尹紅艷

（曲靖市第二中學(xué)，云南 曲靖 655000）

1 “模擬題”引發(fā)的一題多解

例1：（2023 年4 月云南省曲靖市第二中學(xué)高三校一模第15 題）已知O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N 是拋物線y2=4x上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，若OM2+ON2=MN2，則|OM|·|ON|的最小值為__。

【答案】32。

1.1 例1 試題立意

本題以拋物線為載體，考查原點(diǎn)到直線拋物線上兩點(diǎn)距離乘積的最小值，屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題參照人教A 版選擇性必修第一冊138 頁習(xí)題3.3 第6 題，146 頁復(fù)習(xí)參考題3 第10 題.在課程標(biāo)準(zhǔn)中內(nèi)容要求是“了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì)”，學(xué)業(yè)要求是“根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題”[1]。

1.2 例1 關(guān)鍵能力

本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)符號與抽象能力、邏輯思維能力。解決本題可充分利用OM2+ON2=MN2條件，將其轉(zhuǎn)化為OM⊥ON，得kOM·kON=-1 或等來列式，最值可利用三角函數(shù)，均值不等式或二次函數(shù)等方法來求得?？疾閷W(xué)生對問題分析、綜合、抽象和概括的能力。

1.3 例1 解析

解法一：將y2=4x 轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，

ρ2sin2θ=4ρcosθ，化簡得。

∵OM2+ON2=MN2。

∴OM⊥ON，即設(shè)M（ρ1，θ），N。

當(dāng)|sin2θ|=1 時(shí)，|OM|·|ON|取得最小值為32。

解法二：∵M(jìn)，N 是拋物線y2=4x 上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”，所以|OM|·|ON|最小值為32。

解法三：∵OM2+ON2=MN2，∴OM⊥ON。

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1 時(shí)取“=”，|OM|·|ON|最小值為32。

解法四：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN：x=ty＋b（b≠0）代入y2=4x 得：

y2-4ty-4b=0；y1＋y2=4t，y1y2=-4b。

∵OM2＋ON2=MN2，∴OM⊥ON。

∴b=4。

所以直線MN：x=ty＋4（b≠0）恒過點(diǎn)（4，0）。

即當(dāng)t=0 時(shí)，|OM|·|ON|≥32。

即|OM|·|ON|的最小值為32。

1.4 例1 解析點(diǎn)評

解法一：（極坐標(biāo)法）首先將拋物線y2=4x 轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程OM2＋ON2=MN2轉(zhuǎn)化為OM⊥ON，即點(diǎn)M 與點(diǎn)N 極角相差，設(shè)出M 與N 的極坐標(biāo)，則|OM·||ON|=|ρ1·ρ2|將其化簡，最后利用三角函數(shù)知識求出最值。

解法二：根據(jù)拋物線方程的特征設(shè)出M 與N 的直角坐標(biāo)，OM2＋ON2=MN2轉(zhuǎn)化為OM⊥ON，即=0，求出x1x2的值，直接利用兩點(diǎn)間距離公式表示出|OM|·|ON|，結(jié)合均值不等式求出最值。

解法三：根據(jù)OM2＋ON2=MN2條件，得OM⊥ON，即kOM·kON=-1，設(shè)出OM 與ON 的直線方程，并分別與拋物線方程聯(lián)立方程組求出M 與N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用兩點(diǎn)間距離公式表示出|OM|·|ON|，結(jié)合均值不等式求出最值。

解法四：設(shè)出M 與N 的直角坐標(biāo)及MN 的直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩根之和與兩根之積。由OM2＋ON2=MN2轉(zhuǎn)化為OM⊥ON，即，求出直線的橫截距，當(dāng)|OM|·|ON|最小時(shí)，即S△OMN最小，代入值表示出，利用二次函數(shù)最值求得|OM|·|ON|的最值[2]。

1.5 例1 教學(xué)建議

拋物線是圓錐曲線的一種，拋物線的定義是解決拋物線的基礎(chǔ)，它能將兩種距離進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。涉及拋物線、直線、交點(diǎn)問題的，往往是直線聯(lián)立拋物線，再用韋達(dá)定理來解題。在教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)題目的特點(diǎn)，可以考慮一題多解，一題多變，一題多衍生，從一個(gè)題目入手，通過不斷變換題目，學(xué)生都能從不同的方面來思考問題和解決問題，在開拓和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性和深刻性方面能發(fā)揮積極作用，啟發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)?；趻佄锞€和直線聯(lián)立運(yùn)算深化的過程、價(jià)值，提出如下教學(xué)建議：

1.5.1 引導(dǎo)——整體式策略

教師引發(fā)如何將題目中的條件OM2＋ON2=MN2進(jìn)行轉(zhuǎn)化→教師引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生思考與交流→師生、生生對話→師生共同得出可以把題目中已知條件轉(zhuǎn)化為OM⊥ON，即=0→師生深化運(yùn)算過程、方法。

