許 珂，劉學(xué)生,2，譚云亮,2，李學(xué)斌，高宇棟，宋 虎，唐穎鈺

（1. 山東科技大學(xué)能源與礦業(yè)工程學(xué)院，山東 青島 266590；2. 山東科技大學(xué)省部共建礦山巖層智能控制與綠色開采國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，山東 青島 266590）

0 引言

巖石作為一種復(fù)雜地質(zhì)體，長期經(jīng)歷各種地質(zhì)作用和人工活動(dòng)，經(jīng)受變形，遭受破壞，其內(nèi)部往往存在各種復(fù)雜的節(jié)理、層理、斷層等結(jié)構(gòu)面，這些結(jié)構(gòu)面的存在影響著巖石的穩(wěn)定性和強(qiáng)度變形特性。節(jié)理巖石作為壩體、基坑、邊坡、地下硐室等巖體工程中經(jīng)常遇到的復(fù)雜介質(zhì)，其力學(xué)性質(zhì)直接影響工程的設(shè)計(jì)、施工及其長期穩(wěn)定性[1]。

自20世紀(jì)以來，國內(nèi)外眾多學(xué)者圍繞節(jié)理巖石力學(xué)特性[2-9]及強(qiáng)度預(yù)測方法[10-15]開展了大量研究，并取得了豐富的成果。在經(jīng)典巖石力學(xué)領(lǐng)域，提出了幾種著名的巖石強(qiáng)度理論并被廣泛應(yīng)用。如JEAGER發(fā)展了單弱面理論，認(rèn)為含一組節(jié)理面各向異性巖石的破壞特征受節(jié)理面方位控制，基于該理論可對巖石抗壓強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測[16]。HOEK等[17-19]提出了著名的Hoek-Brown準(zhǔn)則，通過選取合適的描述巖石軟硬程度和破碎程度的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)預(yù)測節(jié)理巖石強(qiáng)度，對于節(jié)理面發(fā)育程度較高的巖石有較好的預(yù)測精度。后來，HOEK等[20]又基于GSI對Hoek-Brown準(zhǔn)則進(jìn)行修正，建立了廣義Hoek-Brown屈服準(zhǔn)則理論體系。隨著損傷力學(xué)和斷裂力學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)者將其思想方法應(yīng)用到節(jié)理巖石力學(xué)特性的分析中，如KAWAMOTO等[21]和SWOBODA等[22]采用節(jié)理面幾何特征參數(shù)定義了二階損傷張量，并引入節(jié)理面?zhèn)鲏簜骷粝禂?shù)等參數(shù)反映節(jié)理面間應(yīng)力傳遞情況；孫衛(wèi)軍等[23]基于損傷力學(xué)原理和概率統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算損傷張量，并將其引入節(jié)理巖石彈塑性損傷本構(gòu)模型；朱維申等[24]基于Betti能量互易定理求出節(jié)理巖石的等效彈性張量，根據(jù)節(jié)理裂紋擴(kuò)展過程中能量轉(zhuǎn)換和相互作用建立了節(jié)理巖石的損傷演化方程；陳文玲等[25]從單節(jié)理尖端應(yīng)力場引起的附加應(yīng)變能入手，推導(dǎo)出能描述節(jié)理端部應(yīng)力集中和相互影響的巖石細(xì)觀損傷模型；任利等[26]基于斷裂力學(xué)理論，求解了裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子無量綱系數(shù)，進(jìn)而改進(jìn)了張破裂壓剪準(zhǔn)則，并基于此推導(dǎo)了單節(jié)理巖石抗壓強(qiáng)度（該文中指初始斷裂強(qiáng)度）預(yù)測公式；袁小清等[27-28]和趙怡晴等[29]考慮節(jié)理巖石宏觀損傷和受荷細(xì)觀損傷，基于斷裂力學(xué)原理和Lemaitre應(yīng)變等效假設(shè)推導(dǎo)了宏細(xì)觀損傷耦合的非貫通節(jié)理巖石本構(gòu)模型。

盡管目前已經(jīng)建立了多種節(jié)理巖石損傷模型和強(qiáng)度預(yù)測公式，但這些模型和公式多存在以下兩方面問題：一方面是公式中的部分參數(shù)難以準(zhǔn)確測量和確定，譬如節(jié)理面的傳壓傳剪系數(shù)等，經(jīng)驗(yàn)參數(shù)選取不當(dāng)會(huì)給預(yù)測結(jié)果帶來較大誤差；另一方面是模型本身關(guān)于由節(jié)理產(chǎn)狀差異導(dǎo)致的不同破壞模式對巖石強(qiáng)度的影響考慮不充分，導(dǎo)致預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果有部分不一致，比如當(dāng)節(jié)理傾角小于內(nèi)摩擦角時(shí)，多認(rèn)為巖石無法沿節(jié)理面滑移破壞，則巖石單軸強(qiáng)度應(yīng)與無損巖石相同，這與試驗(yàn)結(jié)果不符。

