摘 要：本文以2020年新高考文科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第20題為例，基于波利亞“怎樣解題”的思想，對導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題中根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)這一類型問題的解題表設(shè)計(jì)進(jìn)行了探究.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；零點(diǎn)問題；解題表設(shè)計(jì)

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）03-0027-03

20世紀(jì)以來，問題解決一直是心理學(xué)與教育學(xué)研究的重點(diǎn)，其中美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（George Polya）的解題理論是眾多教育家推崇的理論之一，其歸納出的“怎樣解題表”為學(xué)生提供了啟發(fā)式的解題方法，主要包括理解問題、擬定計(jì)劃、實(shí)行計(jì)劃、回顧[1].

本文基于波利亞解題思想，以2020年新高考文科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第20題為例，對根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的零點(diǎn)問題的解題表設(shè)計(jì)進(jìn)行了探究.旨在為學(xué)生提供解答該類題目的方法，啟發(fā)學(xué)生對其他零點(diǎn)問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

1 解題表的設(shè)計(jì)——以2020年新高考文科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第20題為例

1.1 原題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ex-a（x+2）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

第（1）問直接將a的取值代入，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，具體過程不予贅述.第（2）問是根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的零點(diǎn)問題，以此為例，下面我們對這類問題的解題表設(shè)計(jì)進(jìn)行探究.

1.2 理解問題

根據(jù)波利亞的“怎樣解題表”，第一步要理解問題.在這一步驟中學(xué)生可以基于“未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？可能滿足什么條件？”四個(gè)問題進(jìn)行思考[2].

對于該類型的零點(diǎn)問題，我們的已知、未知、條件往往為函數(shù)的解析式、參數(shù)范圍、零點(diǎn)個(gè)數(shù).判斷“滿足條件是否可能？”最直觀的方法就是作圖，因此，我們首先討論函數(shù)的單調(diào)性.對f（x）求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

f ′（x）=ex-a是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）>0恒成立，此時(shí)f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f ′（x）=0有解，所以f（x）先減后增，當(dāng)f（x）min<0時(shí)，a>1/e，f（x）可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足條件是可能的[4].a=1時(shí)草圖如下所示.

因此在理解問題這一步驟中，引導(dǎo)問題可設(shè)置為：該函數(shù)解析式是什么？該函數(shù)單調(diào)性如何？該函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？你是否知道它們所在的大致區(qū)間？你能否根據(jù)導(dǎo)數(shù)畫出滿足條件的草圖？你能否根據(jù)上述草圖初步判斷參數(shù)范圍？

1.3 擬定計(jì)劃

根據(jù)波利亞的“怎樣解題表”，第二步要擬定計(jì)劃，找出已知和未知之間的關(guān)系.在這一步驟中，學(xué)生可以基于“你知道什么與此有關(guān)的問題嗎？這里有一個(gè)與你有關(guān)且以前解過的問題，你能應(yīng)用它嗎？你可以改述這個(gè)問題嗎？”三個(gè)問題進(jìn)行思考.

我們已經(jīng)對a的取值范圍進(jìn)行了初步判斷，欲證明（1/e，+∞）即為所求，只需證明此時(shí)f（x）在（-∞，lna）和（lna，+∞）上分別有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（lna>-1）.根據(jù)零點(diǎn)定理及f（x）的單調(diào)性，我們可以將其改述為：證明在（-∞，lna）和（lna，+∞）

上分別存在使得函數(shù)值大于0的點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為了取點(diǎn)問題，如何取點(diǎn)成為解題的關(guān)鍵.

因此，在理解問題這一步驟中，引導(dǎo)問題可設(shè)置為：按照你所擬定的計(jì)劃，你能否找到滿足使用零點(diǎn)定理?xiàng)l件的所有點(diǎn)？在計(jì)算過程中，你的演算是否正確？

1.5 回顧

根據(jù)波利亞的“怎樣解題表”，最后一步要回顧、校核所得的解答.在這一步驟中學(xué)生可以基于“你能校核結(jié)果嗎？你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？你能應(yīng)用這結(jié)果或方法到別的問題上去嗎？”三個(gè)問題進(jìn)行思考.

回顧本題的解答過程，重難點(diǎn)分別在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為取點(diǎn)問題和取到使函數(shù)值為正的點(diǎn).這一過程中，學(xué)生常會因放縮不當(dāng)而迷茫，此時(shí)就需要開辟新的思路：若堅(jiān)持放縮，是否可以放縮ex來尋找（lna，+∞）上使得函數(shù)值大于0的點(diǎn)；若放棄該思路，自然地可想到分離參數(shù)，此時(shí)題目就轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點(diǎn)問題，具體過程不予贅述.

2 結(jié)束語

本文以2020年新高考文科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第20題為例，基于波利亞“怎樣解題”的思想，對根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)這一類型的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題的解題表設(shè)計(jì)進(jìn)行了探究，為學(xué)生提供了解答該類題目的方法以及思考過程，其中體現(xiàn)出的放縮、分類討論等思想有利于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

日后，學(xué)生若再遇同類型題目可直接套用本文總結(jié)出的解題表進(jìn)行解答，對于其他類型的導(dǎo)數(shù)題目亦可從本文出發(fā)進(jìn)行遷移.

參考文獻(xiàn)：

［1］G.Polya.怎樣解題[M].北京： 科學(xué)出版社，1982.

[2] 林生.常規(guī)中重基礎(chǔ)，樸實(shí)間見真功：2020年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題的深度分析與優(yōu)效備考策略[J].廣東教育（高中版），2020（Z1）：54-58.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者簡介：孫雅琪（2002.8-），女，遼寧省丹東人，本科，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.