? 湖北省武漢市第64中學(xué) 黃章海

? 湖北省武漢市十一初級(jí)中學(xué) 汪 帆

1 考查理解能力,重視數(shù)學(xué)抽象

A．266 B．270 C．271 D．285

賞析：本題是一道數(shù)形結(jié)合的找規(guī)律問題,有兩種思考方法.如圖1,直接根據(jù)題目的條件去求△ABO內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù).先求出直線OB和直線AB的解析式,然后依次取x=1,2,3,……,19,找到格點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為28,26,25,23,22,20,19,……,2,1,總個(gè)數(shù)為(1+4+……+28)+(2+5+……+26)=145+126=271.還有一種思考方法是從題目所給的皮克定理出發(fā),先求出△ABO的面積是300,然后求出邊界上的格點(diǎn)數(shù)為30+10+20=60,最后代入皮克定理即可得出△ABO內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是271.作為選擇題的壓軸題,如果直接去求稍微有點(diǎn)難度,本題中介紹了皮克定理,命題人的本意是側(cè)重于考查學(xué)生對(duì)“新定理”的理解能力,將尋求內(nèi)部格點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題抽象成皮克定理模型,轉(zhuǎn)化為求較為簡(jiǎn)單的面積和邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

圖1

2 考查幾何變換,重視邏輯推理

試題2(試卷第21題)如圖2是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn),E是AD上的格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.

圖2

(1)在圖2(1)中,先將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫對(duì)應(yīng)線段BF,再在CD上畫點(diǎn)G,并連接BG,使∠GBE=45°;

(2)在圖2(2)中,M是BE與網(wǎng)格線的交點(diǎn),先畫點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N,再在BD上畫點(diǎn)H,并連接MH,使∠BHM=∠MBD.

賞析：本題是以正方形網(wǎng)格為背景,利用無刻度直尺完成作圖的題.此題將旋轉(zhuǎn)、翻折、平移這三大幾何變換都考查到位,實(shí)現(xiàn)了幾何變換考點(diǎn)的全覆蓋.如第(1)問中涉及到旋轉(zhuǎn)和翻折變換,第(2)問中暗含平移變換等.

本題不僅要求學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手能力和空間想象能力,還需要有一定的幾何邏輯推理能力.

如第(1)問中要畫點(diǎn)G使∠GBE=45°,就可以通過等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為畫EF的中點(diǎn)(如圖3).

圖3

第(2)問中要畫點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N,可以根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性和翻折全等的幾何推理去轉(zhuǎn)化.畫點(diǎn)H的方法較多,如果能利用所學(xué)的幾何邏輯推理轉(zhuǎn)化為平行會(huì)比較容易處理,圖4中利用“A字形”相似可推導(dǎo)得BN∥MH,圖5中利用構(gòu)造平行四邊形得到BM∥NH,再利用軸對(duì)稱性可得四邊形BNHM為菱形,從而∠BHM=∠MBD.

圖4

圖5

3 考查應(yīng)用能力,重視數(shù)學(xué)建模

試題3(試卷第22題)某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛行,通過實(shí)驗(yàn),收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離x(單位:m)、飛行高度y(單位:m)隨飛行時(shí)間t(單位:s)變化的數(shù)據(jù)如表1.

表1

探究發(fā)現(xiàn):x與t,y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述,直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).

問題解決:如圖6,活動(dòng)小組在水平安全線上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī).根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題:

圖6

(1)若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0 m,求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離;

(2)在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN,AM=125 m,MN=5 m．若飛機(jī)落到MN內(nèi)(不包括端點(diǎn)M,N),求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍.

賞析：本題是以學(xué)生比較感興趣的航模飛行為背景,以一次函數(shù)和二次函數(shù)為載體的綜合性應(yīng)用題,是對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的全面考查.“探究發(fā)現(xiàn)”直接考查用待定系數(shù)法求兩個(gè)函數(shù)的解析式,問題解決的第(1)問是根據(jù)題意列出一元二次方程,并求解方程,再代入到一次函數(shù)中求出飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離;第(2)問則是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成不等式組來求解.本題全面考查了學(xué)生的讀題、審題能力,要求能夠在理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型,并用所學(xué)的方程和函數(shù)以及不等式的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題.

4 考查主干知識(shí),重視數(shù)學(xué)運(yùn)算

試題4(試卷第24題)拋物線C1:y=x2-2x-8交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊),交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)如圖7(1),作直線x=t(0

圖7

(3)如圖7(2),將拋物線C1平移得到拋物線C2,其頂點(diǎn)為原點(diǎn),直線y=2x與拋物線C2交于O,G兩點(diǎn),過OG的中點(diǎn)H作直線MN(異于直線OG)交拋物線C2于M,N兩點(diǎn),直線MO與直線GN交于點(diǎn)P,問點(diǎn)P是否在一條定直線上?若是,求該直線的解析式;若不是,說明理由.

圖8

5 考查函數(shù)圖象,重視直觀想象

試題5(試卷第14題)我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步．今不善行者先行一百步,善行者追之,問幾何步及之?”如圖9是善行者與不善行者行走路程s(單位:步)關(guān)于善行者的行走時(shí)間t的函數(shù)圖象,則兩圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是______.

圖9

圖10

6 考查統(tǒng)計(jì)知識(shí),重視數(shù)據(jù)分析

試題6(試卷第14題)某校為了解學(xué)生參加家務(wù)勞動(dòng)的情況,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生在某個(gè)休息日做家務(wù)的勞動(dòng)時(shí)間t(單位:h)作為樣本,將收集的數(shù)據(jù)整理后分為A,B,C,D,E五個(gè)組別,其中A組的數(shù)據(jù)分別為0.5,0.4,0.4,0.4,0.3,繪制成如表2不完整的統(tǒng)計(jì)表及如圖11的統(tǒng)計(jì)圖:

表2 各組勞動(dòng)時(shí)間的頻數(shù)分布

圖11

請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題:

(1)A組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______.

(2)本次調(diào)查的樣本容量是______,B組所在扇形的圓心角的大小是______.

(3)若該校有1 200名學(xué)生,估計(jì)該校學(xué)生勞動(dòng)時(shí)間超過1 h的人數(shù).

賞析：本題是一道數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計(jì)的綜合性試題.2023年將統(tǒng)計(jì)方面的試題進(jìn)行了整合,將求數(shù)據(jù)的眾數(shù)放到了第19題中考查,整體分值減少了3分.本題以統(tǒng)計(jì)學(xué)生勞動(dòng)時(shí)間為載體,以頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖的形式,考查了眾數(shù)、樣本容量、扇形圓心角的度數(shù)、樣本估計(jì)總體等基本常規(guī)考點(diǎn).其實(shí)近幾年中考中這些內(nèi)容都保持了相對(duì)的穩(wěn)定,難度不高,是對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的考查.

一套好的中考試題應(yīng)該能對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到較好的導(dǎo)向作用,既能全面考查初中階段學(xué)生所需掌握的基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力,又能促使更多的學(xué)生參與數(shù)學(xué)思考,有利于不同層次的學(xué)生考出真實(shí)水平,最終以達(dá)到立意于能力、落實(shí)于素養(yǎng)的根本目的.Z