占金青 ,蒲圣鑫 ,王 嘯 ,劉 敏+

(1. 華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院,江西 南昌 330013;2. 華東交通大學(xué) 載運(yùn)工具與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西 南昌 330013)

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)是一種由自身柔性元件的彈性變形來實(shí)現(xiàn)能量傳遞、力或運(yùn)動(dòng)的整體式機(jī)構(gòu)[1-2]。柔順機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力可以分為兩類:①與設(shè)計(jì)相關(guān)的載荷,如流體壓力載荷;②與設(shè)計(jì)無關(guān)的載荷,如恒力載荷。壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)在人機(jī)交互、醫(yī)療康復(fù)和軍事探測(cè)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[3-4]。拓?fù)鋬?yōu)化方法[5-6]是柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法之一,它能在給定的設(shè)計(jì)域、約束邊界和輸入、輸出作用等條件下尋求機(jī)構(gòu)最佳的機(jī)構(gòu)構(gòu)型,使得性能達(dá)到最優(yōu)。在壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程中,流體壓力作用邊界不斷地演變,引起設(shè)計(jì)相關(guān)的壓力載荷的大小、位置和方向不斷地變化。與恒力驅(qū)動(dòng)相比,壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)面臨著更多的困難。流體壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究引起越來越多學(xué)者的關(guān)注[7-8]。

HAMMER等[9]首先提出了一種流體壓力載荷作用的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,利用等密度方法確定壓力載荷邊界。IBHADODE等[10]采用邊界識(shí)別和載荷演化方法求解壓力載荷邊界,實(shí)現(xiàn)了承壓結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。SIGMUND等[11]將空相結(jié)構(gòu)視為不可壓縮的靜壓流體,采用位移-壓力混合有限元方法計(jì)算壓力載荷,進(jìn)行承壓結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。LU等[12]提出一種基于移動(dòng)等值面閾值法和位移-壓力混合有限元法的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。PANGANIBAN等[13]采用基于位移的非協(xié)調(diào)有限元法進(jìn)行流體壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。DE SOUZA等[14]提出一種基于混合位移-壓力有限元方法和投影技術(shù)的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。PICELLI等[15]采用水平集方法計(jì)算流體壓力載荷場(chǎng),建立了壓力載荷作用的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。KUMAR等[16]采用達(dá)西定律進(jìn)行壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),并擴(kuò)展到三維結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題中[17]。上述關(guān)于壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究沒有考慮制造工藝要求,設(shè)計(jì)的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型容易出現(xiàn)類鉸鏈結(jié)構(gòu),導(dǎo)致難以加工制造。因此,需要考慮最小尺寸控制進(jìn)行壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),使得機(jī)構(gòu)的最小特征尺寸滿足加工工藝要求。

最小尺寸控制是為了滿足壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)加工工藝要求必須考慮的因素,其目的在于使拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)最小特征尺寸足夠大。目前,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究主要集中在恒力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題。SIGMUND[18]采用基于圖形學(xué)中侵蝕、中間和膨脹算子的映射方法進(jìn)行考慮最小尺寸控制的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),獲得的機(jī)構(gòu)最小特征尺寸得到控制,但是每次迭代進(jìn)行多次有限元分析。XIA等[19]通過施加邊界到骨架的距離約束,實(shí)現(xiàn)了基于最小尺寸控制的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。ZHOU等[20]提出一種基于幾何約束的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,以控制實(shí)相和空相結(jié)構(gòu)最小尺寸。榮見華等[21]引入光滑Heaviside映射和修改的光滑Heaviside映射,建立了實(shí)相和空相結(jié)構(gòu)最小尺寸控制的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。占金青等[22]提出一種考慮混合約束的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,獲得的柔順機(jī)構(gòu)最大應(yīng)力和最小尺寸得到控制。LIU[23]提出一種基于水平集的分段尺寸控制拓?fù)鋬?yōu)化方法,能夠達(dá)到分段尺寸控制效果。ZHANG等[24]提出一種基于結(jié)構(gòu)骨架的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,以控制結(jié)構(gòu)的最大尺寸和最小尺寸。YAN等[25]采用浮動(dòng)投影拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行基于最小尺寸控制的柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)。綜上所述,基于最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)最小特征尺寸能夠得到有效地控制,但是僅涉及恒力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題?？紤]最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究尚未見相關(guān)報(bào)道。

因此,本文提出一種考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用達(dá)西定律與排水項(xiàng)相結(jié)合求解流體壓力載荷,利用Otsu算法和拓?fù)浼?xì)化算法提取柔順機(jī)構(gòu)的骨架特征,從而構(gòu)建最小特征尺寸控制,建立考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型,采用移動(dòng)漸近線算法進(jìn)行優(yōu)化問題求解。

