黃靜，許寧晏，鄒宇通，喬文佑，倫旭磊，孔梅梅，陸辰熙，高志山，袁群

（1 南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院， 南京 210094） （2 南京郵電大學(xué) 電子與光學(xué)工程學(xué)院、柔性電子（未來(lái)技術(shù)）學(xué)院， 南京 210023）

0 引言

觀測(cè)弱引力透鏡效應(yīng)是精確測(cè)量太空中暗物質(zhì)和暗能量的重要方法，天體和星系經(jīng)望遠(yuǎn)鏡成像后形成的圓形衍射斑，會(huì)因?yàn)槿跻ν哥R效應(yīng)而具有一定橢率［1］。弱引力透鏡效應(yīng)對(duì)星系成像點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（Point Spread Function，PSF）橢率的影響非常微弱，而望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)自身的像差卻又極易導(dǎo)致其光學(xué)橢率變化，干擾暗物質(zhì)的檢測(cè)。因此，為滿(mǎn)足探測(cè)弱引力透鏡效應(yīng)及暗物質(zhì)的要求，必須對(duì)望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)自身橢率加以控制。

橢率是一種比波像差、MTF 等傳統(tǒng)評(píng)價(jià)指標(biāo)要求更苛刻的綜合判據(jù)。以點(diǎn)列圖為例，像質(zhì)指標(biāo)要求對(duì)點(diǎn)列圖的均方根（Root Mean Square，RMS）值進(jìn)行優(yōu)化控制，并不要求點(diǎn)列圖分布的形狀，但光學(xué)橢率指標(biāo)則要求點(diǎn)列圖的分布需旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)。常規(guī)光學(xué)設(shè)計(jì)以波像差或點(diǎn)列圖為指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，而波像差或點(diǎn)列圖良好并不能代表系統(tǒng)的橢率也得到了較好的控制。光學(xué)設(shè)計(jì)軟件無(wú)法直接將橢率作為優(yōu)化指標(biāo)，仍是以波像差等綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，在光學(xué)設(shè)計(jì)完成后，再根據(jù)PSF 的分布計(jì)算光學(xué)橢率，查驗(yàn)其是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，如不滿(mǎn)足要求，還需重新迭代進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。當(dāng)前的設(shè)計(jì)方法沒(méi)有將光學(xué)橢率性能判據(jù)融入到空間望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)過(guò)程中，缺乏對(duì)與橢率相關(guān)聯(lián)的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差優(yōu)化控制的方法。

傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法采用面型逐步升級(jí)的方式，按照從低階項(xiàng)到高階項(xiàng)的順序逐步添加自由曲面面型項(xiàng)，并在添加過(guò)程中持續(xù)保持系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變量可變化。該方法缺乏對(duì)系統(tǒng)當(dāng)前像差的優(yōu)化針對(duì)性，且盲目地在多個(gè)表面上使用自由曲面項(xiàng)將會(huì)導(dǎo)致像差校正退化及不必要的自由曲面偏離。自由曲面優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程通常是指優(yōu)先校正的像差類(lèi)型和自由曲面面型變量的添加方式，以Zernike 面型為例，設(shè)計(jì)者需要考慮每輪迭代優(yōu)化時(shí)添加的Zernike 項(xiàng)類(lèi)型及添加的表面。2005 年，THOMPSON K 等提出了節(jié)點(diǎn)像差理論，分析了光學(xué)系統(tǒng)像差節(jié)點(diǎn)的分布特性，為自由曲面像差優(yōu)化提供了理論指導(dǎo)［2］；2018 年，ROLLAND J 等解析了系統(tǒng)像差特性與自由曲面面型的關(guān)聯(lián)關(guān)系，選擇使用自由曲面進(jìn)行校正的可能性最大的初始結(jié)構(gòu)作為優(yōu)化起始點(diǎn)，以波像差為優(yōu)化指標(biāo)，通過(guò)像差理論來(lái)確定每一步需要添加的Zernike 項(xiàng)及添加的表面［3］；2014 年，張新等利用精確的光學(xué)PSF 模型，對(duì)橢率的特性進(jìn)行建模和分析，計(jì)算出了全視場(chǎng)的光學(xué)橢率分布，通過(guò)對(duì)波像差的控制間接平衡了全視場(chǎng)橢率，完成了無(wú)遮攔離軸望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)［4］；2017 年，史浩東等分析了自由曲面對(duì)光瞳離軸系統(tǒng)像差節(jié)點(diǎn)分布的影響，通過(guò)對(duì)像差節(jié)點(diǎn)位置的控制平衡了由系統(tǒng)光瞳離軸引起的非對(duì)稱(chēng)像差，使得對(duì)橢率的控制更有針對(duì)性［5］；2020 年，羅敬等基于偏振光線追跡，分析了偏振像差對(duì)望遠(yuǎn)鏡光學(xué)橢率的影響［6］。前人基于像差理論的指導(dǎo)，以波像差為優(yōu)化指標(biāo)研究了自由曲面項(xiàng)的添加方式，討論了波像差對(duì)橢率的影響并嘗試通過(guò)波像差的分布間接控制橢率，但尚未將光學(xué)橢率融入到設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行直接控制。

