湯池武

(江蘇省南京市寧海中學(xué),江蘇 南京 210000)

面對新課標(biāo)、新教材和新高考,老師們都在認(rèn)真研究教材,創(chuàng)新教法,努力轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,著力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng).面對新課改,老師們在實(shí)際的教學(xué)過程中,積極努力去創(chuàng)設(shè)問題情境,進(jìn)行體驗(yàn)式教學(xué),突出學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生在情境中感受數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程,取得了非常好的效果.

但是對于知識的生長過程,就知識的本身應(yīng)用而言,反倒是所花時間不多,尤其是對于課本例題的使用,往往有時一筆帶過,甚至有的老師嫌課本的例題太過簡單、沒有思維含量等,從而自己另起爐灶,舍本逐末,本末倒置,讓知識的生長鞏固失去剛剛開辟的土壤,從而失去了更好的螺旋式發(fā)展機(jī)會,失去了學(xué)科能力和核心素養(yǎng)培養(yǎng)的最佳時機(jī).

無論是高考還是平時的模擬,所有的題目都來源于課本,而課本中的例題和習(xí)題是所有題目的母題,更為重要的是,它是知識落地生根的基礎(chǔ),是學(xué)生鞏固新知識的利器,更是融合了編者的許多智慧.

針對蘇教版(2019)新教材,筆者認(rèn)真研讀了每一個例題和習(xí)題,對于教材中的例題的作用,有以下一些想法.

1 例題是思維之基——關(guān)聯(lián)前后的思維性

數(shù)學(xué)的例題教學(xué),有時候不僅是對本節(jié)內(nèi)容知識的應(yīng)用,還有許多是對于前面知識的呼應(yīng)和后面內(nèi)容的啟發(fā),有時甚至是對于后面方法的引導(dǎo).這類例題突顯了強(qiáng)大的思維功能,為后面章節(jié)的學(xué)習(xí)甚至是整個本章知識方法應(yīng)用提供很大的幫助,這類例題本身就是非常寶貴的資源庫,我們要注重這些問題的思維含量,這需要我們老師帶領(lǐng)學(xué)生一起去思索、去挖掘,去開發(fā),去感悟,從而真正達(dá)到思維與方法的統(tǒng)一.

例1 利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式:

證明(1)由公式C(α-β)得

本題第(1)小問是對兩角差的余弦公式的直接應(yīng)用,突出了學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的必要性和作用;對于第(2)小問,編者設(shè)置的這個小問,第一個意圖是參照第(1)小題打開左邊的公式證明即可,為后面的學(xué)習(xí)埋下了伏筆,第二個意圖是利用兩角余弦的和差公式,第三個意圖是利用這個思路和想法為證明兩角和與差的正弦公式提供了方法.

本例題不論是思想上、方法上還是技巧上都突出了本章的主要思想、主要方法和主要技巧,更為后面證明兩角和與差的正弦公式提供了方法,可以看成是本章思想的一個母題.看似簡單的一個例題,其實(shí)蘊(yùn)含無窮的寶藏,在備課的時候就需要我們老師去挖掘,如果針對這個問題,老師們引導(dǎo)得當(dāng),那么對于后面的學(xué)習(xí)以及后面相關(guān)題目、難點(diǎn)的突破必定有事半功倍的效果.

2 例題是行動之策——培養(yǎng)學(xué)生的能動性

許多起始章節(jié),在形成數(shù)學(xué)知識過程中,有許多操作類的例題,尤其是幾何類的知識,其意圖是讓學(xué)生通過自己動手去作圖,去理解,去感受知識的生成過程,去體會數(shù)學(xué)的創(chuàng)造之美,從而初步形成相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和學(xué)科素養(yǎng).但有時面對這些例題,老師往往是一帶而過或者直接跳過,學(xué)生一開始就失去了自己動手感悟和讓知識生長的機(jī)會,為后面的學(xué)習(xí)埋下隱患.