針對以上問題，本文首先利用PFC建立不同單節(jié)理產(chǎn)狀巖石數(shù)值模型，開展一系列單軸壓縮數(shù)值模擬試驗(yàn)，研究節(jié)理尺寸和傾角對巖石力學(xué)特性的影響規(guī)律，在此基礎(chǔ)上提出單節(jié)理巖石強(qiáng)度預(yù)測模型，并進(jìn)行算例驗(yàn)證。研究可揭示并精確表征單節(jié)理產(chǎn)狀對巖石破壞模式和單軸抗壓強(qiáng)度的影響，便于工程現(xiàn)場實(shí)際應(yīng)用。

1 單節(jié)理巖石單軸壓縮數(shù)值模擬試驗(yàn)

1.1 室內(nèi)試驗(yàn)

為了在數(shù)值模擬試驗(yàn)中獲得與真實(shí)節(jié)理巖石一致的力學(xué)響應(yīng)，首先進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)獲得真實(shí)紅砂巖試樣基本力學(xué)參數(shù)、應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程曲線及破壞形態(tài)，以作為數(shù)值模擬模型構(gòu)建時(shí)的參照。室內(nèi)試驗(yàn)巖石試件取樣自紅砂巖，巖樣質(zhì)地均勻，無明顯裂隙，按照《煤和巖石物理力學(xué)性質(zhì)測定方法第7部分：單軸抗壓強(qiáng)度測定及軟化系數(shù)計(jì)算方法》（GB/T 23561.7—2009）中試件規(guī)格加工成Φ50 mm×100 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱體試件，共加工3個(gè)，并采用RLJW-2000型電液伺服試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，加載速率為0.05 mm/min，獲得試件的應(yīng)力應(yīng)變曲線和破壞形態(tài)，如圖1所示。試件沿一定角度剪切破壞，平均單軸抗壓強(qiáng)度為53.58 MPa，平均彈性模量為6.57 GPa，平均泊松比為0.327。

圖1 室內(nèi)試驗(yàn)設(shè)備與結(jié)果Fig. 1 Laboratory test equipment and results

1.2 建模與模擬方案

為更好研究巖石材料微觀裂隙擴(kuò)展及內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變演化，選用PFC5.0顆粒流分析軟件，利用合成巖體（SRM）方法[30]建立節(jié)理巖石數(shù)值模型。節(jié)理巖石由巖石基質(zhì)及節(jié)理組成，其中，巖石基質(zhì)采用BPM（Bonded Particle Model）表征，以PFC中顆粒單元為基礎(chǔ)，顆粒間接觸模型選用線性平行黏結(jié)（Linear Parallel Bond Model）模型模擬巖石顆粒間的相互作用。節(jié)理則采用PFC中DFN（Discrete Fracture Network）模型表征，DFN的接觸模型選用光滑節(jié)理（Smooth-Joint）模型模擬節(jié)理面的滑移和張開。SRM方法將兩者結(jié)合，形成準(zhǔn)確模擬節(jié)理巖石力學(xué)性質(zhì)的數(shù)值計(jì)算模型。

參考室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果建立巖石基質(zhì)數(shù)值模型，模型尺寸與室內(nèi)試驗(yàn)巖石試件一致，高度為100 mm，直徑為50 mm，在二維平面中呈現(xiàn)為長方形。顆粒與接觸模型的細(xì)觀參數(shù)，根據(jù)室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果，采用“試錯(cuò)法”確定，即通過不斷調(diào)整細(xì)觀參數(shù)，直到巖石試件數(shù)值模型的單軸壓縮模擬結(jié)果與相同條件下室內(nèi)試驗(yàn)的彈性模量、泊松比和抗壓強(qiáng)度等宏觀性質(zhì)盡量相近。經(jīng)過多次匹配調(diào)整，最終確定了一組能夠較好反映實(shí)際巖石宏觀力學(xué)特性的數(shù)值模型細(xì)觀參數(shù)，具體取值見表1，數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果對比如圖2所示。由圖2可知，數(shù)值模擬得到的彈性模量、峰值強(qiáng)度和破壞形態(tài)與室內(nèi)試驗(yàn)基本一致。盡管室內(nèi)試驗(yàn)巖石試件選取均質(zhì)無明顯裂隙巖樣制備，但仍無法完全杜絕試樣內(nèi)部細(xì)微裂隙存在，數(shù)值模擬和室內(nèi)試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線在峰后存在少量差異；

表1 數(shù)值模型細(xì)觀參數(shù)Table 1 Mesoscopic parameters of numerical model

圖2 數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果對比Fig. 2 Comparison of numerical simulation and laboratory test results

