孫文瑜

【摘 要】? 等面積法、面積最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，探究二次函數(shù)下的面積綜合解法策略及思路十分重要，可提升學(xué)生解決綜合性問題的能力.文章將從易到難層層遞進(jìn)，揭示基于問題類型開展解法探究，并提出相應(yīng)的建議.

【關(guān)鍵詞】? 二次函數(shù)；面積；面積法

二次函數(shù)的基本知識與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著密切的關(guān)系，是符號化研究數(shù)學(xué)的繼續(xù)，是數(shù)形結(jié)合思想近乎完美的體現(xiàn)，圍繞二次函數(shù)能全面考察對函數(shù)形態(tài)的分析，以二次函數(shù)為載體把數(shù)的運(yùn)算和幾何證明融合在一起，把方程、不等式、絕對值、最值、動點(diǎn)、面積等知識融合起來，將數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和知識進(jìn)行綜合運(yùn)用.二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)階段函數(shù)的終章，其重要性和難度不言而喻.因此，學(xué)生需要深刻理解二次函數(shù)的基本知識，了解函數(shù)之間的關(guān)系，靈活掌握并運(yùn)用知識點(diǎn)，結(jié)合生活實(shí)際并利用二次函數(shù)來解決問題.

1? 二次函數(shù)與面積的綜合

二次函數(shù)經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)在我們面前，難度較高，主要是綜合性考察較多，二次函數(shù)可以與一元二次方程、不等式之間形成有機(jī)聯(lián)系，結(jié)合圖形，二次函數(shù)是一條拋物線，它可以聯(lián)系其他平面曲線或直線，縱向和橫向聯(lián)系，圍繞二次函數(shù)可以編制各種形式多樣的數(shù)學(xué)問題.其中我認(rèn)為“面積問題”是其中的集大成者， 從直三角形到斜三角形，從定點(diǎn)三角形到動點(diǎn)三角形，從定值面積到最值面積，從三角形到四邊形再到多邊形，因此，二次函數(shù)圖像中的面積問題就像二次函數(shù)皇冠上瑰麗的珍珠，絢麗奪目，發(fā)人深省.

2? “面積問題”的準(zhǔn)備

（1）相關(guān)知識點(diǎn)的儲備.例如二次函數(shù)的相關(guān)概念，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的解析式等，以及三角形多邊形的面積公式，平面直角坐標(biāo)系、一元二次方程、平行線之間的關(guān)系.

（2）學(xué)生基本思想和能力的準(zhǔn)備.初中階段學(xué)生的思維正處于過渡階段，抽象邏輯能力得到發(fā)展，但在一定程度上還需依賴形象思維，函數(shù)內(nèi)容較為抽象，需要學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，必要時候圈點(diǎn)勾畫，也能從一定程度上抽絲剝繭尋找蛛絲馬跡，將知識點(diǎn)前后聯(lián)系.

（3）點(diǎn)動成線，線動成面.“面積問題”本質(zhì)上是找點(diǎn)、找線，掌握兩點(diǎn)間線段公式.

3? “面積問題”事例

問題1? 已知拋物線y= -+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為P.如圖1所示.

圖1

在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)三角形的某一邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可稱之為特殊三角形，求此類三角形的面積用面積公式即可.

等面積法的運(yùn)用：圖形面積模型往往難以直接構(gòu)建，需要通過等量轉(zhuǎn)化來簡化模型，常采用的方法是運(yùn)用平行線造就同底等高的三角形.若三角形同底，則對應(yīng)高相等，可作底邊的平行線，推導(dǎo)直線解析式；若為高相等，則可推知底相等，此時可考慮圖形的中點(diǎn).

方法? 過點(diǎn)P作BC的平行線交X軸于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)E，如圖2所示.

圖2

易得的斜率為-1，

因?yàn)槠叫芯€之間的距離處處相等，所以點(diǎn)P到BC的高和點(diǎn)E、點(diǎn)F到BC的高是相等的.

在上述方法中我們是采用了直線平移法.這是基于兩個三角形存在相同的底，故可推得高相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩線平行.其中隱含了“平行線之間，距離處處相等”的性質(zhì)定理.建立幾何特性與等面積之間的關(guān)聯(lián)是問題突破的關(guān)鍵點(diǎn)，也是平面幾何性質(zhì)在函數(shù)中的應(yīng)用體現(xiàn).

三角函數(shù)特殊角的運(yùn)用：

如圖3所示.

圖3

問題2：點(diǎn)E為該二次函數(shù)圖像上一動點(diǎn)，且在第一象限，連接CE、BE，求并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

從定三角形到動三角形，我們還是要從前面的問題中尋找思路.

方法一：過點(diǎn)E作EF//y軸，交直線BC于點(diǎn)F，如圖4所示.

圖4

接下來就是轉(zhuǎn)化為解這個新的二次函數(shù)它的最大值，可用配方法也可用公式法求得在處取得最大值，最大值為，得到.