例2畫一個四棱柱和一個三棱臺.(蘇教版必修二153頁)

本例題是立體幾何初步第一節(jié)的第一個例題,也是學(xué)生初步學(xué)習(xí)立體幾何的第一個例題,其重要程度不言而喻.許多老師在此時的教學(xué)時不舍得給學(xué)生時間進(jìn)行操作,覺得對于圖形尤其是立體圖形的畫法,要求不高,沒有真正體會編者的良苦用心.本例題作為立體幾何第一個例題,其目的是讓學(xué)生通過自己的操作去畫棱柱和棱臺這兩個圖形(在畫棱臺的時候先要畫出棱錐),體會面動成體的過程,進(jìn)而初步形成立體中的直觀想象能力,在整個過程中,學(xué)生們也可以體會立體圖形的呈現(xiàn)方式和平面圖形有許多的區(qū)別,對于立體中線的關(guān)系、平面的位置關(guān)系等,立體中的相關(guān)元素之間的關(guān)系都有了一個初步的感受,為后面知識的學(xué)習(xí)提供了保障,這些能力為以后的學(xué)習(xí)和解題提供了幫助.

3 例題是經(jīng)典之題——培養(yǎng)學(xué)生的開放性

許多課本中的例題,都是非常經(jīng)典的例題,反映了這類知識的應(yīng)用或者是這類問題的一個經(jīng)典模型.在概率的學(xué)習(xí)過程中,我們知道概率起源于現(xiàn)實(shí)生活中的博弈游戲(賭博),而在現(xiàn)實(shí)生活中,擲骰子是同學(xué)們最熟悉不過的一種游戲(相較于猜正反樣本空間更多,更具有代表性),因此在概率的教學(xué)中,擲骰子是最重要的一個數(shù)學(xué)模型,也是同學(xué)們必須掌握的概率的一種數(shù)學(xué)模型,因此在概率的第一例題中就介紹了這個模型:

例3 “拋擲一顆骰子,結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”記為時間A,分別寫出樣本空間Ω及事件A所包含的樣本點(diǎn).(蘇教版必修二259頁)

對于這個例題,本節(jié)后面的例2和例3,以及后面學(xué)習(xí)互斥事件和獨(dú)立事件時的引例,都是從這個例題模型出發(fā)得到的,都是要在這個模型的樣本空間中去討論的,因此這里的這個例題,是貫穿本章整個內(nèi)容的一個典型例題,更是概率的一個重要的數(shù)學(xué)模型.老師在講解的時候不能因?yàn)楹唵味还P帶過,應(yīng)該重視起來.重視這個基本的模型的結(jié)構(gòu),可以適當(dāng)發(fā)散,讓學(xué)生進(jìn)行分析,也可以聯(lián)系后面的教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生在這個例題中可以盡可能多地對模型的本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識,那么對于后面內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)生的思維發(fā)散有非常重要的作用.

4 例題是規(guī)范之本——突出解題的示范性

對于一個數(shù)學(xué)知識,當(dāng)我們創(chuàng)設(shè)情境帶領(lǐng)學(xué)生感受了知識的生成過程后,就要應(yīng)用知識去解決問題.這時,例題是最好的生長土壤,它不僅完美展示了知識的初步應(yīng)用,而且強(qiáng)調(diào)了怎樣用嚴(yán)謹(jǐn)簡潔的數(shù)學(xué)語言來表達(dá),這也是數(shù)學(xué)所培養(yǎng)的能力之一.而課本中的例題,大多數(shù)都是在知識點(diǎn)的應(yīng)用中展示該類問題嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范的數(shù)學(xué)語言示范.

本例題是兩角和與差的余弦本節(jié)的例3,也是本章最重要、最典型的一類問題,是本章已知三角函數(shù)值求另外三角函數(shù)值的母題.作為例題展示了兩角和與差公式求值的應(yīng)用,突出公式的應(yīng)用技巧,更多的目的是給這類問題提供了更加簡潔的書寫規(guī)范.