本文圍繞上述問(wèn)題，在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件使用方面，針對(duì)傳統(tǒng)光學(xué)設(shè)計(jì)無(wú)法直接將橢率作為評(píng)價(jià)指標(biāo)的難題，經(jīng)MZDDE 工具集實(shí)現(xiàn)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax 與數(shù)值計(jì)算軟件Matlab 間的橢率數(shù)值交互，將天文橢率指標(biāo)納入到光學(xué)設(shè)計(jì)正向過(guò)程中；在設(shè)計(jì)理論與方法方面，以像差與橢率的關(guān)聯(lián)關(guān)系為基礎(chǔ)，結(jié)合像差理論指導(dǎo)與橢率相關(guān)聯(lián)的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差校正，通過(guò)分析優(yōu)化過(guò)程中非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差與橢率節(jié)點(diǎn)分布的關(guān)聯(lián)關(guān)系，求解利于橢率指標(biāo)實(shí)現(xiàn)的自由曲面像差優(yōu)先控制的必要分量，據(jù)此建立波像差和光學(xué)橢率的融合型評(píng)價(jià)函數(shù)體系，繼而實(shí)現(xiàn)波像差與橢率之間的聯(lián)合優(yōu)化，并在自由曲面離軸三反射式望遠(yuǎn)系統(tǒng)中開(kāi)展設(shè)計(jì)驗(yàn)證。

1 波像差與橢率的融合型評(píng)價(jià)函數(shù)體系

1.1 PSF 橢率表征

PSF 是反映望遠(yuǎn)鏡成像質(zhì)量的一項(xiàng)重要指標(biāo)參數(shù)。根據(jù)PSF 的分布可以計(jì)算半高全寬、橢率以及80%能量圈半徑等性能指標(biāo)［7-8］。

橢率的要求實(shí)際上是對(duì)PSF 的要求，由PSF 計(jì)算得出的橢率表征了PSF 的大小、形狀和空間分布，并且其特性由PSF 隨時(shí)間和空間的變化來(lái)決定。PSF 是對(duì)光瞳函數(shù)的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT），可以定義為［9］

式中，A是孔徑函數(shù)，dOPD是光程差，λ是主波長(zhǎng)。

天文橢率描述了天體和星系由于弱引力透鏡效應(yīng)而在望遠(yuǎn)鏡像面形成衍射斑的扁平程度，由0°/90°方向上的橢率e1和±45°方向上的橢率e2兩個(gè)分量構(gòu)成，橢率e的大小為兩個(gè)分量e1和e2的均方根［10-12］，即

式中，Qxx、Qxy、Qyy為PSF 的二階加權(quán)矩［13-14］，定義為

式中，I（x， y）為像面點(diǎn)（x， y）的PSF 值，W（x， y）是PSF 半高全寬（Full Width at Half Maxima，F(xiàn)WHM）的高斯加權(quán)函數(shù)，xˉ和yˉ是像面質(zhì)心［15］，即

