葉 秋 ，夏寧明 ，宋代平

（重慶大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶 400030）

0 前言

在汽車制造技術(shù)中，利用機(jī)器人進(jìn)行協(xié)同甚至自主完成加工、美化工作可以大幅度提升加工制造效率[1-2]?，F(xiàn)階段，相關(guān)企業(yè)主要采用串聯(lián)機(jī)器人協(xié)同工作，但此類機(jī)器人存在運(yùn)動(dòng)剛度低、機(jī)構(gòu)不穩(wěn)定、承載能力小等不足，因此，亟需設(shè)計(jì)一款以并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主要執(zhí)行部件的機(jī)器人來解決這些難題。并聯(lián)機(jī)構(gòu)是將運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)通過多個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈連接，使得運(yùn)動(dòng)平臺(tái)獲得多自由度的機(jī)構(gòu)，其具備剛度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力大、精度高、響應(yīng)速度快等諸多優(yōu)勢(shì)。近年來，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究吸引著許多學(xué)者的目光[3-4]，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)相較于6 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，其運(yùn)動(dòng)空間更理想，定位能力優(yōu)異、運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程較簡(jiǎn)單，在機(jī)床加工、零件打磨、手術(shù)機(jī)器人等使用場(chǎng)景都有參與[5-7]。除此之外，將3 自由度并聯(lián)機(jī)器人與2 自由度機(jī)器人串聯(lián)可進(jìn)一步擴(kuò)大其運(yùn)動(dòng)范圍，提高工作效率，使機(jī)構(gòu)適用于更加繁雜的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景。例如，Liu 等[8]以3-SPS-S（S-球副，P-移動(dòng)副）并聯(lián)機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)水下機(jī)器人，使得機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和運(yùn)動(dòng)精度滿足使用要求；Exechon 機(jī)器人則以2-UPR-SPR（U-萬向副，R-轉(zhuǎn)動(dòng)副）為基礎(chǔ)建立冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[9]，使得機(jī)器人獲取優(yōu)質(zhì)的運(yùn)動(dòng)特性并滿足使用工況要求；Chong 等[10]利用3_PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)渦輪葉片打磨機(jī)器人；Zuo 等[11]利用UPU支鏈構(gòu)建足弓和腳踝的固定器。

本文以3 自由度并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，重點(diǎn)關(guān)注該對(duì)接機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，考慮機(jī)構(gòu)寄生運(yùn)動(dòng)[12]，運(yùn)用螺旋理論推導(dǎo)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，驗(yàn)證分析運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的正確性。

1 機(jī)器人介紹

本文設(shè)計(jì)了一款以并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主要執(zhí)行部件的機(jī)器人，用于協(xié)助完成汽車車體加工與表面噴漆工作，其整體外觀設(shè)計(jì)如圖1 所示。機(jī)器人主要由AGV、連接部段、3 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)和作業(yè)部件組成，AGV 負(fù)載運(yùn)載整體執(zhí)行部件在廠區(qū)內(nèi)作業(yè)；2 自由度連接模塊用于實(shí)現(xiàn)AGV 與執(zhí)行部件的連接與供電；3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為支撐機(jī)構(gòu)，其前端與作業(yè)部件串聯(lián)，實(shí)現(xiàn)車體表面加工的同時(shí)增加了執(zhí)行部件的剛度和承載能力等。

圖1 車身加工機(jī)器人

所設(shè)計(jì)的3-RPS 樣機(jī)如圖2（a）所示，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3 維模型如圖2（b）所示，其中，O-XYZ為機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)坐標(biāo)系即全局坐標(biāo)系，p-uvw是機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，參考點(diǎn)p位于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的中心，u、v、w軸的初始方向與X、Y、Z軸一致；Ai-xiyizi(i=1,2,3)是位于每條運(yùn)動(dòng)支鏈的坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)Ai與支鏈中R 副的運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)重合。該機(jī)構(gòu)由3條運(yùn)動(dòng)副一致的RPS支鏈組成，整個(gè)結(jié)構(gòu)繞Z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱布置。