1 流體壓力載荷求解

目前,設(shè)計(jì)相關(guān)的流體壓力載荷計(jì)算方法主要有邊界識(shí)別和水平集方法。邊界識(shí)別方法基于預(yù)先給定的密度閾值識(shí)別等密度曲線或曲面(壓力載荷邊界),可能形成“孤島”,導(dǎo)致無法施加有效的壓力載荷;水平集方法使用隱式邊界描述壓力載荷,但其計(jì)算量龐大。上述兩種方法通常未考慮流體壓力荷載邊界變化對(duì)靈敏度分析影響,導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)和約束靈敏度分析不準(zhǔn)確。達(dá)西定律和排水項(xiàng)通過隱式形式有效地表達(dá)流體壓力載荷邊界,可通過伴隨方法求解出壓力載荷靈敏度,且計(jì)算成本低[26]。因此,本文采用達(dá)西定律和排水項(xiàng)計(jì)算流體壓力載荷。達(dá)西定律表示流體通量與壓力梯度成正比,與流體粘度成反比,可以表示為

(1)

式中,q表示流體通量,μ表示流體粘度,k表示滲透率,ρe表示單元密度,?p表示壓力梯度。K(ρe)代表流量系數(shù),表示流體通過多孔介質(zhì)的能力。為了使得介于0(空相)和1(實(shí)體)之間中間密度單元的流量系數(shù)連續(xù)平緩過渡,采用Heaviside映射函數(shù)[27]懲罰流量系數(shù)

(2)

(3)

式中:kv和ks分別為空相的流量系數(shù)和實(shí)相的流量系數(shù);ηk為閾值;βk為控制近似Heaviside函數(shù)斜率的參數(shù)。

為了得到整個(gè)設(shè)計(jì)域的壓降分布,采用排水項(xiàng)求得實(shí)-空相界面處的局部壓力梯度

Qdrain=-H(ρe)(p-pout)。

(4)

式中:Qdrain為排水量,H(ρe)為排水系數(shù),p為壓力場(chǎng),pout為外部壓力場(chǎng)。

與流量系數(shù)類似,采用平滑的Heaviside函數(shù)懲罰排水系數(shù)H(ρe):

(5)

式中:βh和ηh為可調(diào)參數(shù);hs為實(shí)相的排水系數(shù),它有效地控制所施加壓力的穿透位置和深度

(6)

其中r為輸入壓力在穿透深度Δs處的比值。

根據(jù)式(4),可以將式(1)改寫為。

?q-Qdrain=0。

(7)

對(duì)于任一單元區(qū)域Ωe,式(7)的弱形式可表示為

(8)

式中:pe為壓力場(chǎng),Np=[N1,N2,N3,N4]為形函數(shù)矩陣,Bp=?Np,qΓ為通過邊界Γe的達(dá)西通量。

經(jīng)組裝后,式(8)可改寫為:

Ap=f。

(9)

式中:A為整體流動(dòng)矩陣,p為整體壓力向量,f為整體載荷向量。

設(shè)定pout=0和qΓ=0,因此,與之相對(duì)應(yīng)的負(fù)載向量f=0。由式(9),可以求得整體等效節(jié)點(diǎn)載荷向量F=-Hp。

單元轉(zhuǎn)換矩陣He與單元等效節(jié)點(diǎn)載荷Fe的關(guān)系可表示為

(10)

式中Nu=[N1I,N2I,N3I,N4I],其中I是單位矩陣。

2 骨架提取及尺寸控制

采用變密度法進(jìn)行壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),獲得的機(jī)構(gòu)構(gòu)型容易出現(xiàn)大量灰度單元,導(dǎo)致無法準(zhǔn)確提取圖像特征。為了克服上述問題,采用自適應(yīng)求解閾值的Otsu算法[28-29]進(jìn)行灰度圖像二值化處理。

2.1 Otsu算法

假設(shè)拓?fù)鋱D的灰度級(jí)范圍為(0,L-1),其中灰度級(jí)為i的單元有ni個(gè),則設(shè)計(jì)域內(nèi)的單元數(shù)目為:

(11)

Pi為第i灰度級(jí)出現(xiàn)的概率,即

(12)

設(shè)定分割閾值為k?[0,L-1],將拓?fù)錁?gòu)型灰度圖劃分為C0和C1兩部分,分割后的單元灰度值可以表示為:

(13)

式中:C0為灰度圖像的背景;C1為灰度圖像的前景,即拓?fù)錁?gòu)型;x表示單元的坐標(biāo)?；叶燃?jí)小于k的像素點(diǎn)包含于C0中,反之包含于C1中。