1.5.2 引導(dǎo)——分組式策略

教師引發(fā)如何求圓錐曲線問題→教師引導(dǎo)、啟發(fā)→小組學(xué)生思考、討論→師組、組組對話→各組異步完成直線聯(lián)立拋物線→師組一起對展開化簡→師組比較計(jì)算化簡的異同→組間交流分享，達(dá)成共識。

1.5.3 分組——自主式策略

教師引發(fā)小組學(xué)生提出如何求兩線段長度的積→各組學(xué)生探究推證方法→組間交流分享推證方法→教師評價(jià)、引導(dǎo)→各組自主、異步完成→各組討論做題方法→各組深化運(yùn)算規(guī)律、方法→組間交流分享，達(dá)成共識（教師實(shí)施必要的導(dǎo)引）。

教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)師生發(fā)展水平、具體教學(xué)目標(biāo)，師生及生生互動水平，靈活選用或整合上述教學(xué)策略，旨在引發(fā)問題、激發(fā)思維、激勵探究、交流促進(jìn)、運(yùn)用方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。圓錐曲線的解答常規(guī)方法可以深化運(yùn)算，比較新穎的極坐標(biāo)方法，可以提供了基于創(chuàng)新思維引領(lǐng)科學(xué)探究、拓展教科書內(nèi)容、精準(zhǔn)教學(xué)設(shè)計(jì)的參考，呈現(xiàn)了基于數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)化教學(xué)內(nèi)容、創(chuàng)造性運(yùn)用教科書的實(shí)例。

2 “類比法”促成的思維

【答案】2。

2.1 例2 試題立意

本題以基本不等式為載體，考查基本不等式中的最值問題，屬于課程學(xué)習(xí)情境.參照人教A 版選擇性必修第一冊48 頁習(xí)題2.2 第5 題，58 頁復(fù)習(xí)參考題2 第9 題.在課程標(biāo)準(zhǔn)中內(nèi)容要求是“掌握基本不等式解題滿足的條件：正、定、等；通過配湊、轉(zhuǎn)化、變形等手段，創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的情境”，學(xué)業(yè)水平要求是“會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}”[3]。

2.2 例2 關(guān)鍵能力

本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與抽象能力、邏輯思維能力?？墒箤W(xué)生進(jìn)一步發(fā)散思維，從多個(gè)方面思考、用多種方法來解答.對教材原有的知識點(diǎn)進(jìn)行拓展，讓學(xué)生了解柯西不等式、權(quán)方和不等式等，有助于提升學(xué)生的思維能力、分析解決問題的能力。

2.3 例2 解析

解法一：乘“1”法。

解法二：柯西不等式。

解法三：權(quán)方和不等式。

2.4 例2 解析點(diǎn)評

解法一：乘“1”法。

解法二：柯西不等式。

若a，b，c，d∈R，則（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc 時(shí)取“=”。

解法三：權(quán)方和不等式。

2.5 例2 教學(xué)建議

這道題目兼具基礎(chǔ)性、又有較強(qiáng)的綜合性，難度較大，學(xué)習(xí)基本不等式，要求學(xué)生學(xué)會掌握基本不等式求最值成立的條件，要求學(xué)生具備“拆、拼、湊”等變形的能力，在利用基本不等式失效（等號取不到）的情況下學(xué)會采用函數(shù)的單調(diào)性求解最值，在學(xué)習(xí)的過程中容易對基本知識撐握不全面，書寫不規(guī)范，易漏掉一些細(xì)節(jié)（等號成立的條件）。

3 結(jié)語

本文是數(shù)學(xué)教學(xué)課上學(xué)生大膽質(zhì)疑所引發(fā)的思考，教師和學(xué)生不能受“定勢思維”的束縛，而要敢于提出問題，分享自己的做題思路和想法。在教學(xué)中，教師要調(diào)動學(xué)生思維的積極性，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力、分析能力、創(chuàng)新能力等，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入新的活力，通過一題多變的教學(xué)形式，可以引導(dǎo)學(xué)生積極思維，改變靜止孤立地思考問題的習(xí)慣，逐漸使思維向廣闊的方向聯(lián)想，向縱深方向發(fā)展，達(dá)到由此及彼，觸類旁通的目的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》明確提出了邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成部分。教師在課堂上營造一題多解法是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見思維，在解題實(shí)踐過程中，若能通過觀察、分析、整理等變形手段，看清題目結(jié)構(gòu)的共性，則可輕松通過比較找出它們的相似點(diǎn)，巧妙把所學(xué)知識點(diǎn)遷移到問題上。同時(shí)，教師在課堂上營造良好的氛圍，學(xué)生敢于想象，再進(jìn)行科學(xué)探究，從而有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，回歸數(shù)學(xué)課堂的本質(zhì)[4]。新高考形勢下試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，突出學(xué)生對關(guān)鍵能力的考查。因此平常要培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)方法，不斷提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，轉(zhuǎn)化化歸的能力，突出邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).通過一題多解的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力，學(xué)會用不同的知識解決同一個(gè)問題，達(dá)到對多種知識的融會貫通。