并且由于PFC中應(yīng)力-應(yīng)變曲線不能體現(xiàn)材料的初始壓密階段，數(shù)值模擬獲得的峰值應(yīng)變一般要小于室內(nèi)試驗(yàn)獲得的峰值應(yīng)變[31]，根據(jù)文獻(xiàn)[31]，模擬中這種程度的誤差是可以接受的。綜上，該數(shù)值模型及參數(shù)能較好地反映實(shí)際巖石的力學(xué)性質(zhì)。

在PFC生成巖石基質(zhì)模型后，基于PFC內(nèi)置的DFN模型，在巖石上分別生成不同尺寸和傾角的單節(jié)理，得到包含不同單節(jié)理產(chǎn)狀的巖石數(shù)值模型。根據(jù)前人文獻(xiàn)中大部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單節(jié)理巖石分別在節(jié)理尺寸最大和節(jié)理傾角在45°左右時(shí)受節(jié)理影響最大，強(qiáng)度也最低，因此，為保證模擬中節(jié)理對巖石力學(xué)特性產(chǎn)生足夠影響，模型設(shè)置方案共2組18個(gè)模型，其中，第一組模型節(jié)理傾角均為45°，節(jié)理尺寸為5～50 mm，同時(shí)加入無損巖石作為對照；第二組模型節(jié)理尺寸均為40 mm，節(jié)理傾角為0°～90°，同樣加入無損巖石作為對照。如圖3和圖4所示，圖中淺色部分為巖石基質(zhì)，深色部分為節(jié)理，上下黑色線條為加載板。

圖4 不同節(jié)理傾角巖石數(shù)值模型Fig. 4 Numerical model of rock with different joint dip angles

采用恒定位移加載速率0.05 m/s[32-33]分別對模型進(jìn)行單軸加載試驗(yàn)，當(dāng)試件破壞且試件應(yīng)力下降至峰值強(qiáng)度的30%時(shí)停止加載。

1.3 節(jié)理尺寸對巖石力學(xué)特性影響

對第一組模型進(jìn)行單軸加載試驗(yàn)，得到試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線、單軸抗壓強(qiáng)度和破壞形態(tài)特征，如圖5和圖6所示。

圖5 不同節(jié)理尺寸巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 5 Stress-strain curves of rock with different joint sizes

圖6 不同節(jié)理尺寸巖石強(qiáng)度和破壞形態(tài)Fig. 6 Strength and failure modes of rock with different joint sizes

由圖5可知，隨著節(jié)理尺寸的增大，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值和斜率逐漸減小，說明巖石的單軸抗壓強(qiáng)度和彈性模量均逐漸減小，損傷逐漸嚴(yán)重；同時(shí)，曲線峰值附近開始出現(xiàn)一定的塑性變形，節(jié)理尺寸超過30 mm時(shí)，峰后出現(xiàn)一定寬度的“平臺(tái)”，即巖石的塑性和延性特性增強(qiáng)，破壞逐漸由無損巖石的脆性破壞轉(zhuǎn)化為延性破壞，“平臺(tái)”可能是由于節(jié)理巖石最弱承載截面到達(dá)應(yīng)力承載極限后的整體破壞弱化過程中調(diào)整重組承載截面所導(dǎo)致。節(jié)理尺寸較小時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線與無損巖石比較接近，如節(jié)理尺寸為5 mm時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線與無損巖石幾乎完全貼合，抗壓強(qiáng)度和彈性模量等參數(shù)幾乎相同；而尺寸達(dá)到50 mm時(shí)，曲線的峰值和斜率大幅減小，峰值強(qiáng)度較無損巖石減少約71%。

由圖6可知，節(jié)理尺寸對巖石單軸強(qiáng)度影響較大，兩者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。且在單軸壓縮條件下，無損巖石的破壞模式呈現(xiàn)為沿一定角度穿切巖石的剪切破壞，節(jié)理巖石的破壞模式主要呈現(xiàn)為節(jié)理端部翼裂紋、次生裂紋的擴(kuò)展破壞和穿切節(jié)理面的剪切破壞。在加載過程中，首先在巖石軸向兩端和節(jié)理端部產(chǎn)生微裂紋，當(dāng)節(jié)理尺寸較小（5～20 mm）時(shí)，由于巖石軸向兩端微裂紋的產(chǎn)生、聚集速度更快，沿巖石基質(zhì)弱面逐漸發(fā)育為貫通巖石的剪切裂紋；當(dāng)節(jié)理尺寸較大（30～50 mm）時(shí)，由于節(jié)理端部微裂紋的產(chǎn)生、聚集速度更快，與節(jié)理面呈一定角度向軸向擴(kuò)展，逐漸形成翼型裂紋和次生裂紋，最終造成巖石的貫通破壞。以上結(jié)果說明隨著節(jié)理尺寸增大，節(jié)理損傷對巖石力學(xué)特性的影響逐漸增大，破壞模式逐漸從無損巖石的剪切破壞變?yōu)楣?jié)理端部翼裂紋、次生裂紋擴(kuò)展破壞。