1.2 MZDDE 交互與橢率分布

MZDDE 是用Matlab 腳本編寫(xiě)的利用動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)交換 （Dynamic Data Exchange，DDE）技術(shù)與Zemax 光學(xué)設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)交互的工具集，是Matlab 與Zemax 的動(dòng)態(tài)鏈接庫(kù)，可完成動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)交換，實(shí)現(xiàn)Zemax 擴(kuò)展功能。利用MZDDE 交互實(shí)現(xiàn)Zemax 評(píng)價(jià)函數(shù)中光學(xué)橢率的融入，數(shù)據(jù)傳遞示意圖如圖1 所示。

圖1 MZDDE 數(shù)據(jù)傳遞示意圖Fig. 1 Schematic diagram of data transmission for MZDDE

在Zemax 光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中采用快速傅立葉變換（FFT）方法計(jì)算出單個(gè)視場(chǎng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF，通過(guò)MZDDE 讀取Zemax 存儲(chǔ)的PSF 數(shù)據(jù)文件，經(jīng)由Matlab 計(jì)算出單視場(chǎng)采樣點(diǎn)橢率數(shù)值，進(jìn)而拓展到全視場(chǎng)橢率分布，得到需要控制的全視場(chǎng)橢率最大值與平均值，再將其返回到Zemax 評(píng)價(jià)函數(shù)中。全視場(chǎng)橢率計(jì)算流程如圖2 所示。

圖2 全視場(chǎng)橢率計(jì)算流程Fig. 2 The calculation process of full field ellipticity

在調(diào)用訪問(wèn)Zemax DDE 服務(wù)器的任何函數(shù)之前，需初始化DDE 鏈接，使用zDDEInit 函數(shù)呼叫DDE 服務(wù)。通過(guò)zGetRefresh 函數(shù)將Zemax 光學(xué)系統(tǒng)的鏡頭數(shù)據(jù)從透鏡數(shù)據(jù)編輯器中復(fù)制到服務(wù)器的存儲(chǔ)副本當(dāng)中，利用zSetField 函數(shù)獲取特定視場(chǎng)的視場(chǎng)數(shù)據(jù)，需要根據(jù)實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的視場(chǎng)范圍設(shè)置，以合適的采樣步長(zhǎng)確定視場(chǎng)采樣點(diǎn)，視場(chǎng)采樣步長(zhǎng)越小，得到的橢率數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，全視場(chǎng)橢率分布越連貫平緩。像面采樣間隔決定了PSF 的采樣精度及PSF 橢率的計(jì)算精度，PSF 采樣時(shí)像面采樣間隔越小，計(jì)算的橢率數(shù)值越精確，運(yùn)行速度也相對(duì)越慢。

當(dāng)采樣循環(huán)運(yùn)行時(shí)，在預(yù)先設(shè)定好的指定文件夾保存每個(gè)采樣點(diǎn)的PSF 數(shù)據(jù)文件。ReadZemaxPSF 函數(shù)讀取保存的PSF 文件，計(jì)算每個(gè)采樣點(diǎn)的橢率數(shù)值，并算出采樣點(diǎn)集合中橢率最大值、平均值以及均方根值。此時(shí)橢率值位于DDE 服務(wù)中，zPushLens 將橢率數(shù)值返回至Zemax 光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，zSetOperand 函數(shù)將數(shù)據(jù)插入Zemax 中的評(píng)價(jià)函數(shù)編輯器，方便系統(tǒng)進(jìn)行后續(xù)優(yōu)化。

1.3 波像差與橢率的融合型設(shè)計(jì)方法

常規(guī)光學(xué)設(shè)計(jì)方法以像質(zhì)為優(yōu)化指標(biāo)間接校正橢率，以降低系統(tǒng)總像差為目標(biāo)，缺乏對(duì)與橢率相關(guān)聯(lián)的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差校正的針對(duì)性，且尚未實(shí)現(xiàn)對(duì)光學(xué)橢率的直接控制。

將光學(xué)橢率融入到光學(xué)設(shè)計(jì)的正向過(guò)程中，構(gòu)建波像差與橢率的融合型評(píng)價(jià)函數(shù)體系，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)橢率的直接控制和優(yōu)化。為了兼顧波像差和橢率的有效校正，在確定設(shè)計(jì)流程之前，主要有如下幾點(diǎn)考慮：

