? 寧夏回族自治區(qū)固原市西吉縣興平鄉(xiāng)中心小學(xué) 王建勤

基于中考數(shù)學(xué)試題的研究可以發(fā)現(xiàn),二次函數(shù)的知識點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)試卷中所占比例較大,內(nèi)容較多,題目較復(fù)雜,考題難度較大.特別是二次函數(shù)問題經(jīng)常會(huì)在中考壓軸題中出現(xiàn).下面對有關(guān)二次函數(shù)的常見題型及解題方法進(jìn)行總結(jié).

1 解析式問題——找、代、解

在求解二次函數(shù)解析式的問題中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生遵循“找、代、解”的解題思路,解決與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題.

圖1

代:代入到二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).

解:進(jìn)一步求解二次函數(shù)解析式.

注:解析式問題需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的二次函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).為此,在開展解析式問題教學(xué)前,教師可以利用對分課堂教學(xué)模式,引導(dǎo)學(xué)生梳理二次函數(shù)基本知識,提高學(xué)生的做題效果和課堂教學(xué)效率.

2 動(dòng)點(diǎn)問題——設(shè)、找、論

有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題,主要有x軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、二次函數(shù)對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)問題以及拋物線上的動(dòng)點(diǎn)問題三種情況.求解時(shí),首先假設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),由題干中的隱藏關(guān)系找出相應(yīng)的等式,最后根據(jù)情況分類討論,并根據(jù)合理性解出正確的結(jié)果.

例2已知拋物線y=-2x2+2x+4與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,若P為拋物線第一象限內(nèi)的一點(diǎn),設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值.

設(shè):設(shè)P(n,-2n2+2n+4)(0

圖2

論:當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),S取得最大值,且最大值為6.

注:動(dòng)點(diǎn)問題需要學(xué)生耐心思考,找出題干中的關(guān)系式,這也是二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的重難點(diǎn)所在.為此,教師要引導(dǎo)學(xué)生克服解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)的恐懼心理,運(yùn)用二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的三部解題法加強(qiáng)訓(xùn)練.

3 面積問題——找、拆、設(shè)

面積問題常以求解三角形面積或四邊形面積的形式出現(xiàn),主要考查求解三角形面積、求解兩個(gè)三角形交點(diǎn)的坐標(biāo)位置、求解三角形或四邊形面積最大時(shí)的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)這三大問題.

例3如圖3所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+5x+6與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,且直線y=x-6過點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱,已知P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,交直線BD于點(diǎn)N.當(dāng)△MDB的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖3

根據(jù)題干,可以發(fā)現(xiàn)本道題在考查面積的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出了求點(diǎn)P的坐標(biāo).但仍需先求出△MDB面積的最大值,再從中尋找答案.

找:找出△MDB的面積關(guān)系.已知在△MDB中,B和D是定點(diǎn),M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),可以使用鉛垂模型求解,即線段MN將△MDB分割為有公共底邊的兩個(gè)三角形△MND和△MNB.

設(shè):設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,0),則M(m,-m2+5m+6),N(m,m-6),于是MN=-m2+4m+12,所以

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí),S△MDB有最大值,且最大值為48,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0).

注:教師在開展有關(guān)二次函數(shù)面積問題題型訓(xùn)練時(shí),首先要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何找出面積關(guān)系.教師可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)求面積的方法,如割補(bǔ)法、鉛垂法等,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[1].其次,利用面積求解方法引導(dǎo)學(xué)生靈活解決面積問題.

4 幾何圖形存在性問題——找、解、論

中考有關(guān)二次函數(shù)幾何圖形存在性問題,主要考查三角形和四邊形的存在性,且以考查特殊三角形和四邊形居多.通常幾何圖形會(huì)與面積最值或動(dòng)點(diǎn)問題搭配考查,靈活性較高,難度較大.

例4如圖4所示,已知二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和B,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),且過點(diǎn)B作一條直線與拋物線相交于點(diǎn)D(-2,-3).過x軸上的點(diǎn)E(a,0)(點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè))作直線EF∥BD,且與該拋物線相交于點(diǎn)F,試分析是否存在實(shí)數(shù)a,使得四邊形BDFE為平行四邊形?若存在,請求出滿足條件的實(shí)數(shù)a;若不存在,請說明理由.

圖4

找:根據(jù)題干內(nèi)容,學(xué)生能夠輕松求出直線BD的解析式為y=x-1,則直線EF的解析式為y=x-a.根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定理可知,若想四邊形BDFE為平行四邊形,只需滿足DF與x軸平行即可.

解:若DF與x軸平行,則點(diǎn)D和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等,即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3.而F為直線EF與拋物線的交點(diǎn),設(shè)F的橫坐標(biāo)為m,根據(jù)BE=DF,可得a-1=m+2,即m=a-3,則F(a-3,-3).

論:將F(a-3,-3)代入y=x2+2x-3,可以解出a1=1,a2=3.

當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)E(1,0)與點(diǎn)B重合,不符合題意,舍去;當(dāng)a=3時(shí),點(diǎn)E(3,0)符合題意.

所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí),四邊形BDFE為平行四邊形.

注:關(guān)于二次函數(shù)幾何圖形存在性問題的內(nèi)容較為豐富,出題方式較為靈活,因此,學(xué)生需要加強(qiáng)訓(xùn)練,把握解決二次函數(shù)幾何圖形存在性問題的解題思路,提高解題效率和解題質(zhì)量.

5 最值問題——設(shè)、找、論

最值問題是二次函數(shù)的?？碱}型,最值問題通常與面積問題一同出現(xiàn).因此,在面對這一問題時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用割補(bǔ)法或鉛垂(鉛垂高,水平寬)法求出幾何圖形的面積,再通過數(shù)式關(guān)系求出最大值或最小值.

例5如圖5,已知拋物y=ax2-2ax+c經(jīng)過點(diǎn)C(1,2),與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

圖5

(1)求拋物線的解析式;

注:最值問題首先需要學(xué)生找到目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式,然后化簡等式.其次,最值問題需要學(xué)生正確計(jì)算出數(shù)式的答案,保證運(yùn)算的準(zhǔn)確率[2].

綜上所述,初中對二次函數(shù)的考查內(nèi)容雖然靈活復(fù)雜[3],但是若學(xué)生能夠利用解析式問題、動(dòng)點(diǎn)問題、面積問題、幾何圖形存在性問題和最值問題的解題方法與解題技巧,并進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,就能提高有關(guān)二次函數(shù)的解題能力.