1.4 節(jié)理傾角對巖石力學(xué)特性影響

對第二組模型進(jìn)行單軸加載試驗(yàn)，得到試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線、單軸抗壓強(qiáng)度和破壞形態(tài)特征，如圖7和圖8所示。

圖7 不同節(jié)理尺寸巖石強(qiáng)度和破壞形態(tài)Fig. 7 Stress-strain curves of rock with different joint dip angles

圖8 不同節(jié)理傾角巖石強(qiáng)度和破壞形態(tài)Fig. 8 Strength and failure modes of rock with different joint dip angles

由圖7可知，當(dāng)節(jié)理傾角較小時(shí)（0°～30°），隨著節(jié)理傾角的增大，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值和斜率逐漸減小，說明巖石的單軸抗壓強(qiáng)度和彈性模量均逐漸減?。环逯蹈浇霈F(xiàn)一定塑性變形，軸向應(yīng)變增大，峰值后應(yīng)力跌落速度變緩，說明巖石的塑性和延性增強(qiáng)。特別是在節(jié)理傾角為0°、15°時(shí)，曲線變?yōu)椴ɡ诵蔚亩喾逯登€，說明節(jié)理的閉合、張開、滑移等行為對曲線產(chǎn)生較大影響，“多峰”現(xiàn)象即是節(jié)理巖石在外部載荷作用下內(nèi)部這些重組行為在應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的體現(xiàn)；其應(yīng)力-應(yīng)變曲線與無損巖石曲線相比具有顯著形態(tài)差異，體現(xiàn)了其破壞模式應(yīng)當(dāng)與無損巖石存在一定差別。當(dāng)節(jié)理傾角較大時(shí)（45°～90°），隨著節(jié)理傾角的增大，應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值和斜率逐漸增大，說明巖石的單軸抗壓強(qiáng)度和彈性模量均逐漸增大；峰值附近塑性變形減少，軸向應(yīng)變減小，峰值后應(yīng)力跌落速度加快，說明巖石的彈性和脆性增強(qiáng)；應(yīng)力-應(yīng)變曲線形態(tài)變化趨勢又逐漸貼合無損巖石的曲線，說明其破壞模式又逐漸接近無損巖石。

由圖8可知，巖石單軸抗壓強(qiáng)度總體上隨著節(jié)理傾角增大先減小后增大，呈現(xiàn)一種不對稱的“U型”規(guī)律，且節(jié)理傾角0°的巖石強(qiáng)度要明顯小于節(jié)理傾角90°的巖石強(qiáng)度。節(jié)理傾角75°、90°巖石的破壞以沿一定角度穿切巖石的剪切破壞為主，破壞模式和破壞面角度均十分接近無損巖石。節(jié)理傾角45°、60°巖石的破壞以節(jié)理端部次生裂紋擴(kuò)展破壞為主，節(jié)理端部的應(yīng)力集中效應(yīng)使其更易產(chǎn)生和聚集微裂紋，微裂紋沿一定角度逐漸擴(kuò)展發(fā)育形成次生裂紋，最終導(dǎo)致巖石貫通破壞，且次生裂紋角度與無損巖石破壞面角度較為接近。節(jié)理傾角0°～30°巖石的破壞以節(jié)理端部翼裂紋擴(kuò)展破壞為主，同樣因節(jié)理端部應(yīng)力集中更易產(chǎn)生和聚集微裂紋，微裂紋與節(jié)理呈一定角度逐漸向軸向擴(kuò)展發(fā)育形成翼裂紋，最終導(dǎo)致巖石貫通破壞。

以上得到的單節(jié)理巖石強(qiáng)度變化規(guī)律與Jeager單弱面理論當(dāng)節(jié)理角度為45°+φ/2（φ為內(nèi)摩擦角），單軸抗壓強(qiáng)度最小的觀點(diǎn)不一致，這是因?yàn)镴eager單弱面理論計(jì)算的是巖石沿單節(jié)理面滑動(dòng)破壞的強(qiáng)度情況，往往出現(xiàn)于單節(jié)理為貫通節(jié)理的情況。但數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)單軸壓縮時(shí)巖石并非都能沿單節(jié)理面滑動(dòng)破壞，尤其對于非貫通單節(jié)理巖石，還存在穿切節(jié)理面破壞和節(jié)理端部翼裂紋擴(kuò)展引起的破壞的情況，本文將依據(jù)模擬所發(fā)現(xiàn)規(guī)律在下節(jié)具體分析節(jié)理巖石不同破壞模式對其單軸抗壓強(qiáng)度的影響機(jī)理。

