摘 要：一元二次方程是中考的重要知識點(diǎn)，其中根與系數(shù)的關(guān)系更是中考的核心和?？?，也是對一元二次方程內(nèi)容的理解和應(yīng)用的深化，對后續(xù)知識二次函數(shù)及一元二次不等式的學(xué)習(xí)具有決定性影響.因此，教師在教學(xué)中，要夯實(shí)基礎(chǔ)、探索規(guī)律、拓展應(yīng)用，通過知識的追本溯源，吸引學(xué)生深入理解知識和探索知識的興趣，進(jìn)而達(dá)到靈活應(yīng)用知識的境界.

關(guān)鍵詞：一元二次方程；根與系數(shù)的關(guān)系；教法探究；知識應(yīng)用；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）03-0018-03

數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，其思想方法在日常生活工作中被廣泛應(yīng)用，對社會創(chuàng)新思維和人類文明進(jìn)步起到重要推動作用[1].在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要重視理論知識的灌輸，也要重視教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)學(xué)課程設(shè)計，充分激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法形成[2].

人教版九年級數(shù)學(xué)課本中，關(guān)于“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”從求根公式著手，探索根與系數(shù)的關(guān)系，再用求根公式法和因式分解法證明根與系數(shù)間的關(guān)系規(guī)律，在教學(xué)設(shè)計中，注重新舊知識間的轉(zhuǎn)化及歸納運(yùn)用，但對定理的歷史來源體現(xiàn)不足，對數(shù)學(xué)思想和文化的培養(yǎng)不夠顯著[3].

為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的興趣和教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法，在此，文章采用多角度不同方法論證根與系數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生深入透徹理解“由特殊到一般、設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想及該定理多種證法的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)之美，以及定理的美妙應(yīng)用[4].

1 “一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”證法關(guān)于根與系數(shù)之間的關(guān)系在歷史上很多數(shù)學(xué)家都發(fā)現(xiàn)過它們之間存在聯(lián)系，為了尊重數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)的客觀事實(shí)，便于人們認(rèn)識事情的發(fā)展規(guī)律，本文對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了梳理歸納.

1.1 代入相減法

數(shù)學(xué)家韋達(dá)在《方程的理解與修正》中給出的第一個定理，就是一元二次方程中兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系[5].其用代數(shù)式表達(dá)為-x2+px=q的兩根之和為p，兩根之積為q.其證明如下：解 設(shè)方程-x2+bx=c（b＞0，c＞0）的兩根分別為x1，x2，代入方程得

這一定理的推導(dǎo)不考慮重根情況，雖然粗略但其推導(dǎo)蘊(yùn)含著設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用了代入化簡的數(shù)學(xué)方法.學(xué)生從歷史經(jīng)緯理應(yīng)了解此方法，至少在課程中應(yīng)該作為一個重要的補(bǔ)充，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化.

1.2 因式分解法

18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《代數(shù)基礎(chǔ)》中采用因式分解法，證明了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.其先設(shè)方程x2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2，（x-x1）（x-x2）=0，（x-x1）（x-x2）=x2+bx+c，x2-（x1+x2）+x1x2=x2+bx+c比較系數(shù)得x1+x2=-b，x1·x2=c.

歐拉也是采用設(shè)而不求的思想來證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，與韋達(dá)不同，歐拉采用了因式分解的方法，而且歐拉的證明沒有排斥重根的情況.

1.3 拉克洛瓦“新證法”

18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉克洛瓦在《代數(shù)基礎(chǔ)》中給出了一種新的證明方法.

拉克洛瓦的證明采用了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，不同的是，拉克洛瓦沒有假設(shè)方程的兩根，而是只假設(shè)了方程的一個根.

