何柳青,田瑞玲

(燕山大學(xué)理學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

1.引言

現(xiàn)實(shí)中存在許多系統(tǒng)被干擾的情況,如操作失誤致使生產(chǎn)系統(tǒng)中生產(chǎn)進(jìn)度受到制約,木馬入侵使得計(jì)算機(jī)系統(tǒng)崩潰,外部撞擊使得車輛系統(tǒng)故障等.以上舉例中的干擾信息被稱之為負(fù)顧客,它的到達(dá)不僅可以使得系統(tǒng)故障,還可以在系統(tǒng)忙期時(shí)產(chǎn)生抵消的作用.自20世紀(jì)90年代Gelenbe[1]首次提出關(guān)于負(fù)顧客的排隊(duì)模型起,關(guān)于負(fù)顧客的研究不斷涌現(xiàn).尤其近些年從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析負(fù)顧客排隊(duì)模型逐漸成為了熱點(diǎn).在經(jīng)濟(jì)學(xué)和博弈論的背景下,顧客有決策權(quán),可根據(jù)自身掌握的有關(guān)系統(tǒng)的信息做出進(jìn)隊(duì)還是止步的決定,考慮顧客的行為使得研究更有實(shí)用性.Lee[2]研究了帶有負(fù)顧客的排隊(duì)系統(tǒng)在幾乎不可視和完全不可視兩種情形下的顧客止步和最優(yōu)定價(jià)策略.WANG等[3]研究了帶有負(fù)顧客的重試排隊(duì)系統(tǒng),討論了完全可視和幾乎不可視兩種情形下的納什均衡策略和社會(huì)最優(yōu)問(wèn)題.Panda和Goswami[4]考慮了帶有負(fù)顧客和工作休假的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),并且討論了四種信息水平下的均衡策略行為.ZHANG和WANG[5]分析了帶有負(fù)顧客和N策略的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),并討論了納什均衡策略.

在實(shí)際中,許多系統(tǒng)由閑期轉(zhuǎn)入忙期需要一段準(zhǔn)備時(shí)間,即啟動(dòng)時(shí)間.比如設(shè)備開(kāi)機(jī)過(guò)程中要經(jīng)歷供電和初始化等一系列操作,又比如發(fā)動(dòng)機(jī)接受到發(fā)動(dòng)指令時(shí)需經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)曲軸并使其達(dá)到一定的轉(zhuǎn)速等操作才能完成發(fā)動(dòng),這些例子中的準(zhǔn)備時(shí)間都可以抽象為啟動(dòng)時(shí)間.Burnetas和Economou[6]分析了帶有啟動(dòng)時(shí)間的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)在完全可視,幾乎可視,幾乎不可視和完全不可視四種信息水平下的均衡止步策略.SUN,GUO和TIAN[7]則進(jìn)一步考慮了帶有啟動(dòng)期和關(guān)閉期的排隊(duì)系統(tǒng),并分析了顧客的進(jìn)隊(duì)閾值策略.CHEN和ZHOU[8]考慮了帶有啟動(dòng)時(shí)間和故障的排隊(duì)系統(tǒng)中顧客的均衡止步策略.在此基礎(chǔ)上,CHANG和WANG[9]將其推廣到重試排隊(duì)系統(tǒng)中,分析了具有啟動(dòng)時(shí)間和故障的重試隊(duì)列.YUE等[10]研究了具有啟動(dòng)時(shí)間和單重休假的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),分析了完全可視和完全不可視兩種情形下的顧客止步策略.ZHOU等[11]研究了帶有啟動(dòng)時(shí)間和N 策略的重試排隊(duì)系統(tǒng)的顧客的均衡止步行為.關(guān)于排隊(duì)經(jīng)濟(jì)策略的分析還可以參閱文[12-14].