如由 sinα求cosα?xí)r,既簡潔明了,又體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯推理,在最后求解的時候?qū)懗龉讲⒋胗?jì)算,使整個過程更加重點(diǎn)突出、層次分明、詳略得當(dāng),給學(xué)生做了非常好的示范作用.

5 例題是應(yīng)用之道——呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性

新課標(biāo)和新教材更加突顯數(shù)學(xué)的情境背景,更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.對于應(yīng)用章節(jié)中的許多例題,一些計(jì)算數(shù)據(jù)看似不太完美或者難以計(jì)算,但卻是現(xiàn)實(shí)背景、真實(shí)數(shù)據(jù)并來源于生活實(shí)際,有些老師往往以數(shù)據(jù)不好或者調(diào)整數(shù)據(jù)等原因忽略或者輕視這些問題,浪費(fèi)了這么寶貴的實(shí)際應(yīng)用問題,從而喪失了培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)的最好的催化劑.

例5A,B兩地之間隔著一個水塘(如圖1),現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C,測得CA=182 m,CB=126 m,∠ACB=63°,求A,B兩地之間的距離(精確到1 m).(蘇教版必修二92頁)對于該問題,許多老師會因?yàn)楸绢}過于簡單或者數(shù)據(jù)不好而略過這個例題換其他例題,也有些老師會修改一下角度值讓學(xué)生去計(jì)算,這兩種處理該例題的方式都沒有體會教材編寫者的真實(shí)意圖.雖然這個數(shù)據(jù)不是很好(從計(jì)算角度),但該例題在這里有非常重要的作用.首先是回歸到現(xiàn)實(shí)情境,回應(yīng)本章開頭的如何測量河流兩個碼頭之間的距離問題,充分說明了余弦定理的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性,而對于不太好的角度這個數(shù)據(jù),其實(shí)也是真實(shí)情境的數(shù)學(xué)表現(xiàn),利用這些數(shù)據(jù)去計(jì)算就需要我們通過查表、計(jì)算器等相關(guān)工具求解,更加符合現(xiàn)實(shí)意義,從而可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng).

圖1 例5題圖

6 例題是發(fā)展之本——展示主干知識的基礎(chǔ)性

新教材中,對于許多平時應(yīng)用比較廣泛的定理和常見結(jié)論,往往不是以定理的形式出現(xiàn),而是以例題或習(xí)題中出現(xiàn).通過例題的形式來介紹這些相關(guān)的定理和結(jié)論,這樣的例題可以大大減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),更好地突出基本定理的主體地位,更好地說明了知識的基礎(chǔ)性和例題的重要性,讓學(xué)生通過解決例題去得到一些常見結(jié)論,讓他們在例題中感受到數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)結(jié)論之間的相互延展,從而更深層次體會主干知識的基礎(chǔ)性.

例6 已知AC,AB分別是平面α的垂線和斜線,C,B分別是垂足和斜足,a?α,a⊥BC.

求證:a⊥AB.(蘇教版必修二183頁)

這個例題在其他教材上是作為定理出現(xiàn)的,而在這里作為例題出現(xiàn).本例題主要目的是讓學(xué)生通過例題總結(jié)歸納證明線線垂直的方法——找線面垂直——利用線線垂直;這種證明的思路是立體幾何中證明線面垂直、線線垂直最基本的方法;本題也是在介紹線面角知識后的例題,蘊(yùn)含了利用幾何法如何去做出線面角的方法,充分培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).作為例題讓學(xué)生去證明該結(jié)論,更加強(qiáng)調(diào)立體幾何中公理、定義等的基礎(chǔ)性,從而更好地提升學(xué)生的邏輯推理能力.

7 結(jié)束語

面對新教材,我們不僅僅要重點(diǎn)關(guān)注知識的發(fā)生過程,更要重視知識的生長點(diǎn),認(rèn)真揣摩例題等背后所蘊(yùn)含的知識、能力、方法和素養(yǎng)資源.在來源于課本的同時高于課本,在講授例題的同時挖掘內(nèi)涵,相信這些例題一定會成為教學(xué)的源源活水,讓學(xué)生醍醐灌頂!