2 單節(jié)理巖石單軸抗壓強(qiáng)度預(yù)測模型

2.1 模型構(gòu)建

由1.2節(jié)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，單軸壓縮條件下，節(jié)理巖石在節(jié)理傾角不同時(shí)具有不同破壞模式，使用單一的強(qiáng)度理論難以準(zhǔn)確分析不同破壞模式下節(jié)理產(chǎn)狀對巖石單軸抗壓強(qiáng)度的影響。因此，根據(jù)模擬結(jié)果分類討論，分別采用適合巖石相應(yīng)破壞模式的巖石力學(xué)理論對巖石的單軸抗壓強(qiáng)度進(jìn)行分析。

對單軸壓縮狀態(tài)下的單節(jié)理巖石進(jìn)行受力分析，如圖9所示。圖9中2a為節(jié)理尺寸；β為節(jié)理傾角（節(jié)理面與水平方向的夾角）；σj、τj分別為節(jié)理面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；A1、A2分別為完整巖石垂直軸向力和平行軸向力的截面積（二維情況下即為巖石的寬度和高度）。

圖9 單軸壓力下的單節(jié)理巖石Fig. 9 Single jointed rock under uniaxial pressure

無損巖石在單軸壓縮狀態(tài)下沿一定角度發(fā)生剪切破壞。根據(jù)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，可以計(jì)算出無損巖石剪切破壞時(shí)破壞面傾角θ0=45°+φ/2。

1.2 節(jié)中無損巖石數(shù)值模型的內(nèi)摩擦角φ=42°，計(jì)算得到破壞面傾角θ0=66°，與模擬結(jié)果（圖6和圖8）基本一致。

模擬得到單節(jié)理巖石在單軸壓縮狀態(tài)下，主要分為以下三種破壞模式：①穿切節(jié)理面貫通巖石的剪切破壞，破壞面傾角接近無損巖石破壞面傾角θ0；②節(jié)理端部次生裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致的巖石剪切破壞，次生裂紋傾角同樣接近θ0；③節(jié)理端部受壓起裂形成翼裂紋，沿一定角度擴(kuò)展導(dǎo)致的巖石破壞。前兩種破壞主要發(fā)生在節(jié)理傾角φj≤β≤90°的情況，第三種破壞主要發(fā)生在節(jié)理傾角0°≤β＜φj的情況（φj為節(jié)理面的內(nèi)摩擦角，第1節(jié)數(shù)值模擬中φj=35°）。

兩種情況的區(qū)別在于，受壓時(shí)節(jié)理面上是否存在使節(jié)理面兩側(cè)產(chǎn)生相對滑動(dòng)傾向的切向應(yīng)力。單軸壓縮時(shí)加載應(yīng)力為σ，傾角為β的節(jié)理面上正應(yīng)力σj和切應(yīng)力τj，見式（1）。

因節(jié)理面上黏聚力遠(yuǎn)小于摩擦力[34]，可近似忽略不計(jì)，則節(jié)理面上的切向滑動(dòng)力，見式（2）。

針對這兩種情況分別進(jìn)行理論分析。

1）節(jié)理傾角φj≤β≤90°時(shí)。該條件下巖石受壓時(shí)節(jié)理面處存在切向滑動(dòng)力，節(jié)理面兩側(cè)巖石存在相對滑動(dòng)傾向，破壞模式以沿弱面穿切巖石或次生裂紋擴(kuò)展的剪切破壞為主，且破壞面傾角與無損巖石類似。僅由于受到節(jié)理影響，巖石強(qiáng)度有所下降，因此基于損傷力學(xué)對其進(jìn)行分析。

根據(jù)損傷力學(xué)思想，應(yīng)提出合適的損傷變量以反映節(jié)理對巖石力學(xué)特性的影響。傳統(tǒng)損傷力學(xué)的一類觀點(diǎn)是按照損傷面積定義損傷變量，假定有效承載面積的減少是造成材料損傷的主要因素，根據(jù)Kachanov-Rabotnov經(jīng)典損傷理論[35]，對于損傷狀態(tài)巖石，可等效為有效承載面積減小的無損狀態(tài)巖石，如圖10所示。

圖10 單軸受力狀態(tài)的損傷Fig. 10 Damage of uniaxial stress state

圖10（a）是巖石的原始損傷狀態(tài)，面積微元A上所受力矢量為P，應(yīng)力為σ=P/A，Ω為損傷變量，用于描述巖石的損傷程度；圖10（b）將巖石視為有效承載面積減小為A*的等效無損狀態(tài)，相應(yīng)的巖石所承受有效應(yīng)力σ*要大于原始應(yīng)力σ。