通過溯源數(shù)學(xué)史，我們發(fā)現(xiàn)：（1）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的意義，在于未知方程的兩根，而求得這兩根的和與積；（2）數(shù)學(xué)史促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展不僅有實(shí)際應(yīng)用，還能滿足人類的智力好奇、審美娛樂等；（3）數(shù)學(xué)史上，任何概念、公式、定理或問題都不是某一個數(shù)學(xué)家，也不是某一個國家或地區(qū)的專利，不同時代、不同文明、不同地域的數(shù)學(xué)家都可能做出各自的貢獻(xiàn).一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展也同樣體現(xiàn)了多元文化.鑒于此，“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”課例教學(xué)重構(gòu)式地融入該定理的演進(jìn)史.首先，引導(dǎo)學(xué)生通過歸納得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而證明這一結(jié)論，體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；然后，運(yùn)用求根公式證明韋達(dá)定理后，沿著數(shù)學(xué)家的足跡，運(yùn)用因式分解法、代入相減法與拉克洛瓦“新證法”進(jìn)一步探究該定理的證明，滲透設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)家的理性精神，培育動態(tài)的數(shù)學(xué)觀.

2 教學(xué)過程

2.1 情境創(chuàng)設(shè)

我們設(shè)計“先走出雞籠的前6只雞是母雞，采用非完全歸納推出雞籠所有的雞都是母雞”這一謬論實(shí)例，揭示通過解有限個方程來總結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，任何定理都需要?jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

此時，引導(dǎo)學(xué)生能否總結(jié)出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并問此結(jié)論能否作為一個定理？

針對根與系數(shù)的關(guān)系，多數(shù)學(xué)生會直接給出：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，但針對這個結(jié)論能否作為一個定理的回答，大多數(shù)學(xué)生會選擇能，少數(shù)學(xué)生選擇不能.

師：能否通過這4個一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，就此作為一個定理呢？生：不能，同樣以偏概全和不嚴(yán)謹(jǐn).教師引導(dǎo)學(xué)生要讓這個結(jié)論作為一個定理，你要怎么做？學(xué)生說需要經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明.教師要強(qiáng)調(diào)唯有證明其是真命題，才可作為定理.

2.2 韋達(dá)定理的多種證法

教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生采用求根法、因式分解法、代入相減法和拉克洛瓦“新證法”證明此定理，讓其感受數(shù)學(xué)證法和思想之魅力.很多同學(xué)會先用求根法證明之，下面為學(xué)生探索一元二次方程根與系數(shù)的教學(xué)片段.

師：采用一元二次方程求根公式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了根與系數(shù)的關(guān)系，此定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）是韋達(dá)首先提出的，也叫韋達(dá)定理.然而韋達(dá)是通過不解方程而得到的.同學(xué)們請嘗試韋達(dá)方法證明之.

2.5 課堂總結(jié)

本堂課在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生

欣賞了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系證法的靈動和美妙，體會“設(shè)而不求”解法的魅力.在數(shù)學(xué)家的故事中揭開韋達(dá)定理的面紗，感嘆數(shù)學(xué)家的光輝形象和對人類科學(xué)的貢獻(xiàn).通過觀察學(xué)生與數(shù)學(xué)家證明方法的差異，激勵學(xué)生探索真理的精神.

3 結(jié)束語

本課從素質(zhì)教育出發(fā)，通過一個定理的多種證法，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法之美；通過了解歷史中數(shù)學(xué)家對該定理證明的貢獻(xiàn)及數(shù)學(xué)方法的研究，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的奧秘，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和探索精神，化被動為主動，提高教學(xué)效果.從而，避免了課堂教學(xué)的沉悶和教學(xué)中題海戰(zhàn)術(shù)的無奈，學(xué)生在自由探索中了解了定理的來源，體驗(yàn)到了追求知識的樂趣.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 顧沛.南開大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課程十年來的探索與實(shí)踐： 兼談科學(xué)教育與人文教育的融合[J].中國高教研究，2011（9）：92-93．

[2] 陳小花.數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（5）：35-36.

[3] 趙然.中學(xué)數(shù)學(xué)課程思政的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].福建教育學(xué)院學(xué)報，2022（5）：1-3.

[4] 黃賢明.基于5E教學(xué)模式的“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”教學(xué)設(shè)計與思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2022（4）：3-6.

[5] Viète F. The analytic art[M]. New York： Dover Publications， 2006.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者簡介：傅麗娜（1982.5-），女，福建省莆田人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.