圖2 3-RPS 樣機(jī)模型

以支鏈1 為例，機(jī)構(gòu)中的支鏈運(yùn)動(dòng)示意圖如圖3所示，AA′為支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線，球鉸運(yùn)動(dòng)可以看作是繞3 條互相垂直的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，則設(shè)定BB′、CC′、DD′分別是運(yùn)動(dòng)支鏈中球副的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，為方便計(jì)算與求解，將三個(gè)軸線的運(yùn)動(dòng)方向設(shè)置為與支鏈的坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi一致，支鏈1中移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軸線為EE′。

圖3 支鏈1運(yùn)動(dòng)示意圖

2 自由度分析

鑒于常規(guī)G-K 公式計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度只能獲取機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目卻無法得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)種類和運(yùn)動(dòng)方向的特點(diǎn)，故采用螺旋理論對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析[13]。剛體運(yùn)動(dòng)和受力運(yùn)動(dòng)可以采用Plücker 坐標(biāo)（六維）表示，螺旋的常規(guī)表達(dá)為$=(s;so)，當(dāng)$?$r=0 時(shí)，可以判定$r為$的反螺旋，即$、$r互逆。對(duì)于機(jī)構(gòu)而言可以得到：以$r為方向的外力加載于剛體的運(yùn)動(dòng)$上，此外力不做功，即表示該機(jī)構(gòu)在約束螺旋$r方向的自由度被限制。對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，機(jī)構(gòu)各支鏈中運(yùn)動(dòng)副共同作用形成支鏈約束螺旋$ri(i=1,2,3)，各約束螺旋沿支鏈?zhǔn)┘佑跈C(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。

機(jī)構(gòu)各支鏈的約束螺旋$ri(i=1,2,3)集合形成的作用即產(chǎn)生對(duì)整體機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的約束，進(jìn)一步對(duì)約束螺旋$r集合求反螺旋，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋，即為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)自由度。機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)圖如圖4 所示，動(dòng)坐標(biāo)系p-uvw固連于動(dòng)平臺(tái)，軸線與基坐標(biāo)系軸線方向一致，p點(diǎn)作為運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)，位于動(dòng)平臺(tái)中心，支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi的z軸與基坐標(biāo)系的Z軸同向，x軸由Ai指向O點(diǎn)，y軸根據(jù)右手定則確認(rèn)，r為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)半徑，R為機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)半徑，Li為AiBi的長(zhǎng)度，以Li的變化值作為主動(dòng)件移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)距離。

圖4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

由于機(jī)構(gòu)繞Z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱布置，故只需要對(duì)機(jī)構(gòu)的一條支鏈進(jìn)行分析，即可獲得普遍性。支鏈1 的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖及運(yùn)動(dòng)螺旋如圖5 所示，由此可以獲得支鏈中各個(gè)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)螺旋。

圖5 支鏈1 運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

式中：αi為支鏈中R 副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，i=1,2,3；cα與sα分別為cos與sin運(yùn)算。

進(jìn)一步在支鏈運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi下對(duì)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋組求反螺旋，以獲取支鏈運(yùn)動(dòng)約束：

支鏈局部坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi(i=1,2,3)與基坐標(biāo)系O-XYZ存在旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

上式即為三條支鏈對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的約束，將移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)設(shè)為定長(zhǎng)，即L1=L2=L3=L，轉(zhuǎn)動(dòng)副R 的轉(zhuǎn)動(dòng)角度設(shè)定為α1=α2=α3=α，對(duì)式（5）中的約束螺旋系求解反螺旋，即可得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋：