參閱已有的文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間受到了人們的普遍關(guān)注,因此本文展開(kāi)了對(duì)結(jié)合負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的排隊(duì)模型的相關(guān)研究.負(fù)顧客到達(dá)時(shí),會(huì)使得服務(wù)臺(tái)故障,并且抵消正在接受服務(wù)的顧客.而啟動(dòng)時(shí)間的引入,使得空閑服務(wù)臺(tái)及時(shí)去休假,不僅能在某種程度上降低服務(wù)臺(tái)故障的風(fēng)險(xiǎn),還能起到節(jié)能的作用.此模型在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、車輛工程等領(lǐng)域有著普遍的應(yīng)用.比如在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中,當(dāng)按下電源開(kāi)關(guān)時(shí),計(jì)算機(jī)會(huì)經(jīng)歷供電、BIOS自檢、系統(tǒng)引導(dǎo)等一系列的流程才能完成啟動(dòng)進(jìn)行工作.在工作過(guò)程中,可能會(huì)遭遇木馬入侵,使得系統(tǒng)文件受到損害,正在進(jìn)行的操作被迫終止.當(dāng)受損的系統(tǒng)文件完成備份以后,計(jì)算機(jī)將恢復(fù)工作狀態(tài).鑒于其實(shí)用性,本文對(duì)其做出研究分析.在本文中,我們考慮具有啟動(dòng)時(shí)間和負(fù)顧客的排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客策略行為,更貼近實(shí)際問(wèn)題,也豐富了現(xiàn)有的排隊(duì)內(nèi)容.利用概率母函數(shù)法計(jì)算系統(tǒng)的重要性能指標(biāo),然后基于收益-成本結(jié)構(gòu)討論顧客的均衡策略和社會(huì)最優(yōu)策略.最后通過(guò)數(shù)值分析考察社會(huì)最優(yōu)進(jìn)入策略和最優(yōu)社會(huì)福利關(guān)于一些參數(shù)的敏感性.

2.模型描述

考慮一個(gè)帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng).到達(dá)系統(tǒng)的顧客有兩種,正顧客和負(fù)顧客,分別服從參數(shù)為λ和α的泊松流.正顧客的到達(dá)是為了尋求服務(wù),而當(dāng)負(fù)顧客到達(dá)時(shí),不僅會(huì)抵消正在接受服務(wù)的正顧客,還會(huì)使得服務(wù)臺(tái)故障.發(fā)生故障的服務(wù)臺(tái)即刻被送去維修,維修時(shí)間服從參數(shù)為β的指數(shù)分布.故障時(shí)顧客不會(huì)進(jìn)入系統(tǒng).當(dāng)系統(tǒng)為空時(shí),服務(wù)臺(tái)會(huì)立即關(guān)閉.若有新顧客到達(dá),服務(wù)臺(tái)會(huì)立即啟動(dòng).啟動(dòng)時(shí)間服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布.服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布,服務(wù)順序是先到先服務(wù).假設(shè)顧客到達(dá)的間隔時(shí)間,負(fù)顧客到達(dá)的間隔時(shí)間,服務(wù)時(shí)間,維修時(shí)間,啟動(dòng)時(shí)間是相互獨(dú)立的.

定義(N(t),I(t))為時(shí)刻t系統(tǒng)的狀態(tài),其中N(t)表示系統(tǒng)中顧客的數(shù)量,I(t)表示服務(wù)臺(tái)狀態(tài)(0:故障;1:繁忙;2: 啟動(dòng)).過(guò)程{(N(t),I(t)),t ≥0}是狀態(tài)空間?={(n,i),n ≥0,i=0,1,2}的連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈.

本文感興趣的是顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)的策略行為,為了量化此過(guò)程,引入線性“收益-成本”結(jié)構(gòu),每個(gè)顧客在服務(wù)完成后,會(huì)獲得回報(bào)R,同時(shí)也要支付成本,每單位時(shí)間的逗留成本是C.假設(shè)顧客是風(fēng)險(xiǎn)中立的,期望最大化自己的收益,并且一旦做出決定不得后悔.

顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí),會(huì)根據(jù)其了解的有關(guān)系統(tǒng)狀態(tài)的信息來(lái)決定進(jìn)隊(duì)的策略.本文考慮了不可視的兩種情形: 1)幾乎不可視: 到達(dá)顧客被告知服務(wù)臺(tái)的狀態(tài)信息;2)完全不可視: 到達(dá)顧客對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)一無(wú)所知.

3.幾乎不可視情形

本節(jié)研究幾乎不可視情形下顧客的均衡進(jìn)入概率.在幾乎不可視情形下,到達(dá)的顧客掌握了服務(wù)臺(tái)的狀態(tài)信息,因此假設(shè)顧客遵循混合進(jìn)隊(duì)策略(q1,q2),q1和q2分別代表服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為1和2的顧客進(jìn)入概率,實(shí)際到達(dá)率為λqi.狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖3.1所示.

定義pn,i為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率,相應(yīng)的母函數(shù)定義如下

其中|z|≤1.

定理3.1在帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的幾乎不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)中,假設(shè)<1,服務(wù)臺(tái)狀態(tài)i=0,1,2的穩(wěn)態(tài)概率分別如下

證系統(tǒng)的平衡方程如下

將式(3.15)和(3.8)代入(3.16)可得

將式(3.14)代入(3.17)可得

將式(3.18)代入(3.15)可得

觀察式(3.1),(3.2),(3.3)和(3.7),容易得出此排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件為<1.

接下來(lái),計(jì)算顧客在不同狀態(tài)下進(jìn)入系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間.當(dāng)標(biāo)記顧客進(jìn)入系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)自己位于系統(tǒng)中第j個(gè)位置,且服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為i時(shí),其平均逗留時(shí)間為T(j,i),可以得到如下定理.

定理3.2對(duì)于帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的幾乎不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),標(biāo)記顧客到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)自己處于系統(tǒng)中第j個(gè)位置,且服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為i(i=1,2)的平均逗留時(shí)間分別如下

證通過(guò)分析,可以得到如下等式

將式(3.25)代入式(3.23),可得

由式(3.22),可得

利用式(3.24),可得式(3.21).

定理3.3對(duì)于帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的幾乎不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),一名標(biāo)記顧客到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為i(i=1,2)并選擇進(jìn)入系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間分別如下

定理3.4對(duì)于帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的幾乎不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),服務(wù)臺(tái)處在啟動(dòng)期和忙期(i=1,2)時(shí),顧客均衡進(jìn)入概率有以下三種情況

證根據(jù)線性“收益-成本”結(jié)構(gòu),可得服務(wù)臺(tái)處于啟動(dòng)期時(shí)的平均剩余效用

求式(3.31)對(duì)q2的一階導(dǎo),可得

容易看出U′2(q2)<0,U2(q2)是關(guān)于q2∈[0,1]的減函數(shù).分以下三種情形討論

服務(wù)臺(tái)處于忙期時(shí)的平均剩余效用為U1(q1,q2),其函數(shù)表達(dá)式如下

U1(q1,q2)是關(guān)于q2和q1的函數(shù),上面已經(jīng)給出了的結(jié)果,因此它現(xiàn)在只與q1有關(guān),求U1(q1)關(guān)于q1的一階導(dǎo),可得

容易看出U′1(q1)<0,因此U1(q1)是關(guān)于q1∈[0,1]的減函數(shù),分以下幾種情形討論

前面討論了顧客的均衡進(jìn)隊(duì)策略,每個(gè)客戶都希望獲得最大的平均剩余效用.但從整體來(lái)看,這些行為決策不一定是最優(yōu)的.因此,進(jìn)一步考慮社會(huì)福利,把所有顧客視為一個(gè)整體來(lái)討論.Sau(q1,q2)表示幾乎不可視情形下的社會(huì)福利,表達(dá)式如下

其中,P1(1)和P2(1)由定理3.1可得,W1(q1,q2)和W2(q2)由定理3.2可得.