基于以上分析，按材料損傷面積定義損傷變量Ω的計(jì)算方式，使用節(jié)理產(chǎn)狀參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，包括節(jié)理尺寸2a、節(jié)理傾角β，將單條節(jié)理對巖石附加的損傷變量定義為式（3）。

式中，A1、A2分別為完整巖石垂直軸向力和平行軸向力的截面積；Ω1、Ω2分別為巖石垂直軸向力方向與沿軸向力方向的損傷分量。

根據(jù)式（3），求得的損傷變量的兩個(gè)分量Ω1、Ω2，實(shí)際上等于節(jié)理面投影在巖石兩個(gè)方向截面上的面積損傷率。

假設(shè)節(jié)理巖石在等效無損狀態(tài)下的剪切破壞服從Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，滿足節(jié)理傾角φj≤β的巖石在單軸壓縮時(shí)沿傾角為θ0=45°+φ/2的破壞面發(fā)生剪切破壞，則節(jié)理巖石的單軸抗壓強(qiáng)度σjc見式（5）。

無損巖石在單軸壓縮時(shí)同樣沿傾角θ0剪切破壞，單軸抗壓強(qiáng)度σc滿足式（6）。

則由無損巖石單軸抗壓強(qiáng)度σc和損傷變量Ω，可計(jì)算節(jié)理巖石單軸抗壓強(qiáng)度σjc，見式（7）。

2）節(jié)理傾角φj≤β≤90°時(shí)。該條件下巖石受壓時(shí)節(jié)理面處不存在切向滑動(dòng)力，節(jié)理面兩側(cè)巖石無法相對滑動(dòng)，巖石破壞模式主要是節(jié)理端部翼裂紋擴(kuò)展造成的巖石破壞，因此，基于斷裂力學(xué)進(jìn)行分析。單軸壓力下單節(jié)理巖石翼裂紋模型如圖11所示。

圖11 單軸壓力下單節(jié)理巖石翼裂紋模型Fig. 11 Wing crack model of single jointed rock under uniaxial pressure

無限大板中，節(jié)理尺寸為2a，節(jié)理傾角為β的節(jié)理端部在單軸壓縮應(yīng)力σ下I型應(yīng)力強(qiáng)度因子和II型應(yīng)力強(qiáng)度因子見式（8）。

實(shí)際情況下巖石存在尺寸，根據(jù)ISIDA等的研究[36]，在考慮節(jié)理尺寸和巖石寬度的條件下可將應(yīng)力強(qiáng)度因子修正為式（9）。

根據(jù)周群力[37]提出的壓剪斷裂判據(jù)，對于壓力作用下剪切荷載引起的裂紋擴(kuò)展與斷裂，其應(yīng)力強(qiáng)度因子滿足式（10）。

式中：λ為壓剪系數(shù)，由材料本身性質(zhì)決定；KIIc為壓縮狀態(tài)下的剪切斷裂韌度，也由材料本身性質(zhì)決定。兩參數(shù)均可取樣后由室內(nèi)單邊裂縫試件壓剪斷裂試驗(yàn)[38]測定。

將式（9）代入式（10）得單節(jié)理巖石起裂強(qiáng)度σjci，見式（11）。

參照任利[26]方法定義反映單軸壓縮狀態(tài)下起裂強(qiáng)度大小的無量綱抗斷裂能力R，見式（12）。

式中：R取值范圍為（0，1），R=0表示原節(jié)理面一經(jīng)加載就失穩(wěn)擴(kuò)展，起裂強(qiáng)度取值為0；R=1表示原節(jié)理面不會(huì)斷裂破壞，起裂強(qiáng)度可按無損巖石取值。

根據(jù)文獻(xiàn)[39]～文獻(xiàn)[41]，巖石的起裂強(qiáng)度與單軸抗壓強(qiáng)度呈正比例關(guān)系（為0.4～0.5倍），則認(rèn)為兩者變化趨勢一致，加入比例系數(shù)k（k為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度與起裂強(qiáng)度的比值，僅與材料本身性質(zhì)決定）修改R為Rj，以反映由于翼裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致斷裂破壞巖石的單軸抗壓強(qiáng)度的變化趨勢，此時(shí)單節(jié)理巖石的抗壓強(qiáng)度σjc可由式（13）近似計(jì)算。

