王寶珍,吳群英

(桂林理工大學(xué)理學(xué)院,廣西 桂林 541004)

1.引言

極限定理在概率研究中有著深遠(yuǎn)的意義,強大數(shù)定律在極限定理的發(fā)展中起著重要的作用,到目前為止有許多學(xué)者都對其進行了研究,在模型確定性的情況下得到了很多優(yōu)秀的成果.然而,這種模型確定性在許多應(yīng)用領(lǐng)域中是不現(xiàn)實的,因為許多不確定的現(xiàn)象不能用模型確定性很好地建模.彭實戈院士[1]創(chuàng)造性地提出了次線性期望空間理論,并給出了次線性期望理論的完整公理體系,引起了業(yè)內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注,近幾年來強大數(shù)定律已經(jīng)得到了大量的研究[2-6].本文在現(xiàn)有次線性期望空間的研究理論的基礎(chǔ)上,將文[7]中的定理1.1從概率空間擴展到次線性期望空間中,并給出與其類似的結(jié)論.

2.預(yù)備知識

在本文中,我們使用彭實戈院士[1]所構(gòu)建的次線性期望空間的基本概念和框架,假設(shè)(?,F)是給定的可測度空間,H是定義在(?,F)上由實函數(shù)構(gòu)成的線性空間,若X1,···,Xn ∈H,則對?φ ∈Cl,Lip(Rn),有φ(X1,···,Xn)∈H,其中Cl,Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數(shù),即對任意φ ∈Cl,Lip(Rn),存在常數(shù)c>0,m ∈N取決于φ,使得對任意x,y∈Rn都有:

也稱H是由隨機變量所構(gòu)成的空間,并記X ∈H.

從定義得出,對于所有的X,Y ∈H,則有:

定義2.2[1]令G ?F,一個函數(shù)V:G →[0,1]稱為容度,如果:

1)V(?)=0,V(?)=1;

2) 對任意A ?B,A,B ∈G,則V(A)≤V(B).

如果對于所有的A,B ∈G,有V(A ∪B)≤V(A)+V(B),則稱V具有次可加性.

在(?,H,)中可產(chǎn)生對應(yīng)的上容度和下容度(V,V),定義如下:

其中,I(·)為示性函數(shù),Ac為A的補集.根據(jù)定義,則有:

如果I(A)∈H,則有:

對任意f ≤I(A)≤g,f,g ∈H,則有:

定義2.3[1]定義Choquet積分為:

其中,V可由上容度V和下容度V替換.

3) 獨立同分布隨機序列: 若對?i ≥1,有XiX1,且Xi+1與{X1,X2,···,Xi}獨立,則稱隨機變量序列{Xn,n ≥1}為獨立同分布的.

在本文后面,符號c表示與n無關(guān)的常數(shù),在不同的地方可以取不同的值;符號～表示等價;an ?bn表示存在一個常數(shù)c>0,使得充分大的n,都有an ≤cbn成立.

為證本文的結(jié)論,本文需要用到以下引理:

3.主要結(jié)果及其證明

注3.1定理3.1是將文[7]的定理1.1從概率空間推廣到次線性期望空間.

注3.3當(dāng)l(x)=1時,推論3.1就是Marcinkiewicz強大數(shù)律.

定理3.1的證明容易證明(3.1)式與下列式子是等價的,

{X,Xn;n ≥1}是次線性期望空間(?,H,)下的獨立同分布序列,對其進行截尾.

所以為了證明(3.2)式成立,我們只需要證明Ii →0,a.s.V,其中i=1,2.

值得注意的是,在傳統(tǒng)的概率空間中,我們知道EI(|X|≤a)=P(|X|≤a)這個式子是成立的.然而,在次線性期望空間中,是通過Cl,Lip的連續(xù)函數(shù)來定義的,示性函數(shù)I(|X|≤a)不一定滿足連續(xù)性.因此,(|X|≤a)這種表達式不一定有定義,我們需要在次線性期望空間中創(chuàng)建一個新的屬于Cl,Lip的連續(xù)函數(shù)來代替概率空間的示性函數(shù),具體定義如下:

對0<μ<1,設(shè)函數(shù)g(x)∈Cl,Lip(R)是一個偶函數(shù),并且在(0,∞)下是單調(diào)下降的,使得?x ∈R,0≤g(x)≤1;且當(dāng)|x|≤μ,g(x)=1,當(dāng)|x|>1,g(x)=0.則有

由(2.3),(3.3),(3.5)可得:

根據(jù)Borel-Cantelli引理,我們可以得到V(Zk=0,i.o.)=0,其中V是可數(shù)次可加的.又因為0

令gj(x)∈Cl,Lip(R),j ≥1,使得對?x ∈R,0≤gj(x)≤1.且當(dāng)c2j-1<|x|≤c2j時,gj(x)=1;當(dāng)|x|≤μc2j-1或|x|>(1+μ)c2j時,gj(x)=0.則

當(dāng)滿足條件1)時,可得

根據(jù)(2.3)和(3.5),可得

根據(jù)(3.4),(3.8),(3.9)和g(x)在(0,∞)↓,有

結(jié)合(3.3)和(3.10)可以得到

當(dāng)滿足條件2)時,可得

結(jié)合(3.3)和(3.15)可以得到

由定理3.1中的條件

根據(jù)(2.3)和(3.5)可得:

根據(jù)(3.4),(3.8)和(3.18)有

結(jié)合(3.3)和(3.19)可以得到

進一步,由Kronecker引理及bn↑∞可以得到(3.7),即完成了定理3.1的證明.

因此定理3.1的所有條件都滿足,推論3.1成立.