安文華

［摘? 要］ 近年高考解析幾何解答題多以橢圓、拋物線為背景命題，大量的高考真題使得教師在復(fù)習(xí)備考中有充分的資源進(jìn)行變式教學(xué). 以拋物線為例，阿基米德三角形的性質(zhì)是解析幾何中的熱門話題，其以幾何性質(zhì)為背景，綜合運(yùn)用解析幾何與函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識，充分體現(xiàn)高考“四翼”考查要求，對阿基米德三角形的性質(zhì)作進(jìn)一步的研究對于提高學(xué)生對拋物線幾何性質(zhì)的認(rèn)識以及培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)美學(xué)意識是必要的、有益的.

［關(guān)鍵詞］ 阿基米德三角形；題組教學(xué)；變式教學(xué)

在高三的圓錐曲線專題教學(xué)中，很多教師以“教輔資料”為主，整個教學(xué)過程中缺少對題目素材的深入理解和重構(gòu)，缺少從這類例題的講解上提出新的問題與思考，缺少從學(xué)生的角度、以高考試題為導(dǎo)向的探究式教學(xué)［1］. 近年高考解析幾何解答題多以橢圓、拋物線為背景命題，大量的高考真題使得教師在復(fù)習(xí)備考中有充分的資源進(jìn)行選擇和重組，減少對“教輔資料”的依賴，基于高考真題，組織有主題性、啟發(fā)性、思想性的題目［2］，開展題組教學(xué)或變式教學(xué).

以拋物線為例，阿基米德三角形具有深厚的背景和豐富的內(nèi)涵，高考命題者對此圖形青睞有加．阿基米德三角形的性質(zhì)既是命題者的熱點(diǎn)素材（在高考試題中屢見不鮮），也是解析幾何中的熱門話題［3］. 由拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫阿基米德三角形，這條弦稱為阿基米德三角形的底邊. 拋物線和它的一條弦所圍成的圖形的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的三分之二，正是這一性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)使得阿基米德三角形聞名于世. 基于阿基米德三角形性質(zhì)的豐富性，以此為情境可以提出求解拋物線方程、切線方程、軌跡方程、弦長、面積等問題. 幫助學(xué)生構(gòu)建熟悉的數(shù)學(xué)情境，積累必備的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，對阿基米德三角形的性質(zhì)作進(jìn)一步的研究對于提高學(xué)生對拋物線幾何性質(zhì)的認(rèn)識以及培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)美學(xué)意識是必要的、有益的［4］.

創(chuàng)設(shè)情境，建立模式

在高三復(fù)習(xí)課上，以典型問題為例解題，是對概念、定義、定理的繼續(xù)學(xué)習(xí)，是對模式、技能、方法的繼續(xù)熟練［5］. 高考試題具有較深的背景知識，但由于不了解試題背景，學(xué)生在解題過程中可能會面對解題思路不簡潔、解題方法不優(yōu)化等解題障礙，加強(qiáng)試題背景知識的學(xué)習(xí)不僅可以拓寬學(xué)生的解題思路、優(yōu)化解法方法，還能加深學(xué)生對知識發(fā)生發(fā)展過程的理解，增強(qiáng)學(xué)習(xí)熱情與信心． 阿基米德三角形作為典型問題的背景知識，應(yīng)該由典型問題為情境，通過解題，引導(dǎo)學(xué)生建立范例，總結(jié)規(guī)律，識別模式.

問題1 （2021年高考全國乙卷理數(shù)第21題）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4．

（1）求p；

（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、平面上一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的距離的最值、拋物線的切線、三角形的面積及最值，要求學(xué)生以幾何性質(zhì)為背景，綜合運(yùn)用解析幾何與函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識，體現(xiàn)了高考命題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性等“四翼”考查要求.

稍作變式，局部挑戰(zhàn)

變式教學(xué)的基礎(chǔ)是“熟悉”，學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到熟悉的東西，可以鞏固所學(xué)知識，再次確認(rèn)以前所學(xué)知識、方法的正確性和有效性. 這不僅是心理上的安慰，還是大腦認(rèn)知的問題. 熟悉很重要，一般變式教學(xué)應(yīng)設(shè)置新舊信息的比例，太簡單就回到舒適區(qū)，不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)；太難就到了恐慌區(qū)，使學(xué)生失去學(xué)習(xí)與迭代的基礎(chǔ). 理想狀況是在主體知識、方法不變的情形下對問題稍作變式，保持問題的新鮮，形成局部的挑戰(zhàn).

問題1中的點(diǎn)P在圓上，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求三角形面積的最值；問題2中的點(diǎn)P在直線上，求目標(biāo)函數(shù)的最值. 變式雖然從情境上做了改變，但所用的思想方法是相同的.

這樣的推廣和一般化體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中對核心素養(yǎng)水平劃分的要求：能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題［6］.

模式識別，擴(kuò)展認(rèn)知

在建立了阿基米德三角形的題根之后，學(xué)生就容易將這個“概念”作為一個體系進(jìn)行掌握，頭腦中有了認(rèn)知模式與認(rèn)知結(jié)構(gòu). 模式識別有利于學(xué)生“提取原型”和“積累范例”. 所謂“原型”，就是阿基米德三角形的相關(guān)知識、研究方法；所謂“范例”，就是能夠不斷地將新舊知識進(jìn)行連接，從而擴(kuò)展認(rèn)知邊界.