1）當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)波像差過(guò)大時(shí)，PSF 彌散，系統(tǒng)中存在的像差成分復(fù)雜且分布雜亂，將會(huì)導(dǎo)致橢率數(shù)值計(jì)算不精準(zhǔn)。為了實(shí)現(xiàn)橢率評(píng)價(jià)指標(biāo)的盡快融入，應(yīng)先校正由系統(tǒng)離軸而產(chǎn)生的主要像差。

2）當(dāng)自由曲面面型項(xiàng)被添加到光闌面時(shí)，僅會(huì)產(chǎn)生當(dāng)前所對(duì)應(yīng)的這一種像差類(lèi)型；當(dāng)其被添加到非光闌面時(shí)，每種類(lèi)型的Zernike 自由曲面項(xiàng)都可以校正一組特定的像差。

3）借助光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中的全視場(chǎng)像差分布圖作為比較，分析像差節(jié)點(diǎn)分布和橢率節(jié)點(diǎn)分布的關(guān)聯(lián)性，結(jié)合像差理論可以確定每一步需要修改的具體自由曲面項(xiàng)和添加自由曲面項(xiàng)的表面，將橢率關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的像差分量作為優(yōu)先校正參數(shù)進(jìn)行迭代。

4）若無(wú)法找到需要優(yōu)先校正的像差類(lèi)型，或添加對(duì)應(yīng)的自由曲面面型后像差校正仍不夠完全，則說(shuō)明當(dāng)前系統(tǒng)受到結(jié)構(gòu)制約，考慮變換結(jié)構(gòu)參數(shù)重新分布系統(tǒng)像差。當(dāng)大部分像差都校正完畢，系統(tǒng)像差以某一非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差為主要成分時(shí)，橢率的節(jié)點(diǎn)分布接近該像差的節(jié)點(diǎn)分布。

如圖3 所示，波像差與橢率的融合型優(yōu)化設(shè)計(jì)流程為：

圖3 波像差與橢率的融合型優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig. 3 Optimization design process for the fusion of wavefront aberration and ellipticity

1）構(gòu)建三個(gè)鏡面均為球面的初始結(jié)構(gòu)，優(yōu)化曲率半徑、空氣間隔、傾斜量等結(jié)構(gòu)參數(shù)得到無(wú)遮攔離軸的結(jié)構(gòu)布局。

2）對(duì)由系統(tǒng)離軸所引入的像散和彗差進(jìn)行初步校正，以便PSF 橢率的求解與融入。為了進(jìn)一步降低波像差，提高PSF 的能量集中度，還需通過(guò)圓錐系數(shù)項(xiàng)校正旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差中的球差成分，在全視場(chǎng)波像差RMS 值達(dá)到2λ的量級(jí)后，橢率的計(jì)算可以引入，但由于PSF 過(guò)于彌散，橢率的計(jì)算尚不夠精準(zhǔn)。

3）從像差與橢率校正的角度出發(fā)，分析需要添加的自由曲面項(xiàng)，優(yōu)化系數(shù)變量獲取新結(jié)構(gòu)，并計(jì)算全視場(chǎng)的光學(xué)橢率分布，將其作為評(píng)價(jià)指標(biāo)推入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，賦予適當(dāng)權(quán)重，進(jìn)行波像差與橢率的聯(lián)合優(yōu)化，當(dāng)全視場(chǎng)波像差RMS 值降低到0.2λ以下時(shí)能夠獲取平緩的全視場(chǎng)橢率分布及精確的橢率數(shù)據(jù)。

4）在新結(jié)構(gòu)中分析需要優(yōu)先校正的像差成分或需要變化的結(jié)構(gòu)參數(shù)，重復(fù)步驟3），迭代更新光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，逐步降低與橢率關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差，最終獲得橢率與波像差校正完成的自由曲面結(jié)構(gòu)。

2 離軸三反式自由曲面空間望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)實(shí)例

2.1 光學(xué)設(shè)計(jì)指標(biāo)