式中：σc為無損巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；k為比例系數(shù)。

總結(jié)以上兩種情況，得到單節(jié)理巖石單軸抗壓強(qiáng)度預(yù)測公式，見式（14）。

式（14）根據(jù)節(jié)理傾角與節(jié)理面內(nèi)摩擦角的關(guān)系分為兩部分，分別對應(yīng)于非貫通單節(jié)理巖石的不同破壞情況，φj≤β≤90°時(shí)對應(yīng)巖石沿弱面剪切破壞的情況，0°≤β＜φj時(shí)對應(yīng)巖石因節(jié)理端部翼裂紋擴(kuò)展破壞的情況，充分考慮了單節(jié)理巖石在單軸壓縮時(shí)由于不同幾何特征節(jié)理所導(dǎo)致的不同破壞模式對巖石強(qiáng)度的影響（對于貫通節(jié)理巖石沿節(jié)理面滑動(dòng)剪切破壞的情況，則可繼續(xù)沿用單弱面準(zhǔn)則）。式（14）主要適用節(jié)理寬度（開度）相對節(jié)理尺寸較小的節(jié)理，節(jié)理受壓閉合，故節(jié)理寬度可忽略不計(jì)；對于節(jié)理寬度（開度）較大，節(jié)理受壓難以閉合的張開型節(jié)理，則節(jié)理面兩側(cè)巖石無法接觸，節(jié)理面上不存在摩擦力，此時(shí)對于任意節(jié)理傾角，兩側(cè)巖石受壓均會(huì)產(chǎn)生側(cè)向滑動(dòng)，模型符合情況1）等效為有效承載面積減小的無損巖石，無論節(jié)理傾角如何強(qiáng)度可由式（14）中第一部分即式（7）直接計(jì)算。

此外，對于內(nèi)含充填物的節(jié)理巖石，情況則較為復(fù)雜，充填物的存在會(huì)抑制拉應(yīng)力的發(fā)展，導(dǎo)致充填節(jié)理巖石具有更大的裂紋起裂應(yīng)力水平，單軸抗壓強(qiáng)度預(yù)計(jì)會(huì)高于式（14）計(jì)算結(jié)果，高出程度與充填材料力學(xué)特性有關(guān)。因此，式（14）不適用，需要根據(jù)充填材料性質(zhì)對無損巖石強(qiáng)度σc和節(jié)理內(nèi)摩擦角φj進(jìn)行修正，有待進(jìn)一步研究。

參數(shù)節(jié)理尺寸2a、節(jié)理傾角β、節(jié)理內(nèi)摩擦角φj、無損巖石強(qiáng)度σc、巖石垂直軸向力截面積A1均可由現(xiàn)場測量或基本力學(xué)實(shí)驗(yàn)測定，系數(shù)λ、k只與材料本身性質(zhì)有關(guān)，既可由室內(nèi)試驗(yàn)測定也可根據(jù)巖石巖性取值，便于在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。

2.2 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證2.1節(jié)提出的預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，對不同節(jié)理尺寸和節(jié)理傾角單節(jié)理巖石的單軸抗壓強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測，并與室內(nèi)試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果相比較。

室內(nèi)試驗(yàn)試件與前文取樣自同一批均質(zhì)紅砂巖，采用同樣方法制備為Φ50 mm×100 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱體試件，分別在試件上切割出不同節(jié)理傾角尺寸的單節(jié)理，共兩組，第一組節(jié)理切割長度30 mm，深度貫通試件，節(jié)理傾角分別為0°、30°、45°、60°、90°，每種角度3個(gè)；第二組節(jié)理切割長度10 mm，深度貫通試件，節(jié)理傾角分別為0°、30°、45°、60°、90°，每種角度3個(gè)。加載設(shè)備和方式與1.1節(jié)室內(nèi)試驗(yàn)相同，最終每種節(jié)理產(chǎn)狀巖石的強(qiáng)度取3個(gè)數(shù)據(jù)的平均值。巖石試件如圖12所示，室內(nèi)試驗(yàn)得到單節(jié)理巖石破壞模式如圖13所示，單軸抗壓強(qiáng)度見表2（編號(hào)規(guī)則為：節(jié)理切割長度-節(jié)理傾角-編號(hào)）。

表2 單節(jié)理巖石室內(nèi)試驗(yàn)的單軸抗壓強(qiáng)度Table 2 Uniaxial compressive strength of single jointed rock in laboratory test

圖12 紅砂巖單節(jié)理巖石試件Fig. 12 Red sandstone single joint rock specimen

圖13 室內(nèi)試驗(yàn)單節(jié)理巖石破壞模式Fig. 13 Failure mode of single jointed rock in laboratory test

圖13是單節(jié)理紅砂巖巖石試件經(jīng)單軸壓縮后的破壞模式，巖石上部分裂紋和缺損是單軸壓縮破壞時(shí)，部分巖石塊體崩碎、跌落所造成的二次破壞。排除以上干擾因素后，可以觀察到節(jié)理傾角較小時(shí)，節(jié)理端部翼裂紋擴(kuò)展破壞特征較為明顯；而節(jié)理傾角較大時(shí)，貫穿節(jié)理的剪切破壞更為明顯。另外，還可以發(fā)現(xiàn)節(jié)理尺寸較小時(shí)，巖石壓縮破壞時(shí)更容易崩碎，說明其脆性更強(qiáng)。這些現(xiàn)象都與上文理論分析一致。