用ω0和ω1分別表示C0和C1出現(xiàn)的概率:

(14)

C0和C1對(duì)應(yīng)的灰度級(jí)類均值分別為μ0和μ1

(15)

式中,μ為灰度圖像的平均灰度值

(16)

根據(jù)式(14)和式(15)可計(jì)算得到C0和C1方差分別為:

(17)

(18)

按照Otsu方法所遵循的類間方差準(zhǔn)則,前景和背景的類間方差表示為

(19)

(20)

采用歸一化方法對(duì)拓?fù)鋱D灰度處理,可以使得拓?fù)鋱D灰度級(jí)和單元密度一一對(duì)應(yīng)。于是,對(duì)單元密度場(chǎng)進(jìn)行分割處理,可以獲得0/1分布的二值密度場(chǎng)

(21)

2.2 拓?fù)浼?xì)化算法

拓?fù)浼?xì)化算法是在不改變圖像拓?fù)溥B接性關(guān)系前提下,經(jīng)多次迭代細(xì)化,逐層地刪去結(jié)構(gòu)邊界上簡(jiǎn)單點(diǎn),最終獲取單像素寬度的圖像骨架。每次細(xì)化存在并行的兩個(gè)圖像處理過程,一個(gè)是刪除東南邊界點(diǎn)和西北角點(diǎn),另外一個(gè)是刪除西北邊界點(diǎn)和東南角點(diǎn)。本文采用并行拓?fù)浼?xì)化算法[30]提取二值密度場(chǎng)的骨架。

假設(shè)一個(gè)像素點(diǎn)p1,它的8鄰域位置順序如圖1所示。在第一個(gè)圖像處理過程中,若p1的鄰域滿足下列4個(gè)條件,將它從圖像中刪除,即像素值被賦予0值。

(22)

圖1 像素點(diǎn)p1鄰域示意圖

其中:A(p1)為有序集合{p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9}中的01模式的數(shù)量;B(p1)為像素點(diǎn)p1的8鄰域中非0像素點(diǎn)的數(shù)量,即

B(p1)=p2+p3+…+p8+p9。

(23)

在式(22)中,條件(a)B(p1)≥2保證p1點(diǎn)不是端點(diǎn)或孤立點(diǎn),因?yàn)閯h除端點(diǎn)和孤立點(diǎn)是不合理的,B(p1)≤6保證p1點(diǎn)是一個(gè)邊界點(diǎn),而不是一個(gè)內(nèi)部點(diǎn);條件(b)A(p1)=1可以防止刪除位于骨架線端點(diǎn)之間的像素點(diǎn),可保證刪除當(dāng)前像素點(diǎn)后的連通性。若像素點(diǎn)p1的鄰域不滿足式(22)中的任一條件,則它得到保留。

在另一個(gè)圖像處理過程中,若p1的鄰域滿足下列4個(gè)條件,將它從圖像中刪除;若p1的鄰域不滿足下列任一條件,則它得到保留。

(24)

2.3 最小尺寸控制

(25)

如果迭代開始施加最小尺寸控制,可能會(huì)造成拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果出現(xiàn)早熟現(xiàn)象[21-22],從而不能獲得最優(yōu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為了避免這種現(xiàn)象出現(xiàn),當(dāng)單元物質(zhì)密度灰度比例Mnd≤15%時(shí),引入最小尺寸控制,Mnd表達(dá)式為:

(26)

3 考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

3.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

對(duì)于壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題,采用改進(jìn)的固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Material with Penalization, SIMP)[31-32]描述單元彈性模量與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系,其表示為

(27)

式中:Ee為單元e的彈性模量;ξ為懲罰系數(shù),ξ=3;E0為實(shí)體材料的彈性模量;Emin為空洞材料的彈性模量,Emin=10-6E0,以避免單元?jiǎng)偠染仃嚻娈悺?/p>

以壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)變能最小化和互應(yīng)變能最大化為優(yōu)化目標(biāo),將結(jié)構(gòu)體積和最小尺寸作為約束,建立考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型為

(Ⅰ)

Ap=0;

(Ⅱ)

KU=F=-Hp;

(Ⅲ)

KV=Fd;

(Ⅳ)

0≤ρe≤1 ,e=1,2,3…N。

(28)

3.2 靈敏度分析

采用基于梯度的移動(dòng)漸近線算法(Method of Moving Asymptotes,MMA)[30]求解壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,因此需要計(jì)算優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的靈敏度。

由式(28),目標(biāo)函數(shù)的靈敏度求解為

(29)

式中,λ1、λ2和λ3表示伴隨變量向量,分別表示為

(30)

將式(30)代入式(29),目標(biāo)函數(shù)靈敏度簡(jiǎn)化為

(31)