同軸系統(tǒng)中主鏡的環(huán)形孔徑、次鏡的支撐機(jī)構(gòu)遮擋，均使得同軸系統(tǒng)的孔徑函數(shù)復(fù)雜，影響PSF 的分布。無(wú)遮攔離軸光學(xué)系統(tǒng)擁有更小且清晰的PSF，無(wú)中心遮攔，因而孔徑函數(shù)為圓形，PSF 僅與像差相關(guān)，在橢率性能方面更具先天優(yōu)勢(shì)，故采用離軸三反式自由曲面光學(xué)系統(tǒng)作為空間望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，其指標(biāo)要求如表1 所示。

表1 光學(xué)系統(tǒng)指標(biāo)要求Table 1 Optical system index requirements

2.2 融合橢率判據(jù)的自由曲面面型Zernike 項(xiàng)優(yōu)化策略

離軸三反光學(xué)初始結(jié)構(gòu)的求解通常有兩種設(shè)計(jì)思路［16］：一是先根據(jù)初級(jí)像差理論求解同軸系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)，再通過(guò)視場(chǎng)離軸或孔徑離軸的方式實(shí)現(xiàn)無(wú)中心遮攔，但搭建過(guò)程較為復(fù)雜，初始結(jié)構(gòu)的求取需要進(jìn)行大量運(yùn)算，經(jīng)由反復(fù)迭代完成系統(tǒng)離軸，避免光路的遮攔；二是直接構(gòu)建離軸無(wú)遮攔的簡(jiǎn)單光學(xué)系統(tǒng)，在優(yōu)化過(guò)程中利用復(fù)雜面型對(duì)像差進(jìn)行優(yōu)化，避免了繁瑣的計(jì)算和復(fù)雜的離軸迭代，擁有更高的離軸自由度，且系統(tǒng)結(jié)構(gòu)幾何空間關(guān)系明確。

采用第二種設(shè)計(jì)思路進(jìn)行初始結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。為了便于加工裝調(diào)，選取正-負(fù)-正（Positive Negative Positive，PNP）的三反結(jié)構(gòu)。將孔徑光闌設(shè)置在主鏡，三面反射鏡均采用球面鏡，并使用Zemax 編程語(yǔ)言（Zemax Programming Language，ZPL）離軸結(jié)構(gòu)限制宏確保系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)遮攔問(wèn)題，經(jīng)過(guò)初步優(yōu)化后得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2 所示，初始結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

表2 光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Initial structural parameters of optical system

圖4 離軸三反望遠(yuǎn)鏡初始結(jié)構(gòu)Fig. 4 Initial structure of off-axis three-reflective telescope

像散和彗差為初始結(jié)構(gòu)的主要像差成分，且這兩種非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差對(duì)橢率影響較大，需優(yōu)先校正。此時(shí)系統(tǒng)成像質(zhì)量較差，過(guò)大的像差將會(huì)導(dǎo)致PSF 的彌散與不準(zhǔn)確，需要待系統(tǒng)中主要像差進(jìn)一步降低后計(jì)算出精確的PSF 數(shù)據(jù)。對(duì)于像散項(xiàng)來(lái)說(shuō)，無(wú)論其被添加的表面是否為為光闌面，都僅會(huì)產(chǎn)生像散這一種類(lèi)型的像差。通過(guò)將自由曲面面型像散項(xiàng)設(shè)為變量來(lái)實(shí)現(xiàn)像散的校正。選擇在主鏡和三鏡上添加像散項(xiàng)，校正前全視場(chǎng)像散平均值為7.112 1λ，添加自由曲面面型像散項(xiàng)后平均值降低為0.550 8λ。添加像散項(xiàng)前后的系統(tǒng)全視場(chǎng)像差分布如圖5 所示。全視場(chǎng)離焦平均值由0.815 6λ變?yōu)?.121 0λ，其最大值由26.852 1λ降低為24.571 1λ。全視場(chǎng)彗差平均值由14.798 0λ降低為14.544 1λ。

圖5 像散添加前后的全視場(chǎng)像差Fig. 5 Full-field aberration before and after adding astigmatism