4? “面積問題”模型下的課堂探究

4.1? 提高對二次函數(shù)認(rèn)識，總結(jié)反思經(jīng)典題型

相對于初中數(shù)學(xué)其他知識而言，二次函數(shù)研究的是自變量與因變量之間的關(guān)系，比較抽象，難度也相對較大.但是再復(fù)雜的二次函數(shù)，我們都應(yīng)該回歸教材，從本質(zhì)著手，加深學(xué)生對二次函數(shù)基礎(chǔ)知識的認(rèn)識與理解，注重分析問題的全面性.在我們平時的教學(xué)中，教師也應(yīng)注重講解一些經(jīng)典題型，從而提高學(xué)生對二次函數(shù)的理解能力，使學(xué)生掌握二次函數(shù)的精髓.另外，在講解一些經(jīng)典題型時應(yīng)注重多角度地對經(jīng)典題型進(jìn)行分析，使學(xué)生理解經(jīng)典題型，讓學(xué)生觸類旁通，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.此外還應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)反思與總結(jié)的重要性，二次函數(shù)與面積綜合雖然對同學(xué)的要求較高，從經(jīng)典題型中找到靈感，總結(jié)其中方法.

4.2? 關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

解決二次函數(shù)面積問題時需要用到一定的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、方程、模型、等量轉(zhuǎn)化等思想.利用數(shù)形結(jié)合整體分析問題，基于模型思想構(gòu)建面積模型，從而轉(zhuǎn)化面積條件，構(gòu)建方程求解，這是數(shù)學(xué)思想鏈的分析過程.在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題分析問題，尤其應(yīng)注重一些隱含條件，還應(yīng)該學(xué)會利用二次函數(shù)與方程根之間具有的關(guān)系，讓學(xué)生逐步感知思想，體會數(shù)學(xué)思想的價值，在潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會用建模的思想去解決其他和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題，做到舉一反三，甚至延伸到其他學(xué)科中.

4.3? 克服心理障礙

數(shù)學(xué)需要學(xué)生必須具備較強(qiáng)的邏輯思維，在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)教師在講臺上侃侃而談，下面的學(xué)生卻昏昏欲睡，像二次函數(shù)與面積綜合專題訓(xùn)練中經(jīng)常會涉及大量計(jì)算和需要分析轉(zhuǎn)化的條件，對于學(xué)生來說也是極具挑戰(zhàn).因此，在二次函數(shù)的專題學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩極分化，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以借助于幾何畫板、圖形計(jì)算器等現(xiàn)代教學(xué)工具輔助教學(xué)，使學(xué)生從直觀狀態(tài)下發(fā)現(xiàn)函數(shù)的各種性質(zhì)，通過強(qiáng)烈的視覺效果引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使記憶保持得更持久.希望通過像二次函數(shù)與面積綜合這樣子的一個專題訓(xùn)練，既復(fù)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，又幫助學(xué)生克服見到綜合題目的畏難情緒.

4.4? 數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用

在新課程改革背景下，強(qiáng)調(diào)對基本數(shù)學(xué)思想、基本技能的掌握，函數(shù)是表示任何一個隨著曲線上的點(diǎn)變動而變動的量，函數(shù)自產(chǎn)生就和圖形結(jié)下了不解之緣.作為最基本的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合，而二次函數(shù)這一章就完美地體現(xiàn)了這一點(diǎn).教師一定要幫助學(xué)生養(yǎng)成未解題，先作圖的習(xí)慣，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程是一個非常抽象的教學(xué)過程，正因其抽象性和邏輯性，使得學(xué)生在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)上很難接受和掌握，這時候二次函數(shù)教學(xué)形象化是一個很重要的教學(xué)方式，合理地利用圖像教學(xué)的優(yōu)勢，將其具體化.

4.5? 教學(xué)相長的課堂

以教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的課堂是新課標(biāo)中大力倡導(dǎo)的，課堂教學(xué)以“設(shè)問——講授知識——解決問題”的程序呈現(xiàn)，但是教師的“問”通常只是一種形式，往往只問不答，幾乎是為講解知識設(shè)計(jì)的一句串詞；課堂上問題多且瑣碎，未能圍繞一個主題展開.學(xué)生的“學(xué)”由于被動而生惰性，學(xué)習(xí)重心仍然是對知識的死記硬背.而二次函數(shù)與面積綜合這一專題由于難度較高，可能不能夠一次性完整解決， 但在各個小問題上， 都能充分發(fā)揮學(xué)生的參與熱情，也可以適當(dāng)增加小組合作、討論、評價環(huán)節(jié)，在獨(dú)立思考和小組合作中改變以往方式，使學(xué)生積極參與課堂學(xué)習(xí)活動中，同時將問題難度降低，讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)掌握新知識.

5? 結(jié)論

二次函數(shù)與面積的綜合，是學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形面積的基礎(chǔ)，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)拋物線、切線的基礎(chǔ)，更是學(xué)生形成空間觀念、提高空間想象能力的途徑.以上，是我在教學(xué)實(shí)踐中以二次函數(shù)背景下的面積綜合問題的一點(diǎn)粗淺的看法.數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，關(guān)鍵要找到問題間的相互關(guān)系，體會其中用意，使學(xué)生在今后學(xué)習(xí)和生活中，將數(shù)學(xué)化繁為簡，提高學(xué)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]張賢德.信息化初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)課堂教學(xué)策略[J].中國新通信，2022，24（16）：179-181.

[2]王茜，林磊.初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)案例研究——以“二次函數(shù)”章起始課教學(xué)為例[J].榆林學(xué)院學(xué)報，2022，32（02）：91-95.

[3]朱婭梅，撒蘭應(yīng).二次函數(shù)的領(lǐng)域模型構(gòu)建[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報，2021，36（12）：1-6+20.