? 江蘇省南京市溧水區(qū)明覺初級中學 湯愛花

用構造法解題是一種間接、簡捷的解題思路,它不是直接去解決某個問題A,而是構造一個與問題A有關的輔助問題B,通過對問題B的解決來實現(xiàn)問題A的解決,而問題B的解決顯然更簡便、直觀.

在初中數(shù)學解題中,數(shù)形結合思想有著廣泛的應用,其中通過構造幾何圖形來解決代數(shù)問題就是數(shù)形結合思想中“以形解數(shù)”的一種常見的方法與技巧[1].當問題條件中的數(shù)量關系具有明顯的幾何意義,或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系時,可以考慮通過構造圖形將題設條件與結論在圖形中反應出來,然后,借助圖形的性質(zhì),解決待求或待證明的問題.

借助幾何圖形的直觀性既能夠看出“數(shù)”之間的某種關系[2],例如統(tǒng)計圖表,同時也有望從“形”中獲得靈感,得到啟發(fā),找到解決問題的方法,例如在列方程解應用題時畫的分析示意圖等.

1 典例解析,方法對比

已知正數(shù)a,b,c,x,y,z,滿足a+x=b+y=c+z=k,求證:ay+bz+cx

證法1：因為a,b,c,x,y,z為正數(shù),且a+x=b+y=c+z=k,所以k3=(a+x)(b+y)(c+z)=ay(c+z)+bz(a+x)+cx(b+y)+abc+xyz=(ay+bz+cx)k+abc+xyz>(ay+bz+cx)k.

又k>0,所以k2>ay+bz+cx.

思路與總結：通過觀察已知條件式中的a與x,b與y,c與z的平列關系及求證式中左邊的輪換對稱形式,啟發(fā)我們,可嘗試從k3=(a+x)(b+y)(c+z)入手,經(jīng)過恒等變形和適當縮放,即可得到欲證的不等式.

證法1是站在代數(shù)的角度思考,采用綜合法來證明.但是這種方法的缺陷也較明顯,主要表現(xiàn)在思路不易暢通,較難看出或建立已知與未知的聯(lián)系,如果缺乏敏銳的觀察能力和較強的恒等變形能力,以及缺乏適當去掉一些正項的技巧,就很難實現(xiàn)從未知向已知的轉化.

證法2：如圖1,作邊長為k的正三角形ABC,在其三邊上分別取點P,Q,R,使AP=a,BR=b,CQ=c,則CP=x,AR=y,BQ=z.

圖1

整理,得ay+bz+cx

思路與總結：證法2是從a+x=b+y=c+z=k>0,聯(lián)想到以k為邊長的等邊三角形.這種證法思路開闊,擺脫了僅對“數(shù)”與“式”進行變形的束縛,在全面深入觀察、合理聯(lián)想的基礎上,構造了邊長為a+x,b+y,c+z(都等于k)的等邊三角形,又從結論聯(lián)想到面積公式,得到了一種新穎的證明方法.與證法1相比較,證法2顯然更簡捷.

2 變式演練,一題多解

例題求15°的三角函數(shù)值.

解法1：如圖2,作Rt△ABC,∠C=90°,∠BAC=30°,延長CA到點D,使AD=AB,連接BD.

圖2

圖3

①

解法3：如圖4,在Rt△ABC中,因為∠BAC=∠B=45°,所以BC=AC.

圖4

作∠DAC=30°,∠BAD=15°.

過點D作DE⊥AB于點E,則∠BDE=45°,BE=ED.

解法4：如圖5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,所以∠ABC=∠C=75°.

圖5

過點B作BD⊥AC于點D,所以∠ABD=60°.

圖6

思路與總結：由于15°是一個特殊的角,它等于30°的一半,因此要求它的三角函數(shù)值,除了“利用湊角或拆角、利用三角函數(shù)的誘導公式”等代數(shù)方法外,還可以考慮構造一個含有15°的直角三角形,然后再利用三角函數(shù)的定義及直角三角形的邊角關系來求解.其中解法1就是利用三角形的外角作Rt△ABC,使∠BAC=30°,且使∠BAC是等腰三角形的外角,求出各邊,再利用三角函數(shù)的定義求解;解法2是利用30°角的角平分線得15°角,再由角平分線性質(zhì)求邊的關系,進而求解;解法3是利用45°與30°的差是15°,使問題轉化為線段的比而獲解;解法4是利用75°與60°的差是15°,通過構造直角三角形來求解;解法5是利用90°與75°的差是15°,通過構造正方形、正三角形、直角三角形等圖形來求解.本題旨在考查解直角三角形知識的靈活運用能力,尤其適合訓練學生如何根據(jù)題意巧妙構造幾何圖形、尋求一題多解的綜合解題能力.

綜上所述,構造法是通過對條件和結論的敏銳觀察與廣泛聯(lián)想,在已知與未知間架起了一座橋梁,即通過構造一定的數(shù)學模型巧妙地完成解題.上述典型例題的解析與一題多解的實戰(zhàn)演練,就是靈活運用數(shù)形結合思想“以形解數(shù)”的精彩呈現(xiàn),讓我們充分感受到了構造圖形法解題具有“構思精巧、手法靈活、形象直觀、化繁為簡、簡捷實用”的巨大優(yōu)越性,值得參考與學習[3].在教學過程中,學生在運用構造圖形法解決代數(shù)問題時,要在深刻理解題意的基礎上,確保構圖的準確性與完整性,避免“胡構”“亂造”和“碰運氣”,教師要引導學生從不同的角度去分析、思考、比較,形成多樣化的解題方法,最終才能達到事半功倍的解題效果.