當(dāng)前系統(tǒng)的主要像差為離焦和彗差，可以通過(guò)在主鏡和三鏡添加彗差項(xiàng)來(lái)校正。在非光闌面添加彗差項(xiàng)會(huì)產(chǎn)生三種類(lèi)型的像差，分別為離焦、像散和彗差。將彗差項(xiàng)添加到表面后的全視場(chǎng)像差如圖6 所示，彗差項(xiàng)的添加引入了彗差節(jié)點(diǎn)，大幅降低了系統(tǒng)中的彗差分量，全視場(chǎng)彗差平均值由14.544 1λ降低為0.597 6λ。全視場(chǎng)離焦平均值由3.121 0λ降低為1.498 8λ；像散最大值降低超過(guò)50%，由27.196 7λ降低為11.277 6λ，平均值由0.550 8λ變?yōu)?.200 6λ，全視場(chǎng)分布變得更加平均。

圖6 添加彗差后的全視場(chǎng)像差Fig. 6 Full-field aberration after adding coma

此時(shí)，系統(tǒng)主要受到旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差的限制，系統(tǒng)總像差中的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)成分已經(jīng)得到了有效降低，在三個(gè)反射鏡表面添加圓錐系數(shù)可以校正旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差。添加圓錐系數(shù)后的全視場(chǎng)像差如圖7 所示。其中，全視場(chǎng)離焦平均值由1.498 8λ降低為0.908 7λ，球差平均值由0.884 3λ降低為0.544 4λ。全視場(chǎng)像散平均值降低為0.547 9λ，彗差平均值降低為0.428 6λ。

圖7 添加圓錐系數(shù)后的全視場(chǎng)像差Fig. 7 Full-field aberration after adding conic coefficient

通過(guò)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)像差的進(jìn)一步校正，系統(tǒng)的PSF 能量分布更加集中，全視場(chǎng)波像差RMS 值降低到2λ以下，經(jīng)由PSF 得到橢率數(shù)據(jù)，并將其導(dǎo)入到系統(tǒng)評(píng)價(jià)函數(shù)中，賦予適當(dāng)權(quán)重，等待下一次優(yōu)化。當(dāng)前系統(tǒng)像差中離焦、像散、彗差、球差都處于同一數(shù)量級(jí)，為了改變系統(tǒng)中的像差成分并釋放設(shè)計(jì)空間，將反射鏡曲率半徑、空氣間隔和反射鏡傾斜作為自由變量，融合橢率指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，變換結(jié)構(gòu)后系統(tǒng)全視場(chǎng)像差如圖8 所示。此時(shí)，全視場(chǎng)離焦、像散、彗差及球差的平均值分別為0.016 7λ、0.009 2λ、0.109 7λ和0.000 4λ。

圖8 變換結(jié)構(gòu)后的全視場(chǎng)像差Fig. 8 Full-field aberration after structural transformation

隨著反射鏡的傾斜方向與反射鏡上光焦度分布的改變，系統(tǒng)的視場(chǎng)相關(guān)性像差，即非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性像差發(fā)生了變化，彗差節(jié)點(diǎn)由一個(gè)增加到三個(gè)，得到了進(jìn)一步平衡。當(dāng)前系統(tǒng)中主要像差是三葉形，全視場(chǎng)平均值達(dá)到了0.272 9λ。在非光闌面添加三葉形項(xiàng)可以同時(shí)校正三葉形和像散。在主鏡和三鏡添加三葉形項(xiàng)后的全視場(chǎng)像差如圖9所示，全視場(chǎng)彗差、三葉形、像散及二次彗差的平均值分別為0.114 6λ、0.039 5λ、0.004 3λ和0.028 2λ。