數(shù)值模擬參照1.2節(jié)建模過程及力學(xué)參數(shù)，設(shè)置四組單節(jié)理巖石模型，各組節(jié)理尺寸2a分別為40 mm、30 mm、20 mm和10 mm，每組中設(shè)置節(jié)理傾角β范圍為0°～90°，加載過程也與1.2節(jié)數(shù)值模擬相同。

數(shù)值模擬得到單節(jié)理巖石破壞模式如圖14所示。破壞模式受節(jié)理產(chǎn)狀影響規(guī)律同樣與2.1節(jié)分析一致，隨著節(jié)理傾角變大，節(jié)理巖石的主要破壞模式逐漸從翼裂紋擴(kuò)展破壞轉(zhuǎn)變?yōu)榇┣泄?jié)理的剪切破壞；且隨著節(jié)理尺寸變大，節(jié)理端部的翼裂紋擴(kuò)展破壞特征更加明顯。

圖14 數(shù)值模擬單節(jié)理巖石破壞模式Fig. 14 Failure mode of single jointed rock of numerical simulation

需要指出的是，由于試件的橫向截面是圓形，室內(nèi)試驗(yàn)的三維情況下節(jié)理切割長度（圖15）與數(shù)值模擬的二維情況下節(jié)理尺寸是不同概念，對應(yīng)節(jié)理在垂直軸向力方向的面積損傷率（即Ω1）不同，相應(yīng)的計(jì)算出預(yù)測強(qiáng)度也有所不同。

圖15 單節(jié)理巖石試件損傷Fig. 15 Damage of single jointed rock specimen

根據(jù)2.1節(jié)公式中系數(shù)λ、k只與材料本身性質(zhì)有關(guān)，參考文獻(xiàn)[38]～文獻(xiàn)[41]得到參數(shù)大致取值范圍，并擬合已做試驗(yàn)、模擬數(shù)據(jù)得到適合紅砂巖的公式參數(shù)，取k= 2、λ=0.4，代入式（14），對不同節(jié)理產(chǎn)狀的單節(jié)理巖石單軸抗壓強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測，并對比驗(yàn)證試驗(yàn)和模擬結(jié)果如圖16和圖17所示。

圖16 單節(jié)理巖石的單軸抗壓強(qiáng)度預(yù)測和試驗(yàn)平均對比Fig. 16 Uniaxial compressive strength prediction and experimental comparison of single jointed rock

圖17 單節(jié)理巖石的單軸抗壓強(qiáng)度預(yù)測和數(shù)值模擬對比Fig. 17 Uniaxial compressive strength prediction and simulation comparison of single jointed rock

由圖17可知，預(yù)測模型的理論計(jì)算與試驗(yàn)和模擬結(jié)果變化趨勢基本一致，貼合良好，誤差較小，相關(guān)系數(shù)R均大于0.96，平均相對誤差5.89%，這在實(shí)際工程中是可以接受的（假如后續(xù)針對不同巖性的巖石大量開展試驗(yàn)，采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到精度更高的λ、k經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，預(yù)測模型的精度還可以提升）。因此，上述單節(jié)理巖石單軸強(qiáng)度預(yù)測模型具備足夠的精度。

3 結(jié) 論

1）節(jié)理尺寸主要對巖石的強(qiáng)度有較大影響。隨節(jié)理尺寸增大，節(jié)理巖石的單軸抗壓強(qiáng)度逐漸減小，兩者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，節(jié)理尺寸由5 mm增大至50 mm時(shí)，單軸抗壓強(qiáng)度減小71%。

2）節(jié)理傾角對巖石破壞模式和單軸抗壓強(qiáng)度的影響與節(jié)理傾角β和節(jié)理面內(nèi)摩擦角φj的相對大小有關(guān)。隨節(jié)理傾角增大，巖石單軸抗壓強(qiáng)度先減小后增大，呈不對稱的“U型”規(guī)律，當(dāng)0°≤β＜φj時(shí)破壞模式主要是節(jié)理端部翼裂紋擴(kuò)展破壞；當(dāng)φj≤β≤90°時(shí)則為沿一定角度穿切巖石或次生裂紋擴(kuò)展的剪切破壞。

3）基于損傷力學(xué)和斷裂力學(xué)思想，充分考慮由于節(jié)理產(chǎn)狀不同所導(dǎo)致的不同破壞模式對巖石強(qiáng)度的影響，建立了單節(jié)理巖石單軸抗壓強(qiáng)度預(yù)測模型和公式，相關(guān)參數(shù)物理意義明確且易于獲取。算例驗(yàn)證表明，預(yù)測模型和公式精度較高，相關(guān)系數(shù)R大于0.96，平均相對誤差僅為5.89%。