文／王進(jìn)

教材中的例題是學(xué)習(xí)之“源”。基于教材例題或習(xí)題進(jìn)行組合、加工、深化，能得到很多有思維深度的問題。因此，同學(xué)們要重視自己的學(xué)習(xí)過程，多思考教材中的例題變式或習(xí)題變式，提升數(shù)學(xué)思維能力。下面以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊第25 頁的例題為例，談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展。

【原題呈現(xiàn)】不畫圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8 的圖像與x軸是否有公共點(diǎn)。

【分析】本題考查的是根據(jù)二次函數(shù)相對應(yīng)的一元二次方程的根的有關(guān)情況判斷二次函數(shù)圖像與x軸的位置關(guān)系。首先將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再根據(jù)根的判別式b2-4ac判斷出方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，從而得出函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)榉匠?x2+5x-8=0 的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）=-7＜0，所以方程-x2+5x-8=0 沒有實(shí)數(shù)根，即二次函數(shù)y=-x2+5x-8 的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)。

【點(diǎn)評】本題巧妙利用了轉(zhuǎn)化思想將二次函數(shù)圖像問題代數(shù)化，把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將復(fù)雜問題簡單化。

一、根據(jù)二次函數(shù)確定函數(shù)中參數(shù)的值或取值范圍

變式1已知二次函數(shù)y=mx2+3mx+m-1 的圖像與x軸有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________。

【解析】根據(jù)題意，得b2-4ac=（3m）2-4m（m-1）≥0，解得或m≥0。

又因?yàn)楹瘮?shù)y=mx2+3mx+m-1 為二次函數(shù)，所以m≠0。

【點(diǎn)評】如何根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍呢？我們可以先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定根的判別式的取值范圍，再列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，最終求出參數(shù)的值或取值范圍。

延伸1已知函數(shù)y=mx2+3mx+m-1 的圖像與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________。

【解析】①當(dāng)m=0 時(shí)，原函數(shù)為常函數(shù)y=-1，僅與y軸有一個(gè)交點(diǎn)。與題意不符，舍去。②當(dāng)m≠0 時(shí)，此時(shí)原函數(shù)為二次函數(shù)。因?yàn)槎魏瘮?shù)y=mx2+3mx+m-1 與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，且任意二次函數(shù)都與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由此可以判斷二次函數(shù)y=mx2+3mx+m-1 與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。所以b2-4ac=（3m）2-4m·（m-1）=0，解得或m=0（舍去）。綜上所述，。

【點(diǎn)評】本題與變式1相似，主要存在兩處陷阱：一是當(dāng)題目中沒有明確指出函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，需要分類討論；二是“與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)”包括“與x軸的交點(diǎn)”和“與y軸的交點(diǎn)”兩種情況，也需要分類討論。解決此類問題時(shí)，要仔細(xì)讀題，抓住題目所給的關(guān)鍵信息。

二、根據(jù)二次函數(shù)求一元二次方程的解及參數(shù)

變式2如圖1 是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的部分圖像，該圖像的對稱軸是直線x=3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），則方程ax2+bx+c=0 的解是________。

圖1

【解析】由圖可知，點(diǎn)A、B是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，所以ax2+bx+c=0 的一個(gè)根是x=-1。又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線x=3 對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0）。所以一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=-1，x2=7。

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系，即若二次函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的一元二次方程的根。本題結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得出點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求解。

延伸2已知二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2-1（m為常數(shù)）。當(dāng)自變量x的值滿足-3≤x≤-1 時(shí)，y的最大值為-5，求m的值。

【解析】二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2-1的對稱軸為直線，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-1）。

①若m＞-1，則當(dāng)-3≤x≤-1 時(shí)，y隨x的增大而增大。

∴當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值-5。

即-m2-2m-2=-5，

解得m1=1，m2=-3（舍去）。

②若-3≤m≤-1，則當(dāng)x=m時(shí)，y有最大值-1，與題意不符，舍去。

③若m＜-3，則當(dāng)-3≤x≤-1 時(shí)，y隨x的增大而減小。

∴當(dāng)x=-3時(shí)，y有最大值-5。

即-m2-6m-10=-5，

解得m1=-1（舍去），m2=-5。

綜上所述，m的值為1或-5。

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)在給定自變量范圍內(nèi)，已知函數(shù)的最（大或?。┲登髤?shù)的取值范圍。本題屬于典型的“定區(qū)間動(dòng)軸”題型，由于對稱軸中含參數(shù)，無法確定對稱軸位置，所以需要分類討論。我們可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出最大值所對應(yīng)的自變量的值，最后通過求解相應(yīng)的方程得出答案。

【總結(jié)】我們知道，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)實(shí)際上就是對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)緊密聯(lián)系。其實(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)問題就是探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=0 之間的關(guān)系。我們還可以深層次地思考二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=m之間的關(guān)系，甚至是與直線y=mx+n的關(guān)系，從特殊到一般，再到更一般，系統(tǒng)地把握兩者之間的聯(lián)系，內(nèi)化成與之相關(guān)的結(jié)構(gòu)性思維就能使問題化難為易。