由式（6）求解的運(yùn)動(dòng)螺旋得出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)具備3 自由度，其中包括沿Z軸的移動(dòng)自由度和沿X軸、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解包含機(jī)構(gòu)逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解與機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)研究主要解決給定運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)Xp=[Mz,φ,?]T，通過建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解驅(qū)動(dòng)參數(shù)ΔL=[l1,l2,l3]T，（其中，l1,l2,l3分別為機(jī)構(gòu)支鏈中移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)量即Li的變化量）；正運(yùn)動(dòng)學(xué)則剛好相反，給定支鏈中主動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)值ΔL=[l1,l2,l3]T求解，即可獲得機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)。

3.1 寄生運(yùn)動(dòng)分析

由于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在寄生運(yùn)動(dòng)，即在機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中，運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)會(huì)因機(jī)構(gòu)設(shè)定自由度運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生其他自由度方向上的運(yùn)動(dòng)（如當(dāng)本并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)或繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)伴隨出現(xiàn)X或Y自由度上的移動(dòng)）。因此在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析前需要先求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)的寄生運(yùn)動(dòng)[Mx,My,γ]，為求解機(jī)構(gòu)的寄生運(yùn)動(dòng)，將機(jī)構(gòu)出現(xiàn)寄生運(yùn)動(dòng)的位姿投影于基坐標(biāo)系的OXY平面，如圖6所示。

圖6 OXY 平面投影

圖中的OAi、OBi分別表示Ai、Bi在OXY平面的投影，由圖可以看出Ai、Bi相交于O點(diǎn)，即：

其中，pRm=Ry(φ)Rx(?)Rz(γ)，為運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的變化，p=(Mx,My,Mz)為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的位置向量。球鉸參考點(diǎn)相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的位置為：

其中，需滿足以下條件：

將所求得的點(diǎn)代入式（8）中，即可獲得共線運(yùn)算方程：

化簡(jiǎn)后可以得到：

同理，可以獲得B2、B3在OXY平面的投影坐標(biāo)OB2、OB3，代入式（8）求解共線方程：

結(jié)合式（15）與式（16），利用消元法獲得機(jī)構(gòu)寄生運(yùn)動(dòng)Mx,My與?,φ的關(guān)系。

將式（20）中求得的Mx,My的值代入，可以求解得到運(yùn)動(dòng)平臺(tái)寄生運(yùn)動(dòng)γ值與?,φ的關(guān)系。

通過以上分析，能夠完整求解出所設(shè)計(jì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的所有寄生運(yùn)動(dòng)Mx,My,γ，并可進(jìn)一步寫出機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)完整的運(yùn)動(dòng)位姿Mx,My,Mz,?,φ,γ。

3.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

用上一章對(duì)于完整寄生運(yùn)動(dòng)的求解和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)位姿表示，可以建立機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即由參考點(diǎn)位姿獲取移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軌跡。與許多并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程一樣，采用支鏈封閉解的形式建立逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，在已知位姿的情況下，支鏈球鉸運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)Bi相對(duì)于基坐標(biāo)系的位置向量為：

式中：Ai為Ai相對(duì)于O的位置向量，Li為移動(dòng)副AiBi的向量。

由式（21）可以計(jì)算得到主動(dòng)件運(yùn)動(dòng)距離，即用支鏈中AiBi的長(zhǎng)度減去移動(dòng)副初始距離L0i：

3.3 正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解同樣以前文所提的支鏈中的幾何閉環(huán)關(guān)系作為出發(fā)點(diǎn)，利用機(jī)構(gòu)雅可比矩陣構(gòu)建機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。將式（21）中的閉環(huán)關(guān)系分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到：

由此，則可以利用?X=(vp,ωp)T、?l=(?l1,?l2,?l3)T的形式表示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)和主動(dòng)件運(yùn)動(dòng)，故將式（24）改寫成機(jī)構(gòu)雅可比運(yùn)算形式，即：

