戴洪帥，唐滄新

（1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院，廣西南寧 530004；2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西南寧 530003）

隨機(jī)投資收益風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的一個(gè)標(biāo)注

戴洪帥1，唐滄新2

（1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院，廣西南寧 530004；2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西南寧 530003）

構(gòu)造了一類更廣泛的帶隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程。利用停時(shí)定理以及伊藤公式，研究此類過(guò)程的生存概率的相關(guān)性質(zhì)。給出了生存概率的積分表示，證明了其連續(xù)性。同時(shí)，給出了其二次連續(xù)可微的條件并得到了其生存概率的連續(xù)性滿足的積分微分方程。

生存概率；隨機(jī)投資收益；微分積分方程

0 引言

破產(chǎn)理論的研究溯源于瑞典精算師FilipLundberg于1903年發(fā)表的博士論文［1］，至今已有100多年的歷史。從此，此類問(wèn)題引起了人們的廣泛興趣。例如，文獻(xiàn)［2］研究了馬氏調(diào)制風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的相關(guān)問(wèn)題。隨著破產(chǎn)理論的發(fā)展，人們開(kāi)始考慮利率這一投資收益因素對(duì)盈余過(guò)程的影響。文獻(xiàn)［3］研究了帶干擾的多險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率。文獻(xiàn)［4］研究了帶利息的隨機(jī)雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率問(wèn)題。近幾年，隨著金融衍生物的創(chuàng)新，投資收益的方式趨于多元化、復(fù)雜化。同時(shí)，技術(shù)的發(fā)展為研究更復(fù)雜的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率提供了手段?；谶@兩個(gè)原因，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注帶投資收益的風(fēng)險(xiǎn)模型。例如文獻(xiàn)［5－9］都對(duì)此類模型進(jìn)行了研究。但是目前為止，對(duì)此類模型的研究都是針對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行的。隨著保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展，保費(fèi)收取的政策更靈活，方式更趨于多元化。因此，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)不能夠很好的對(duì)這些新現(xiàn)象進(jìn)行描述?；谏厦孢@個(gè)問(wèn)題以及投資收益多元化這個(gè)事實(shí)，本文將構(gòu)造一類更一般的帶隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程。這個(gè)新的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程不僅體現(xiàn)了保費(fèi)收取的靈活性，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了投資收益的多元化。

1 主要結(jié)果

本部分給出本文的主要結(jié)果。首先引入需要研究的一般的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程｛X（t）｝。設(shè)｛Xi｝i∈N和｛Zi｝i∈N為兩列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其中Xi表示第i次保費(fèi)收入，Zi表示第i次索賠所產(chǎn)生的索賠額。則風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程｛X（t）｝為：

其中，u≥0是初始盈余；｛N1（t），t≥0｝和｛N2（t），t≥0｝分別是參數(shù)為λ1和λ2的泊松過(guò)程，并且｛Xi｝，｛Zi｝，｛N1（t），t≥0｝和｛N2（t），t≥0｝彼此之間相互獨(dú)立。為了討論的方便，令T1i和Ti2分別表示保費(fèi)到達(dá)間隔時(shí)間和索賠到達(dá)間隔時(shí)間。

下面給出隨機(jī)投資收益過(guò)程｛I（t）｝。假設(shè)：

其中，r＞0表示折現(xiàn)率；σ＞0且r－2－1σ2≥0；｛W（t）｝是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)并且滿足｛Xi｝，｛Zi｝，｛N1（t），t≥0｝，｛N2（t），t≥0｝和｛W（t）｝是相互獨(dú)立的。

最后，定義帶隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程｛Y（t）｝：

其中，Rt＝（r－2－1σ2）t＋σW（t）。由上面的討論可知Y＝｛Y（t）｝是一個(gè)強(qiáng)馬氏過(guò)程。

本文主要研究過(guò)程Y＝｛Y（t）｝的生存概率的相關(guān)問(wèn)題。下面將對(duì)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程｛Y（t）｝的生存概率進(jìn)行研究。首先，介紹一些相關(guān)的符號(hào)。定義破產(chǎn)時(shí)間Tμ為Tμ＝inf｛t：Y（t）＜0｝以及生存概率Φ（u）為t0。另外，設(shè)F1（x）和F2（x）分別代表X1和Z1的分布函數(shù)。則對(duì)于≥Φ（u），有：

定理1對(duì)于任何u≥0，

由以上討論可知，定理得證。下面研究生存概率的一些性質(zhì)。

定理2生存概率Φ（u）在（0，∞）上是連續(xù)的。

證明設(shè)a≤b且［a，b］?（0，∞）。為了證明定理，則只需要證明Φ（u）在［a，b］上連續(xù)。令

下面證明Φ1（u）在［a，b］上是連續(xù)的。

經(jīng)計(jì)算可得：

則h1（u）在（0，∞）上連續(xù)可微。同理，h2（u）在（0，∞）上連續(xù)可微。

結(jié)合式（7）和式（8）可知，Φ1（u）在（0，∞）上連續(xù)可微。

同理，可以證明Φ2（u）在（0，∞）上是二次連續(xù)可微。則由定理1可知，命題得證。

定理4設(shè)f1（x）和f2（x）滿足定理3中的條件，則Φ（u）滿足下面的積分微分方程：

由式（10）～式（12），在等式（9）兩邊同時(shí)除t并令t↓0，則容易得到命題成立。

［1］ 成世學(xué).破產(chǎn)論研究綜述［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002，31：403－422.

［2］ 董繼國(guó)，劉國(guó)欣.Markov-modulated風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)前最大盈余額與破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25：9－12.

［3］ 劉超，王永茂，顏玲.帶干擾的多險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012，44（1）：46－49.

［4］ 戴洪帥，劉再明，沈亮.帶利息力的隨機(jī)雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23：389－392.

［5］ Kam C Y，W ang G J，KaiW N.Ruin Probabilities for a Process with Stochastic Return on Investments［J］.Stoch Process Appl，2004，110：259－274.

［6］ Paulsen J.Risk Theory in a Stochastic Economic Environment［J］.Stoch Process App，1993，46：327－361.

［7］ Ragnar N.Ruin Problem s with Assets and Liabilities of Diffusion Type［J］.Stoch Process App，1999，81：255－269.

［8］ Wang G J，Wu R.Distributions for the Risk Process with a Stochastic Return on Investments［J］.Stoch Process App l，2001，95：329－341.

［9］ Wang G J，W u R.Some Distributions for Classical Risk Process that is Prturbed by Diffusion［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2001，26：15－24.

［10］ Yor M.On Some Exponential Functionals of Brownian Motion［J］.Adv Appl Probab，1992，24：509－531.

O211.6；F224

A

1672－6871（2014）01－0101－04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11226141，11061002）；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2012GXNSFBA053010）

戴洪帥（1981－），男，山東膠州人，講師，博士，研究方向?yàn)楸ｋU(xiǎn)精算.

2013－03－02