圖9 添加三葉形后的全視場(chǎng)像差Fig. 9 Full-field aberration after adding trefoil

本次添加引入了更多三葉形節(jié)點(diǎn)，此時(shí)需校正的主要像差為彗差，其次是三葉形和二次彗差。在非光闌面添加二次彗差項(xiàng)可以校正七種類(lèi)型的像差，分別為離焦、像散、彗差、球差、三葉形、二次像散和二次彗差。為了最大化校正像差，在三個(gè)反射鏡表面都添加了二次彗差項(xiàng)，全視場(chǎng)像差如圖10 所示，全視場(chǎng)離焦、像散、彗差、三葉形及二次彗差的平均值分別為0.026 9λ、0.009 8λ、0.005 3λ、0.001 3λ和0.021 2λ。當(dāng)前全視場(chǎng)波像差RMS 值降低到0.2λ以下，PSF 橢率分布已經(jīng)足夠平緩精確，且與系統(tǒng)波前RMS 分布情況近似，如圖11 所示，橢率最大值為0.598 6，平均值為0.328 9。

圖10 添加二次彗差后的全視場(chǎng)像差Fig. 10 Full-field aberration after adding secondary coma

圖11 添加二次彗差后的波前RMS 分布與橢率分布Fig. 11 Wavefront RMS distribution and ellipticity distribution after adding secondary coma

現(xiàn)在系統(tǒng)主要受到離焦、像散、二次彗差的限制。二次彗差在已經(jīng)校正過(guò)的情況下較其他類(lèi)型像差相比仍大了一個(gè)數(shù)量級(jí)，通過(guò)再次變換結(jié)構(gòu)來(lái)改變系統(tǒng)離軸像差的分布，結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的全視場(chǎng)像差、波前RMS分布和PSF 橢率分布如圖12 和13 所示，全視場(chǎng)離焦、像散、彗差、二次像散及二次彗差的平均值分別為0.000 1λ、0.019 4λ、0.004 0λ、0.027 1λ和0.002 6λ，橢率最大值為0.300 8，平均值為0.114 6。

圖12 變換結(jié)構(gòu)后的全視場(chǎng)像差Fig. 12 Full-field aberration after structural transformation

圖13 變換結(jié)構(gòu)后的波前RMS 分布與橢率分布Fig. 13 Wavefront RMS distribution and ellipticity distribution after structural transformation

當(dāng)像散和離焦同時(shí)存在時(shí)，離焦會(huì)使得PSF 橢率進(jìn)一步增大。通過(guò)PSF 橢率凸點(diǎn)分布及全視場(chǎng)離焦分布可以看出，影響橢率和波前分布的主要像差為像散和二次像散。在非光闌面添加二次像散項(xiàng)可校正離焦、像散、彗差、三葉形和二次像散共五種類(lèi)型的像差，綜合考慮波像差及橢率的優(yōu)化效果后選擇在三個(gè)反射鏡表面都添加二次像散項(xiàng)，得到的系統(tǒng)全視場(chǎng)像差、波前RMS 分布和PSF 橢率分布如圖14 和15 所示，全視場(chǎng)離焦、像散、彗差及二次像散的平均值分別為0.005 3λ、0.008 5λ、0.000 2λ和0.000 2λ，橢率最大值為0.046 4，平均值為0.014 7。

圖14 添加二次像散后的全視場(chǎng)像差Fig. 14 Full-field aberration after adding secondary astigmatism

圖15 添加二次像散后的波前RMS 分布與橢率分布Fig. 15 Wavefront RMS distribution and ellipticity distribution after adding secondary astigmatism

需要添加的自由曲面Zernike 項(xiàng)添加完畢，最后變換一次結(jié)構(gòu)重新平衡像差后，得到的系統(tǒng)全視場(chǎng)像差、波前RMS 分布和PSF 橢率分布如圖16 和17 所示，此時(shí)的橢率最大值及平均值均已降低到光學(xué)系統(tǒng)指標(biāo)要求以下，系統(tǒng)成像質(zhì)量良好，全視場(chǎng)離焦、像散、彗差、三葉形、二次像散及二次彗差的平均值分別為0.001 4λ、0.002 4λ、0.002 5λ、0.002 0λ、0.000 9λ和0.000 7λ，橢率最大值為0.030 3，平均值為0.015 6。

圖17 最終結(jié)構(gòu)的波前RMS 分布與橢率分布Fig. 17 Wavefront RMS distribution and ellipticity distribution of the final structure

本次優(yōu)化過(guò)程中Zernike 像差隨優(yōu)化步驟變化折線如圖18 所示。

圖18 Zernike 像差隨優(yōu)化步驟變化折線Fig. 18 Line chart of Zernike aberration changes with optimization steps