為獲取?X與?l的關(guān)系，由式（25）的矩陣運(yùn)算進(jìn)行求逆變換，可得Ja-1Jp??X=?l，Ja-1Jp-3×6可進(jìn)一步得出機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)與機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的速度映射關(guān)系。但由于上式中的?X=(vp,ωp)T是六維向量，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)自由度為3，則需要將其化簡(jiǎn)為線性無關(guān)的3維向量?Xp=[?Mz,??,?φ]T。將Mx,My,γ分別對(duì)Mz,?,φ求偏導(dǎo)，得到?X和?Xp的關(guān)系：

進(jìn)一步將式（30）代入式（27）中，便得到機(jī)構(gòu)輸入、輸出方程：

其中，J=Ja-1JpJd-3×3，與其他并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解求解方法相同，利用牛頓迭代法，限制機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副范圍與運(yùn)動(dòng)件行程，即可獲得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)解。

根據(jù)所列方程與機(jī)器人工具箱編寫MATLAB 程序，設(shè)定機(jī)構(gòu)參數(shù)值r=90 mm，R=175 mm，li∈[0，150]，使得機(jī)構(gòu)在不同姿態(tài)下運(yùn)動(dòng)，如表1 所示，對(duì)處于不同運(yùn)動(dòng)工況下的機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

表1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)工況

本設(shè)計(jì)采用對(duì)稱布置，為便于直觀進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，在分析過程中均給予運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)正弦運(yùn)動(dòng)，通過分析可以得到機(jī)構(gòu)在不同運(yùn)動(dòng)姿態(tài)下主動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)軌跡變化，結(jié)果如圖7 所示。圖7（a）為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Z向移動(dòng)時(shí)移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖7（b）為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖7（c）為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖7（d）為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)繞X、Y軸耦合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖7 運(yùn)動(dòng)分析結(jié)果

4 運(yùn)動(dòng)仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本設(shè)計(jì)中機(jī)構(gòu)分析的合理性，將建立好的三維虛擬樣機(jī)導(dǎo)入Admas View 軟件中，設(shè)定機(jī)構(gòu)支鏈中的運(yùn)動(dòng)副與運(yùn)動(dòng)約束，同樣規(guī)劃如表1所示的正弦運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)，Z向移動(dòng)工況仿真設(shè)置如圖8 所示。由于機(jī)構(gòu)具備寄生運(yùn)動(dòng)，在設(shè)定運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)需要釋放寄生運(yùn)動(dòng)的3 個(gè)自由度給予其自由狀態(tài)，對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真分析獲取運(yùn)動(dòng)結(jié)果，如圖9所示。圖9（a）、圖9（b）、圖9（c）、圖9（d）分別對(duì)應(yīng)表1 中所設(shè)定的不同運(yùn)動(dòng)工況的Admas 仿真結(jié)果，由仿真分析結(jié)果得出：仿真值與分析值的誤差不到3%，在可忽略范圍內(nèi)，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過程與結(jié)果的正確性，可以利用此結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制設(shè)計(jì)與相關(guān)研究。

圖8 Z 向移動(dòng)工況仿真參數(shù)設(shè)定

圖9 運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果

5 結(jié)論

1）設(shè)計(jì)了一種采用3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為執(zhí)行部件支撐件的汽車車身制造與噴漆機(jī)器人，對(duì)該機(jī)器人和所設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)要描述，基于螺旋理論分析了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)自由度。

2）對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中的寄生運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析，建立了機(jī)構(gòu)寄生運(yùn)動(dòng)方程并準(zhǔn)確求解出寄生運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，獲取了動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的完整位姿，利用機(jī)構(gòu)支鏈閉環(huán)方程建立了整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

3）利用MATLAB 和Admas View 軟件分別完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解和運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，兩者結(jié)果誤差在3%以內(nèi)，證明所建立的設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程有效可行，可以進(jìn)一步用于機(jī)器人的控制設(shè)計(jì)與路徑規(guī)劃。