? 江蘇省泰興市濟(jì)川初級中學(xué) 張菲菲

圓周角、圓周角定理及其推論是解決圓內(nèi)有關(guān)角的問題的基礎(chǔ),并為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形的角的關(guān)系提供前提,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容前,學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了圓的基本概念,本課是對圓周角的度數(shù)及其所對弧的度數(shù)關(guān)系的深入探究.在本課教學(xué)中,教師從學(xué)生已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),為學(xué)生搭建平等、和諧的自主探究環(huán)境,并在“有形”的定理證明中滲透“無形”的數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值,提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).筆者結(jié)合教學(xué)片斷進(jìn)行說明,以期在教學(xué)中重視挖掘和滲透數(shù)學(xué)思想方法.

1 教學(xué)片斷

學(xué)習(xí)了圓周角的定義后,教師以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為起點(diǎn),啟發(fā)學(xué)生自主研究圓周角與圓心角(弧的度數(shù))之間的關(guān)系.過程如下:

問題如圖1,在圓O上任取兩點(diǎn)A,B.過圓心O作圓的直徑BC,連接BA,OA,圓心角∠AOC的度數(shù)與它所對的弧AC的度數(shù)相等.根據(jù)這一結(jié)論,試探究圓周角∠ABC的度數(shù)與它所對的弧存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.

圖1

師:弧AC所對的圓周角有幾個(gè)?

生齊聲答:無數(shù)個(gè).

師:圖1所示的圓周角∠ABC的兩邊具有怎樣的特點(diǎn)?

生1:其中一條邊BC經(jīng)過圓心,是圓的直徑.

師:很好,∠ABC的兩邊還有其他情況嗎?

生2:它的兩條邊可能都不經(jīng)過圓心.

師:大家動(dòng)手畫一畫,若∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心可以怎么畫?

學(xué)生動(dòng)手畫,教師巡視,然后組織學(xué)生互動(dòng)交流,進(jìn)一步分類.

生3:圓周角∠ABC的兩邊不過圓心時(shí),可以分為兩種情況,即圓心在圓周角∠ABC的內(nèi)部(如圖2)和圓心在圓周角∠ABC的外部(如圖3).

圖2

圖3

師:很好,大家觀察得非常仔細(xì).這兩種情況下,圓周角∠ABC與弧AC的度數(shù)存在怎樣的關(guān)系?上述結(jié)論是否依然成立?(生沉思.)

師:能否將以上兩種情況轉(zhuǎn)化為其中一邊過直徑的情況呢?

在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下,學(xué)生積極思考,很快找到了解決問題的方案.

生4:對于圖2,連接BO并延長,使其交圓O于點(diǎn)D,如圖4.這樣圓周角∠ABC被分解成兩個(gè)角,分別為∠ABD和∠CBD,這樣就將問題轉(zhuǎn)化為圖1所示的情況,即圓周角的一邊過圓心.

圖4

師:非常棒,這樣通過添加輔助線,將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.現(xiàn)在你能否得到與圖1相同的結(jié)論呢?

師:非常好!對于圖3呢?它是否也可以轉(zhuǎn)化為圖1的形式,并得到與圖1相同的結(jié)論呢?

與圖2的探究方法相類比,學(xué)生很快找到了解決問題的方法.

圖5

至此,通過特殊化思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法的滲透,學(xué)生順利得到了結(jié)論,促進(jìn)了知識(shí)的深化和思維能力的發(fā)展.

2 教學(xué)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的講授過程,也是學(xué)生能力提升的過程.在日常教學(xué)中,為了追求成績,部分教師常常通過講授的方式直接將相關(guān)的概念、結(jié)論、公式等基礎(chǔ)知識(shí)告知學(xué)生,讓學(xué)生記憶,然后通過大量的練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化.這樣“講授+練習(xí)”的方式雖然可以在短時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,但是不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展,有悖于教育的初衷.因此,在日常教學(xué)中,教師要?jiǎng)?chuàng)造條件讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和合作交流,引導(dǎo)學(xué)生共同探究數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì),發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力.在圓周角定理的證明中,教師從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā),重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.現(xiàn)將其中所蘊(yùn)含的思想方法進(jìn)行梳理,以期引發(fā)共鳴.

2.1 分類討論思想

在遇到一些復(fù)雜的問題時(shí),可以按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把要研究的問題分為幾類或幾種情況進(jìn)行討論,以此化整為零,各個(gè)突破.

圓周角定理揭示的是一條弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系,而一條弧所對的圓周角與圓心存在三種不同的位置關(guān)系,分別為圓心在圓周角的一條邊上,圓心在圓周角內(nèi)部和圓心在圓周角外部,因此證明定理的過程中需要分三種情況討論.對于該定理的證明,若僅有一種或兩種情況成立并不能證明該結(jié)論成立,因此需要“分而治之”,逐一證明.

2.2 特殊化思想

所謂特殊化,就是先將一些不易于理解和接受的一般性問題轉(zhuǎn)化為特殊問題,以此借助特殊情形找到解決問題的突破口,然后逐漸將問題推廣至一般情況,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,得到一般結(jié)論.

2.3 化歸思想

數(shù)學(xué)問題是靈活多變的,但其中往往蘊(yùn)含著一定的規(guī)律.在研究一些復(fù)雜、陌生的問題時(shí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將它們轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題,從而將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題來解決,以此快速找到解決問題的突破口,提高解題效率.

例如,在研究圖2和圖3時(shí),教師啟發(fā)學(xué)生向已解決的圖1的形式轉(zhuǎn)化.這樣在明確的目標(biāo)指引下,學(xué)生通過添加輔助線,將圓心在圓周角內(nèi)和圓心在圓周角外的兩種情況轉(zhuǎn)化為其中一條邊過圓心的情況,進(jìn)而利用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題.其實(shí),化歸思想在解題中是非常常見且應(yīng)用非常廣泛,如在解決方程問題時(shí),有時(shí)候需要將多元化為一元,將高次化為低次.在日常教學(xué)中,教師不要急于給出結(jié)論,應(yīng)嘗試引導(dǎo)學(xué)生將陌生的、難以解決的問題向熟悉的、易于理解的問題轉(zhuǎn)化,以此借助已有經(jīng)驗(yàn)高效解決問題.

2.4 類比思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,在研究一些相似或相關(guān)的問題時(shí),可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將這些相似或相關(guān)的內(nèi)容相類比,從而推測結(jié)論相似或解法相似,以此提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

例如,在分析圖3時(shí),啟發(fā)學(xué)生與探究圖2的經(jīng)驗(yàn)相類比,從而得到直徑BF,借助解決圖1和圖2的經(jīng)驗(yàn)解決問題.其實(shí),許多結(jié)論的得出和問題的解決都需要運(yùn)用類比思想.如,在研究平行四邊形的判定和性質(zhì)時(shí),一般會(huì)與矩形、菱形、正方形的相關(guān)知識(shí)相類比;又如,在學(xué)習(xí)三角形相似的判定定理時(shí),會(huì)與全等三角形的判定定理相類比.教學(xué)過程中,教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有結(jié)論去推測相似的未知結(jié)論,以此拓寬學(xué)生視野,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視引導(dǎo)挖掘知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法,充分發(fā)揮教育的育人功能,提高學(xué)生的認(rèn)知能力,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).Z