羅明珍

【摘 要】? 本文圍繞著一個(gè)初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題展開討論，探究題目出錯(cuò)的原因，以及給出修正意見.

【關(guān)鍵詞】? 命制試題；合理性；半徑

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，命制試題要確保命題框架合理、試題命制規(guī)范、內(nèi)容準(zhǔn)確無誤.筆者在帶領(lǐng)學(xué)生做中考復(fù)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)已知條件之間互相矛盾的題目.

1? 錯(cuò)題的發(fā)現(xiàn)

在中考的總復(fù)習(xí)中，我們會(huì)做到這樣一個(gè)題：

如圖1，已知BC切⊙O于點(diǎn)B，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．如果CD=15，BE=10，，求⊙O的半徑．

解法1? 如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，

因?yàn)镃E=CB，

所以EG=BE=5，

因?yàn)椤螦DE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，

所以△CGE∽△ADE，

所以

所以

所以

所以

所以

因?yàn)?/p>

所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

所以在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，

因?yàn)辄c(diǎn)D是OA的中點(diǎn)

所以

所以⊙O的半徑是.

解法2? 如圖3，連接OB、OC.

因?yàn)锽C切⊙O于點(diǎn)B

所以

因?yàn)?

所以設(shè)，.

所以在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，

.

因?yàn)辄c(diǎn)D為半徑OA的中點(diǎn)

所以

因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

所以

因?yàn)樵赗t△COD中，根據(jù)勾股定理，

在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理，

所以

所以

所以⊙O的半徑是.

解法1利用相似的方法求出了⊙O的半徑，解法2用OC作為橋梁，根據(jù)勾股定理列出了方程，解出了⊙O的半徑.兩種方法都沒有知識(shí)性的錯(cuò)誤，可是算出了兩種不同的結(jié)果.究竟是哪里出了問題呢？

2? 錯(cuò)因分析

題目條件出錯(cuò)了！因?yàn)樵诘臈l件下，可得，所以CD=15與BE=10不能同時(shí)成立！

證明如下：

題目? 如圖4，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．如果，求的值．

解? 過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H.

因?yàn)?

所以設(shè)，.

所以在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，

.

因?yàn)辄c(diǎn)D為半徑OA的中點(diǎn)

所以

因?yàn)樵赗t△ADE中，，

在Rt△AHO中，

所以

所以

解得.

因?yàn)镺H是⊙O的半徑，且OH⊥AB

所以

所以

因?yàn)?，CG⊥BE

所以

因?yàn)?/p>

所以

所以

所以

所以

所以

3? 題目修正

如圖5，已知BC切⊙O于點(diǎn)B，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．如果CD=15，，求⊙O的半徑．

解：用解法2來解即可.

4? 反思

數(shù)學(xué)考試題目的命制環(huán)節(jié)很多，從選材、搭建題目框架、到反復(fù)解答檢驗(yàn)，每個(gè)環(huán)節(jié)都要求嚴(yán)謹(jǐn)，考慮周全.還要嚴(yán)格審查題目的考查內(nèi)容、圖形比例與條件是否一致.只有通過多角度的求解、驗(yàn)算和斟酌，才能盡量避免題目與解答出現(xiàn)偏差的情況.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022