問題4將阿基米德三角形的性質(zhì)3轉(zhuǎn)換為逆命題作為第（1）問，并且在第（2）中構(gòu)造四邊形求面積. 有了對阿基米德三角形性質(zhì)的總結(jié)，學(xué)生很容易識別題型模式，并在此基礎(chǔ)上，發(fā)揮創(chuàng)造力，應(yīng)對挑戰(zhàn). 所謂創(chuàng)造，就是“想法的連接”，如原命題和逆命題的轉(zhuǎn)換，再如將四邊形分割為兩個三角形求面積，這就是創(chuàng)造. 學(xué)生擁有了模式識別的自覺，才能對熟悉和意外有更高的敏感度.

調(diào)整參數(shù)，過程變式

模式識別，完成“標(biāo)準(zhǔn)動作”當(dāng)然是基礎(chǔ)，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.對于學(xué)習(xí)能力的激發(fā)，有挑戰(zhàn)的任務(wù)也是非常有效的刺激物. 學(xué)習(xí)效果主要取決于學(xué)生對知識和技能的提取練習(xí)，而變式訓(xùn)練的策略就是在熟悉的基礎(chǔ)上制造意外，不斷調(diào)整題目中的條件和目標(biāo)，讓知識網(wǎng)絡(luò)中的各個參數(shù)隨著訓(xùn)練不斷變化，設(shè)計有難度的“非標(biāo)準(zhǔn)動作”，讓學(xué)生做判斷和反饋. 熟悉加上意外，將新學(xué)的知識和以前所學(xué)的知識建立連接，才能使知識和技能不斷增長.

問題5 （2005年高考江西卷理數(shù)第22題）設(shè)拋物線C：y=x2的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線l：x－y－2=0上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點(diǎn).

（1）求△APB的重心G的軌跡方程；

（2）證明∠PFA=∠PFB.

由阿基米德三角形的性質(zhì)3可知，AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)，過A，B的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為定直線. 問題5的第（1）問也是軌跡問題，求軌跡是解析幾何的主要問題之一，常用方法有參數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法等，雖然情境新，但方法與問題1類似.第（2）問結(jié)合平面向量，以向量的夾角公式證明∠PFA=∠PFB，鍛煉學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力.

問題6 （2022年寶雞二模第20題）已知曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)F（3，0）的距離比它到直線x=－5的距離小2，經(jīng)過點(diǎn)F（3，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn).

（1）求曲線C的方程.

（2）若曲線在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，求△PAB面積的最小值.

解析 （1）由條件知曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)F（3，0）的距離與它到直線x=－3的距離相等，所以曲線C：y2=12x.

所以，對于C：y2=12x，△PAB面積的最小值為36.

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每一個新知識都是建立在舊知識基礎(chǔ)上的，心理學(xué)家把學(xué)生可能面對的學(xué)習(xí)內(nèi)容分成三個區(qū)：舒適區(qū)、學(xué)習(xí)區(qū)和恐慌區(qū).舒適區(qū)的內(nèi)容對學(xué)生來說太容易，學(xué)生能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題；恐慌區(qū)的內(nèi)容太難，要求學(xué)生能夠針對具體問題運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題.課堂教學(xué)最好在兩者間的學(xué)習(xí)區(qū)里進(jìn)行. 變式教學(xué)的意義在于著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)展其潛能，在教師的引導(dǎo)和幫助下脫離舒適區(qū)，進(jìn)入學(xué)習(xí)區(qū)刻意練習(xí). 最佳的學(xué)習(xí)策略是“這個內(nèi)容必須是一只腳站在熟悉，一只腳站在新鮮、未知和新穎的東西上”，這就是“熟悉+意外”“模式+變式”的教學(xué)策略. 題組教學(xué)通過舉一反三，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，進(jìn)一步深化學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)理解，熟練解析法的運(yùn)用技能. 以此策略進(jìn)行題組教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生不斷學(xué)習(xí)新方法、熟練新技能、拓寬學(xué)習(xí)區(qū)，促進(jìn)學(xué)生獲得“四基”，提高“四能”.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 周威. 解題教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的“問題提出”視角——以圓錐曲線專題的解題教學(xué)為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育，2020（Z4）：34-37.

［2］ 喻平. 復(fù)習(xí)課應(yīng)該怎么上——對賁友林老師《平面圖形的面積總復(fù)習(xí)》一課的賞析［J］. 教育視界，2020（17）：36-38.

［3］ 王雪堯. 一道高考平面解析幾何試題的思考與探究［J］.? 數(shù)學(xué)之友，2022，36（17）：87-88+91.

［4］ 邵明志，陳克勤． 高考試題中的阿基米德三角形［J］. 數(shù)學(xué)通報，2008，47（09）：39-42+46．

［5］ 劉美良. 基于教材的高三微專題教學(xué)設(shè)計與反思——以“橢圓的對稱性”為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育，2022（22）：49-54.

［6］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.