? 河北省唐山市第五十四中學(xué) 尚秀清

培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),就是要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為抽象能力(數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí))、幾何直觀、空間觀念和創(chuàng)新意識(shí);數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力;數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識(shí)、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí).課堂作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主陣地,為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)提供可持續(xù)的支撐.勾股定理的應(yīng)用中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、幾何直觀素養(yǎng).

1 勾股定理的應(yīng)用中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)分析

1.1 從文字描述到符號(hào)表達(dá):勾股定理中的數(shù)學(xué)抽象

史寧中認(rèn)為,數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴(lài)、所依靠的思想,是研究數(shù)學(xué)學(xué)科不可缺少的思想,也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).理解和掌握數(shù)學(xué)所應(yīng)追求和達(dá)成的目標(biāo).數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴(lài)的思想本質(zhì)上包含抽象、推理、模型,其中抽象是基礎(chǔ).把現(xiàn)實(shí)生活中的具體情境通過(guò)抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,經(jīng)過(guò)推理得到數(shù)學(xué)結(jié)論,再經(jīng)過(guò)模型構(gòu)建數(shù)學(xué)與其他的關(guān)聯(lián).

勾股定理描述了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系,為全等三角形的判定、相似三角形、三角函數(shù)等后續(xù)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,受到應(yīng)試機(jī)制的影響,教學(xué)更多聚焦于勾股定理在解題中的應(yīng)用,因而忽視了其自身的教育價(jià)值,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)勾股定理的理解流于表面,知其然而不知其所以然,沒(méi)有經(jīng)歷勾股定理的抽象過(guò)程.數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)在于摒棄一切物理屬性而獲得數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的本質(zhì)屬性.在“勾股定理”的教學(xué)中,可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷勾股定理的抽象過(guò)程.例如,可以給出一些三角形,其中包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,然后由學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)這些三角形邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系,確定哪類(lèi)三角形的邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系是穩(wěn)定的,完成文字表述,進(jìn)而形成符號(hào)語(yǔ)言,這本身就是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.

1.2 從圖形關(guān)系到數(shù)量關(guān)系:勾股定理中的幾何直觀

在研究幾何圖形的數(shù)量關(guān)系時(shí),要結(jié)合圖形直觀地去探索和研究,不能憑空思考;反之,幾何圖形中又蘊(yùn)含了與其緊密聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系.勾股定理描述了直角三角形三邊的特殊關(guān)系,它架起了幾何與代數(shù)的橋梁,在初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中,貫穿于不同內(nèi)容不同問(wèn)題中,把邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系.華羅庚教授曾指出“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”.數(shù)形結(jié)合作為一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法,是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理能力和應(yīng)用意識(shí)等素養(yǎng)的重要載體.勾股定理是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典內(nèi)容,主題思想是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.例如,嘉嘉要將一根竹竿帶進(jìn)電梯,電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是2 m,1 m,3 m,那么嘉嘉放到電梯內(nèi)的竹竿最大長(zhǎng)度是多少呢?要解決這個(gè)問(wèn)題,需要抽象出長(zhǎng)方體模型,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體內(nèi)線段最長(zhǎng)的問(wèn)題.學(xué)生通過(guò)分類(lèi)討論及對(duì)圖形的觀察、比較,探究出電梯斜對(duì)角之間的線段最長(zhǎng),探究過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

1.3 從經(jīng)驗(yàn)感知到論證推演:勾股定理中的邏輯推理

數(shù)學(xué)的主要功能之一就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在課程總體目標(biāo)中做了如下要求:經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程,發(fā)展合情推理和演繹推理能力.能有條理地、清晰地表述自己的觀點(diǎn).勾股定理的探究過(guò)程“創(chuàng)設(shè)情境—觀察、分析、歸納—獲得猜想—操作、驗(yàn)證和證明猜想”是合情推理、演繹推理課堂教學(xué)模式.如在探究勾股定理時(shí),先從特殊情況入手,在網(wǎng)格紙上畫(huà)格點(diǎn)等腰直角三角形,以三邊為邊向外作正方形,利用面積法探究出等腰直角三角形三邊關(guān)系,然后繼續(xù)探究特殊直角三角形三邊關(guān)系,最后探究一般直角三角形三邊關(guān)系,這個(gè)過(guò)程是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納.

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在勾股定理應(yīng)用中的滲透

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí),不是指?jìng)魇诰唧w的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能,也不是培養(yǎng)一般意義上的數(shù)學(xué)能力,它基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能,又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能,凌駕于數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之上.下面談?wù)剶?shù)學(xué)核心素養(yǎng)在勾股定理應(yīng)用中的滲透.

2.1 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

教育家陶行知先生提出了“教學(xué)生活化”的教育思想,即從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā),打破教材,從學(xué)教材變?yōu)橛媒滩?把社會(huì)生活中的有效資源與課本知識(shí)融會(huì)貫通.教師要充分挖掘生活中的素材,引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、領(lǐng)悟抽象、建立模型過(guò)程,進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng).數(shù)學(xué)從生活中來(lái),又應(yīng)用于生活中.如從畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客發(fā)現(xiàn)朋友家地磚鋪成的圖案,反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.從實(shí)際生活引入,通過(guò)對(duì)一系列等腰直角三角形、一般直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的探究,學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些邊的數(shù)量關(guān)系中有穩(wěn)定關(guān)系,用數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.2 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知,發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)

史寧中教授說(shuō),數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴(lài)于直觀,數(shù)學(xué)知識(shí)的確定依賴(lài)于推理.換句話(huà)說(shuō),數(shù)學(xué)的結(jié)果有時(shí)可以依靠“觀察”得出并不是經(jīng)過(guò)“推理”得到的.所謂“觀察”是一種直覺(jué)判斷,這種直覺(jué)判斷是學(xué)生經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期有效的觀察和思考形成的一種能力.這種能力被稱(chēng)為直觀能力,是人本身先天存在的,不需后天培養(yǎng),但是良好的直觀能力的養(yǎng)成卻依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn).直觀不是“教”出來(lái)的,而是自己“悟”出來(lái)的,這就需要經(jīng)驗(yàn)積累.在證明勾股定理的探究中,學(xué)生準(zhǔn)備邊長(zhǎng)分別為a,b的兩個(gè)正方形紙板,一把剪刀,一把直尺.

