根據(jù)文獻(xiàn)[12]可使用變半徑倒圓角的計(jì)算來(lái)進(jìn)行齒根過(guò)渡圓角的處理,有以下公式進(jìn)行推算:

rt=0.3m

(26)

3 基于球形漸開(kāi)線設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪建模與網(wǎng)格劃分實(shí)例

3.1 弧齒錐齒輪三維建模

本次建模選取的弧齒錐齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 弧齒錐齒輪主要參數(shù)

由結(jié)合之前公式及理論所設(shè)計(jì)出的程序得出單個(gè)齒槽的齒面點(diǎn)陣,并利用三維繪圖軟件中的點(diǎn)線連接以及放樣曲面功能沿著由點(diǎn)陣列所組成的曲線進(jìn)行曲面組成,如圖6所示。根據(jù)弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)手冊(cè),可以確定弧齒錐齒輪毛坯的尺寸,并進(jìn)行繪制。使用所得到曲面進(jìn)行放樣切除,并利用圓周陣列功能按照齒數(shù)進(jìn)行布置,得到如圖7所示的弧齒錐齒輪大輪模型。

圖6 弧齒錐齒輪單齒槽的凹凸面及齒頂面

圖8 弧齒錐齒輪單齒網(wǎng)格劃分模型

3.2 弧齒錐齒輪仿真前處理的網(wǎng)格劃分

為了對(duì)弧齒錐齒輪傳動(dòng)副進(jìn)行精確的有限元分析,需要對(duì)由上述步驟所生成的弧齒錐齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分以作為前處理環(huán)節(jié)。

為了能夠?qū)崿F(xiàn)提升仿真速度以及提高后續(xù)的仿真精度,需要對(duì)弧齒錐齒輪對(duì)接觸面的工作曲面和齒根過(guò)渡曲面進(jìn)行特別加密。根據(jù)實(shí)際承載接觸分析或動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)情況總結(jié)出需將弧齒錐齒輪副中進(jìn)行主要接觸的工作曲面和相對(duì)應(yīng)的齒根部分的網(wǎng)格數(shù)量進(jìn)行相應(yīng)的增加,而對(duì)齒輪接觸仿真結(jié)果影響很小的齒坯部分的網(wǎng)格適當(dāng)減少,加快仿真后處理的效率。

4 仿真算例

在仿真中,賦予網(wǎng)格材料屬性為20GrMnti,材料密度7.8×10-9t/mm3,設(shè)置楊氏模量和泊松比分別為E=205 GPa和λ=0.3,有限元模型及經(jīng)過(guò)接觸面定義以及旋轉(zhuǎn)耦合約束后的建模如圖9所示。

圖9 弧齒錐齒輪耦合定義模型

設(shè)置基于展成法弧齒錐齒輪程序[13]作為對(duì)照組,給予作為主動(dòng)輪的小輪旋轉(zhuǎn)的一定旋轉(zhuǎn)角速度,對(duì)兩組被動(dòng)旋轉(zhuǎn)的大輪施加同樣的抵抗旋轉(zhuǎn)的力矩,對(duì)弧齒錐齒輪裝配體進(jìn)行接觸強(qiáng)度的分析,得到如圖10所示的多組小輪進(jìn)入嚙合到脫離這個(gè)時(shí)間段內(nèi)接觸應(yīng)力變化的數(shù)據(jù)?？梢钥吹揭肫矫鎸?duì)數(shù)進(jìn)行改進(jìn)的球面漸開(kāi)線弧齒錐齒輪建模在實(shí)驗(yàn)仿真中具有更高的接觸強(qiáng)度,其中改進(jìn)后的小輪凹面最大齒面接觸應(yīng)力圖如圖11所示。

圖11 改進(jìn)后的小輪齒面應(yīng)力云圖

為了驗(yàn)證此次改進(jìn)的弧齒錐齒輪建模在實(shí)際仿真中因制造與裝配而產(chǎn)生的軸角變化ΔΣ導(dǎo)致的傳動(dòng)平穩(wěn)性上的變化,設(shè)置裝配之后的小輪相對(duì)于理論位置的軸角變化值ΔΣ,小輪轉(zhuǎn)角設(shè)置為1.3 rad,運(yùn)行時(shí)間為1 s,摩擦系數(shù)為0.15。根據(jù)傳動(dòng)誤差公式計(jì)算得到如圖12所示在軸角誤差裝配誤差下的傳動(dòng)誤差函數(shù)。

5 結(jié)論

本篇研究在原先球面漸開(kāi)線的弧齒錐齒輪參數(shù)建模中引入幾何元素中平面對(duì)數(shù)等設(shè)計(jì)與計(jì)算方法對(duì)弧齒錐齒輪的曲面建模進(jìn)行了改進(jìn),最終得到結(jié)論如下:

(1)結(jié)合數(shù)學(xué)程序設(shè)計(jì)以及三維制圖軟件的應(yīng)用,使建模過(guò)程的復(fù)雜程度大幅降低,減少了進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算的時(shí)間,為之后的接觸分析和動(dòng)態(tài)分析提供了精確的建模和網(wǎng)格劃分前處理的條件。

(2)改進(jìn)的設(shè)計(jì)提升了基于球面漸開(kāi)線理論設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪對(duì)于裝配時(shí)存在的對(duì)中性誤差之一的軸角誤差的適應(yīng)能力,在存在軸角誤差的情況下整體的加載傳動(dòng)誤差變化趨勢(shì)較穩(wěn)定,展現(xiàn)了球面漸開(kāi)線齒面設(shè)計(jì)理論當(dāng)中對(duì)弧齒錐齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中軸角補(bǔ)償?shù)哪芰Α?/p>

(3)設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪在同樣的仿真條件下,其接觸應(yīng)力低于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪,且接觸應(yīng)力變化更加穩(wěn)定,體現(xiàn)出了更高的接觸強(qiáng)度。