從圖3.2中可以看出, Sau(q1,q2)隨著q1和q2的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì). 這是因?yàn)楫?dāng)q1和q2較小時(shí), 系統(tǒng)中的顧客也較少, 此時(shí)顧客需要支付的等待成本就小, 社會(huì)福利增大. 隨著q1和q2的增大, 進(jìn)入系統(tǒng)的顧客越來(lái)越多, 系統(tǒng)變得擁擠, 需要支付的等待成本增大, 社會(huì)福利減小. 從圖中還可以得知, 使Sau(q1,q2)取得最大值的解為然而根據(jù)定理3.4可以得到此時(shí)的均衡解為很明顯最優(yōu)解和均衡解是不一致的, 這印證了個(gè)體均衡和社會(huì)最優(yōu)的差異性. 個(gè)體均衡的決策背離了社會(huì)最優(yōu)的決策, 這是由于每個(gè)個(gè)體為了追求自身效用的最大化導(dǎo)致系統(tǒng)擁擠或否, 使得整體的社會(huì)福利減少. 社會(huì)管理者可以通過(guò)征收入場(chǎng)費(fèi)或者給予補(bǔ)貼來(lái)消除二者之間的差距.

圖3.2 Sau(q1,q2)關(guān)于q1和q2的變化(λ=1,μ=2.5,θ=2,α=0.2,β=1,R=5,C=4)

本文接下來(lái)將討論社會(huì)福利, 引入遺傳算法求得最優(yōu)解并給出一些數(shù)值結(jié)果. 借助遺傳算法去求最優(yōu)的社會(huì)福利Sau(,)以及最優(yōu)進(jìn)隊(duì)概率和. 下面介紹遺傳算法的步驟.

步1 首先通過(guò)隨機(jī)方式產(chǎn)生若干由確定長(zhǎng)度編碼的初始群體;

步2 借助適應(yīng)度函數(shù)對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià),通過(guò)輪盤法選擇優(yōu)秀個(gè)體參與遺傳操作,淘汰劣質(zhì)個(gè)體;

步3 經(jīng)遺傳操作(復(fù)制,交叉,變異)的個(gè)體集合形成新一代種群,重復(fù)步驟2,直到滿足停止準(zhǔn)則;

步4 將后代中表現(xiàn)最好的個(gè)體作為遺傳算法的結(jié)果.

在遺傳算法中,需要明確種群中個(gè)體數(shù)目(pop),編碼方式,交叉概率(pc),變異概率(pm),選擇個(gè)體的方法,終止運(yùn)行的條件.在本文中,我們?cè)O(shè)置pop=200,pc=0.9,pm=0.1,采用十進(jìn)制編碼方式,輪盤法選擇個(gè)體,通過(guò)每個(gè)個(gè)體與總體的適應(yīng)度占比來(lái)衡量其優(yōu)劣,比值越大越不容易被淘汰.當(dāng)滿足迭代次數(shù)時(shí)停止運(yùn)行,即iter≥500.

借助遺傳算法尋得最優(yōu)解后,將在文章第5部分進(jìn)一步做最優(yōu)解關(guān)于參數(shù)的敏感性分析.

4.完全不可視情形

本節(jié)研究完全不可視情形下顧客的均衡進(jìn)入概率.在完全不可視情形下,到達(dá)顧客既不知道服務(wù)臺(tái)的狀態(tài)信息,也不知道系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)信息,假設(shè)他們都以概率q進(jìn)入,那么實(shí)際到達(dá)率為λq.狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖4.1所示.

完全不可視情形相當(dāng)于幾乎不可視情形的一種特殊情形,上一節(jié)已經(jīng)給出了幾乎不可視情形下的一些結(jié)果,對(duì)完全不可視排隊(duì)系統(tǒng)有著重要的參照意義.令式(3.1)-(3.7)中的q1=q2=q,可以得到以下的結(jié)果.