如圖1,把邊長(zhǎng)為a,b的兩個(gè)正方形連在一起,它的面積是a2+b2;另一方面,這個(gè)圖形分可割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形.

圖1

把圖1中的兩個(gè)三角形移到圖1(2)中所示的位置,形成以c為邊長(zhǎng)的正方形(趙爽弦圖).課堂中,學(xué)生動(dòng)手操作、探究,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系,發(fā)展了幾何直觀素養(yǎng).

2.3 經(jīng)歷勾股定理的探索和證明,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說(shuō)過(guò),學(xué)生動(dòng)手操作是培養(yǎng)學(xué)生推理能力有效途徑.我國(guó)著名教育家陶行知先生提出了“手腦并用”的理論,他提倡讓孩子通過(guò)自己的口、眼、手,在親自感知、觀察、操作的過(guò)程中習(xí)得知識(shí).本研究認(rèn)為,教師在課堂上組織學(xué)生觀察、動(dòng)手操作,啟發(fā)他們思考,指導(dǎo)他們通過(guò)觀察與分析、領(lǐng)悟與發(fā)現(xiàn),歸納其中的規(guī)律,發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力.活動(dòng)一:讓學(xué)生畫(huà)三個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為1,2,3的等腰直角三角形,以三邊為邊向外作正方形,并觀察正方形的面積關(guān)系.以直角邊為邊的正方形面積記作SA,SB,以斜邊為邊的正方形面積記作SC,則SA+SB=SC.活動(dòng)二:學(xué)生在網(wǎng)格紙上畫(huà)一個(gè)直角邊長(zhǎng)度分別為3,4的直角三角形,得到SA+SB=SC.活動(dòng)三:猜想一般直角三角形的三邊是否也具有這個(gè)特征?在這個(gè)教學(xué)片斷中,師生圍繞直角三角形的三邊關(guān)系問(wèn)題,經(jīng)歷從特殊直角三角形到一般直角三角形,層層深入,得出直角三角形的三邊關(guān)系.教師在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問(wèn)題,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)他們親歷“猜想-驗(yàn)證-結(jié)論”的探究過(guò)程,發(fā)展合情推理能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是思維的體操;培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的邏輯推理能力,“有情理、合理性地思考”,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.這種循序漸進(jìn)、拾階而上的過(guò)程和方法是數(shù)學(xué)育人的力量所在,是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體[1].

2.4 深度探究、拓展思維,鼓勵(lì)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新

新課程要求培養(yǎng)學(xué)生的批判意識(shí)、質(zhì)疑精神和創(chuàng)新能力,更重視學(xué)生的自主性、主動(dòng)探究,使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過(guò)程中更好地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo),精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,鼓勵(lì)學(xué)生積極思考,引導(dǎo)學(xué)生探究、交流,促進(jìn)學(xué)生能力得到提升和發(fā)展.

探究活動(dòng):學(xué)生課前準(zhǔn)備4個(gè)全等的直角三角形,每個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為ɑ,b(ɑ

本環(huán)節(jié)問(wèn)題的設(shè)置具有開(kāi)放性,有利于促進(jìn)學(xué)生從多方面、多角度(如圖2)進(jìn)行思考,從而使思維向縱深、寬廣的方向發(fā)展,培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

圖2

追問(wèn):用兩個(gè)直角三角形能證明勾股定理嗎?

學(xué)生的思維大門(mén)被打開(kāi),通過(guò)拆分、平移三角形等得到新的證法,如圖3所示.

圖3

“知識(shí)只有當(dāng)它靠積極的思維得來(lái),而不是靠記憶得來(lái)的時(shí)候,才是真正的知識(shí).”在課堂教學(xué)中,教師要把琢磨、研究的權(quán)利還給學(xué)生,給學(xué)生充分思考、合作交流的時(shí)間.這樣利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考,利于培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、探究能力,利于學(xué)生創(chuàng)新思維及學(xué)習(xí)主動(dòng)性的培養(yǎng).

總體來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考及數(shù)學(xué)表達(dá).數(shù)學(xué)觀察即數(shù)學(xué)抽象能力、幾何直觀;數(shù)學(xué)思考即數(shù)學(xué)推理能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;數(shù)學(xué)表達(dá)包含數(shù)學(xué)模型意識(shí)及數(shù)據(jù)觀念.勾股定理的學(xué)習(xí),注重了知識(shí)的來(lái)源及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,學(xué)生經(jīng)歷觀察思考、動(dòng)手操作、猜想驗(yàn)證,完成了對(duì)勾股定理的探索.學(xué)生在探究過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理的方法;重視勾股定理的得出過(guò)程,注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后邏輯.學(xué)生經(jīng)歷抽象、歸納過(guò)程,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維認(rèn)識(shí)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的眼光去觀察,落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā),建立研究問(wèn)題的思路,引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證猜想,進(jìn)而得出結(jié)論.用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,通過(guò)小組或同學(xué)間的交流,逐漸學(xué)會(huì)清晰、準(zhǔn)確而有邏輯地表達(dá)思想,善于傾聽(tīng)他人見(jiàn)解,內(nèi)化他人思想,達(dá)到同學(xué)之間相互學(xué)習(xí)和共同提高[2].最后,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界.