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        一元二次方程中的常見錯誤剖析

        2024-04-26 18:55:58沈小景
        初中生世界 2024年11期
        關鍵詞:解題

        文/沈小景

        一元二次方程是中考的核心考點,涉及方程的概念和解法、根的判別式、根與系數(shù)的關系以及綜合應用。本文總結(jié)了同學們的一些常見錯誤,并對錯誤點進行剖析,希望對大家的復習備考有所幫助。

        一、忽視二次項系數(shù)不為0

        例1若關于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有兩個實數(shù)根,則k的取值范圍是( )。

        【錯解】根據(jù)題意,得b2-4ac=(-2)2-4k×3>0,解得。故選A。

        【糾錯】本題的解答過程有兩處錯誤:一是該方程為一元二次方程,所以二次項系數(shù)不為0;二是方程有兩個實數(shù)根,b2-4ac≥0。根據(jù)這兩點,求出k的取值范圍是且k≠0。故選D。

        【總結(jié)】當字母參數(shù)出現(xiàn)在二次項系數(shù)中,我們需要關注該方程的類型。如果題干中有條件說明方程是一元二次方程,則該參數(shù)不能取0;如果題干中沒有表明方程一定是一元二次方程,則該參數(shù)可以為0。

        二、忽視某些代數(shù)式有意義的條件

        例2若x=0 是一元二次方程x2+的一個根,則b的值是________。

        【錯解】把x=0 代入原方程,得b2-4=0,解得b=±2,所以b的值為±2。

        【糾錯】該方程中一次項系數(shù)為,這個式子只有當b-1≥0 時才能有意義,即b≥1。因此b=-2 不符合題意,要舍去。所以b的值為2。

        例3若實數(shù)x滿足x2-3x-3=(x+1)0,則x的值為________。

        【錯解】由題意得x2-3x-3=1,即x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4。故x的值為-1或4。

        【糾錯】等式右側(cè)是(x+1)0,任何不為0 的數(shù)的0 次冪才能等于1,所以只有當x≠-1 時,(x+1)0=1。所以本題符合題意的x值只能是4。

        【總結(jié)】一元二次方程常常會和一些特殊的代數(shù)式綜合在一起出現(xiàn)。我們在解題時需要充分挖掘代數(shù)式的隱含信息,這樣才能減少錯誤。

        三、忽視根與系數(shù)的關系的前提

        例4已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2,且x1+x2+x1·x2=2,則實數(shù)m=___。

        【錯解】根據(jù)根與系數(shù)的關系,得

        解得m1=0,m2=3。

        所以m=0或3。

        【糾錯】使用根與系數(shù)的關系的前提是該一元二次方程有實數(shù)根。當m=0 或3 時,此方程是否有兩個不相等的實數(shù)根呢?因此,我們需要求出使得方程有兩個不相等實數(shù)根時m的取值范圍,在取值范圍內(nèi)的值符合題意,不在取值范圍內(nèi)的值要舍去。當然也可以將0和3代入方程,檢驗此時的方程是否有兩個不相等的實數(shù)根,不合題意的應舍去。

        四、忽視實際問題的背景

        例5已知關于x的方程x2-(k+3)x+3k=0,若斜邊為5 的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩個根,求k的值。

        【錯解】設直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,則a+b=k+3,ab=3k。

        【糾錯】方程的兩個根是直角三角形的邊長,所以方程的兩個根應該是正數(shù),即求出的k的值要讓方程有正數(shù)根才符合實際意義。當k=-4 時,方程的兩個根為x1=-3,x2=4,要舍去;當k=4時,方程的兩個根為x1=3,x2=4。故k的值為4。

        【總結(jié)】當一元二次方程與實際問題相結(jié)合時,一定要檢驗方程的解是否符合實際意義。

        一元二次方程的考查常融合一些其他知識。在解決這些問題時,我們要多觀察,認真挖掘隱含信息,解題后再代回方程檢驗,這樣可以有效地避免錯誤的發(fā)生,進而提高解題的正確率。

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