定理4.1對(duì)于帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的完全不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),假設(shè)<1,服務(wù)臺(tái)狀態(tài)i(i=0,1,2)的穩(wěn)態(tài)概率分別如下

定理4.2對(duì)于帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的完全不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),一名標(biāo)記顧客到達(dá)并選擇進(jìn)入系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間為

證根據(jù)PASTA性質(zhì),系統(tǒng)中顧客的有效到達(dá)率為

系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為

由Little公式得到顧客的平均逗留時(shí)間

定理4.3對(duì)于帶有負(fù)顧客和啟動(dòng)時(shí)間的完全不可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng),均衡進(jìn)入概率qe如下

證根據(jù)線性“收益-成本”結(jié)構(gòu),可得顧客的平均剩余效用U(q),表達(dá)式如下

求式(4.12)關(guān)于q的一階導(dǎo),可得

基于函數(shù)的單調(diào)性,分以下三種情形來(lái)討論

U(q)是關(guān)于q的減函數(shù),這表明當(dāng)q越大時(shí),即其他顧客的進(jìn)入概率越大時(shí),被標(biāo)記顧客進(jìn)入系統(tǒng)并接受服務(wù)后獲得的平均剩余效用越少,那么被標(biāo)記顧客進(jìn)入系統(tǒng)的意愿越低,這種行為被稱為擁擠厭惡,由Hassin和Haviv[15]首先提出并命名.此外,還可得知均衡進(jìn)入概率是穩(wěn)定的.因?yàn)門(q)隨著q的增加而增加,平均逗留時(shí)間的增加會(huì)使得進(jìn)入系統(tǒng)的顧客減少,因此q的增加會(huì)得到遏制,最終趨于平穩(wěn).

Sfu(q)表示完全不可視情形下的社會(huì)福利,表達(dá)式如下

其中,λeff和E(N)由定理4.2可得.

從圖4.2中可以看出,隨著進(jìn)入概率的增大,單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)中的顧客數(shù)增大導(dǎo)致社會(huì)福利增大,然而過(guò)多的顧客逗留在系統(tǒng)中,導(dǎo)致顧客支付的等待成本增大,社會(huì)福利減小.同時(shí)可以知道,此時(shí)使得社會(huì)福利最大的解為q?=0.65.然而根據(jù)定理4.1可以得到此時(shí)的均衡解為qe=1,最優(yōu)解和均衡解是存在差異的,個(gè)體最優(yōu)并不能達(dá)到社會(huì)整體最優(yōu),因此社會(huì)管理者可以通過(guò)征收入場(chǎng)費(fèi)來(lái)遏制顧客的個(gè)體決策行為,使二者達(dá)成一致.

圖4.2 Sfu(q)關(guān)于q的變化(λ=1,μ=2.5,θ=2,α=0.2,β=1,R=5,C=4)

下文將借助遺傳算法去尋找最優(yōu)的社會(huì)福利Sfu(q?)和最優(yōu)的進(jìn)隊(duì)概率q?,并進(jìn)行數(shù)值分析.

5.數(shù)值分析

本節(jié)給出了一些數(shù)值例子.數(shù)值分析能夠直觀地展示一些現(xiàn)象,形象地刻畫排隊(duì)模型的實(shí)用性.首先,在幾乎不可視和完全不可視的情形下,本節(jié)分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)社會(huì)最優(yōu)進(jìn)入概率的影響.然后進(jìn)一步比較兩種情形下的最優(yōu)社會(huì)福利,并討論披露更多的系統(tǒng)信息是否能帶來(lái)更多的社會(huì)福利.

本節(jié)給出了一些數(shù)值例子. 數(shù)值分析能夠直觀地展示一些現(xiàn)象, 形象地刻畫排隊(duì)模型的實(shí)用性. 首先, 在幾乎不可視和完全不可視的情形下, 本節(jié)分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)社會(huì)最優(yōu)進(jìn)入概率的影響. 然后進(jìn)一步比較兩種情形下的最優(yōu)社會(huì)福利, 并討論披露更多的系統(tǒng)信息是否能帶來(lái)更多的社會(huì)福利.