2.3 優(yōu)化結(jié)果

采用橢率關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的像差分量?jī)?yōu)先校正的自由曲面面型Zernike 項(xiàng)優(yōu)化方法，望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)三面反射鏡自由曲面面型僅采用Z5、Z8、Z11、Z12 和Z15 項(xiàng)Zernike Fringe 多項(xiàng)式進(jìn)行表征，最終系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及自由曲面各項(xiàng)系數(shù)如表3 和4 所示，波像差RMS 平均值為0.035 2λ，接近衍射極限，光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)良好，橢率最大值為0.030 3，平均值為0.015 6。

表3 本文方法優(yōu)化結(jié)果結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Structural parameters of the optimization result of the proposed method

表4 本文方法優(yōu)化結(jié)果Zernike Fringe 多項(xiàng)式項(xiàng)系數(shù)Table 4 Zernike Fringe polynomial coefficients of the optimization result of the proposed method

傳統(tǒng)優(yōu)化方法首先通過(guò)優(yōu)化conic 系數(shù)將球面轉(zhuǎn)化為圓錐曲面，然后在其基礎(chǔ)上按照從低階項(xiàng)到高階項(xiàng)的順序在所有鏡面添加自由曲面面型Zernike 項(xiàng)來(lái)校正像差，且在添加過(guò)程中持續(xù)保持系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變量可變化。傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的各子鏡面形參數(shù)如表5 所示，三個(gè)鏡面的自由曲面面形矢高比對(duì)如圖19 所示。傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的波前RMS 分布與橢率分布如圖20 所示，波像差和橢率的全視場(chǎng)均值差異較小。但與從低階項(xiàng)到高階項(xiàng)的傳統(tǒng)像差校正優(yōu)化方法相比，采用本方法設(shè)計(jì)的自由曲面望遠(yuǎn)鏡自由曲面偏差相對(duì)更小。其中，次鏡的區(qū)別最大，本文方法在次鏡上僅添加Z12、Z15 項(xiàng)，而傳統(tǒng)優(yōu)化方法在三個(gè)鏡面均添加了全部5 種Zernike 項(xiàng)，次鏡產(chǎn)生的自由曲面矢高是本文方法的25 倍，像散項(xiàng)和彗差項(xiàng)存在設(shè)計(jì)冗余，無(wú)添加的必要性。兩種方法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表6 所示，通過(guò)對(duì)像差節(jié)點(diǎn)的調(diào)控，采用本方法優(yōu)化所得到結(jié)果的成像質(zhì)量和橢率性能都得到了同步控制，橢率最大值被進(jìn)一步壓縮，橢率分布更加均衡。

表5 傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果Zernike Fringe 多項(xiàng)式項(xiàng)系數(shù)Table 5 Zernike Fringe polynomial coefficients of the traditional optimization result

表6 不同方法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison of optimization results using different methods

圖19 本文方法優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的自由曲面偏差Fig. 19 The deviation of freeform surface between the proposed method and traditional optimization results

圖20 傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的波前RMS 分布與橢率分布Fig. 20 Wavefront RMS distribution and ellipticity distribution of the traditional optimization result

3 結(jié)論

本文以焦距為600 mm，口徑為200 mm，視場(chǎng)為4°×4°的離軸三反自由曲面望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)為設(shè)計(jì)需求樣例，完整描述了將光學(xué)橢率指標(biāo)融入到設(shè)計(jì)的正向過(guò)程的方法。應(yīng)用橢率關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的像差分量?jī)?yōu)先校正的自由曲面面型Zernike 項(xiàng)優(yōu)化方法對(duì)初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行了波像差和橢率的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，與從低階項(xiàng)到高階項(xiàng)的傳統(tǒng)像差校正優(yōu)化方法得到的結(jié)果相比，采用本方法設(shè)計(jì)的自由曲面望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)采用了相對(duì)較小的自由曲面偏差，在像質(zhì)和橢率性能方面得到了同步控制，充分發(fā)揮了自由曲面的效能，更具優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率優(yōu)勢(shì)。