圖5.1 最優(yōu)進(jìn)入概率(,)和q?關(guān)于μ的變化(λ=1,θ=2,α=0.2,β=1,R=5,C=3)

圖5.2 最優(yōu)進(jìn)入概率(,)和q?關(guān)于θ的變化(λ=1,μ=2.5,α=0.2,β=1,R=5,C=3)

圖5.3 最優(yōu)進(jìn)入概率(,)和q?關(guān)于α的變化(λ=1,μ=2.5,θ=2,β=1,R=5,C=3)

圖5.4 最優(yōu)進(jìn)入概率(,)和q?關(guān)于β的變化(λ=1,μ=2.5,θ=2,α=0.2,R=5,C=3)

觀察圖5.1-5.4, 從整體上來(lái)看, 不論最優(yōu)進(jìn)入概率關(guān)于參數(shù)的變化是何種走勢(shì), q?大致總是夾在和之間. 也就是說(shuō), 在完全不可視的排隊(duì)系統(tǒng)中, 到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率介于幾乎不可視排隊(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)進(jìn)入概率之間.

觀察圖5.1-5.4,從整體上來(lái)看,不論最優(yōu)進(jìn)入概率關(guān)于參數(shù)的變化是何種走勢(shì),q?大致總是夾在和之間.也就是說(shuō),在完全不可視的排隊(duì)系統(tǒng)中,到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率介于幾乎不可視排隊(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)進(jìn)入概率之間.

圖5.5-5.8展示了兩種信息水平下的最優(yōu)社會(huì)福利. 其中, 從圖5.5, 圖5.6和圖5.8中可以看出,和Sfu(q?)分別隨著參數(shù)μ,θ,β 的增加而增加, 這是因?yàn)殡S著服務(wù)時(shí)間, 啟動(dòng)時(shí)間和維修時(shí)間的減少, 顧客被服務(wù)完成后獲得的回報(bào)會(huì)相應(yīng)增加, 因此顧客更愿意進(jìn)入系統(tǒng), 社會(huì)福利隨之增加. 從圖5.7中可以看出,和Sfu(q?)隨著參數(shù)α的增加而減少, 這是因?yàn)殡S著負(fù)顧客越來(lái)越多的到達(dá), 服務(wù)臺(tái)故障的頻率增加, 顧客在系統(tǒng)中等待的成本增加, 因此顧客進(jìn)入系統(tǒng)的意愿降低, 社會(huì)福利減少.

圖5.5 最優(yōu)社會(huì)福利Sau(,)和Sfu(q?)關(guān)于μ的變化(λ=1,θ=2,α=0.2,β=1,R=5,C=3)

圖5.6 最優(yōu)社會(huì)福利Sau(,)和Sfu(q?)關(guān)于θ的變化(λ=1,μ=2.5,α=0.2,β=1,R=5,C=3)

圖5.7 最優(yōu)社會(huì)福利Sau(,)和Sfu(q?)關(guān)于α的變化(λ=1,μ=2.5,θ=2,β=1,R=5,C=3)

圖5.8 最優(yōu)社會(huì)福利Sau(,)和Sfu(q?)關(guān)于β的變化(λ=1,μ=2.5,θ=2,α=0.2,R=5,C=3)

從圖5.5-5.8的整體上來(lái)看, 不管最優(yōu)社會(huì)福利隨著參數(shù)如何變化,總是高于Sfu(q?), 這說(shuō)明披露服務(wù)臺(tái)狀態(tài)的信息對(duì)社會(huì)管理者而言是有益的, 可以獲得更高的社會(huì)福利. 但是隨著參數(shù)的增加,和Sfu(q?)之間的差距越來(lái)越小, 逐漸趨于一致.