利用式(28)、式(29)和式(31),可求得

(32)

由式(28)中的約束(iv),求得體積約束的靈敏度為

(33)

由式(28)中的(Ⅳ)和式(25),求得最小尺寸約束的靈敏度為

(34)

3.3 優(yōu)化流程

考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法流程如下:

步驟1設(shè)計(jì)域網(wǎng)格離散化,初始化設(shè)計(jì)參數(shù);

步驟2進(jìn)行有限元分析,計(jì)算目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的靈敏度,采用密度過濾法修正單元密度;

步驟3通過密度投影獲取二值場(chǎng),并提取拓?fù)錁?gòu)型的骨架;

步驟4以最小控制尺寸dmin為直徑掃掠步驟3所獲取的骨架,確定最小尺寸控制域B(dmin);

步驟5根據(jù)灰度比例Mnd判斷是否需要引入最小尺寸控制,是則轉(zhuǎn)步驟6;反之,則轉(zhuǎn)步驟7;

步驟6比較單元密度場(chǎng)和最小尺寸控制域,對(duì)不滿足最小尺寸約束的區(qū)域填充材料,使機(jī)構(gòu)構(gòu)型滿足最小尺寸控制;

步驟7對(duì)單元密度場(chǎng)進(jìn)行Heaviside映射,獲得清晰的單元物質(zhì)密度場(chǎng);

步驟8采用MMA算法更新設(shè)計(jì)變量;

步驟9判斷是否滿足收斂條件,若滿足,結(jié)束運(yùn)行;反之,返回步驟2。

4 數(shù)值算例

本章考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法通過MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn),采用反向器和夾持器兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性。所有算例中,實(shí)體材料的彈性模量E0為3×109Pa,泊松比υ為0.4,作用流體壓力pin為1×105Pa,許用體積比g*為0.25,輸出彈簧剛度Kout為5×104Nm-1。

4.1 反向器

反向器設(shè)計(jì)域、邊界條件及輸入輸出作用如圖2所示,設(shè)計(jì)域的尺寸為L(zhǎng)×L=150 mm×150 mm,固定邊界為左上端和左下端,將右端中點(diǎn)設(shè)定為輸出端,左端面為流體壓力載荷作用邊界。考慮到反向器設(shè)計(jì)域?qū)ΨQ性,取設(shè)計(jì)域的上半部分進(jìn)行設(shè)計(jì)并離散為150×75個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元。

圖2 反向器設(shè)計(jì)域

(1) 有、無最小尺寸控制比較

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性,首先,進(jìn)行無最小尺寸控制的流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性反向器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化結(jié)果如圖3a所示,再次,取最小控制尺寸dmin=4進(jìn)行考慮最小尺寸控制的流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性反向器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化結(jié)果如圖3b所示,對(duì)應(yīng)的反向器骨架如圖4所示。由圖3a可知,無最小尺寸控制拓?fù)鋬?yōu)化獲得的流體壓力驅(qū)動(dòng)反向器結(jié)構(gòu)的最小特征尺寸較小,不易加工制造;且存在類鉸鏈結(jié)構(gòu),類鉸鏈導(dǎo)致應(yīng)力集中、甚至疲勞破壞。與無最小尺寸控制的優(yōu)化結(jié)果相比,考慮最小尺寸約束(dmin=4)的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的反向器拓?fù)錁?gòu)型有所不同,結(jié)構(gòu)最小特征尺寸很好地滿足約束,便于加工制造;并且類鉸鏈結(jié)構(gòu)得到有效地抑制,如圖3b所示。這表明提出的考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法是有效的。

圖3 有、無最小尺寸控制獲得的反向器拓?fù)錁?gòu)型

圖4 有、無最小尺寸控制獲得的反向器骨架

考慮最小尺寸控制的流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性反向器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)和體積比迭代曲線如圖5所示,優(yōu)化迭代初期出現(xiàn)振動(dòng),總體迭代過程平緩,經(jīng)過100次迭代,目標(biāo)函數(shù)和體積比趨于收斂。圖6表示反向器灰度圖像二值化的分割閾值迭代曲線,迭代過程中單元密度分布變化引起分割閾值不斷變化;當(dāng)?shù)諗繒r(shí),分割閾值穩(wěn)定于0.4353。與無尺寸約束優(yōu)化結(jié)果相比,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的目標(biāo)函數(shù)f值有一定程度上減小,如表1所示。

表1 有、無最小尺寸控制的反向器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖5 考慮最小尺寸控制的反向器拓?fù)鋬?yōu)化迭代歷程

圖6 分割閾值迭代過程(dmin=4)

(2) 不同最小控制尺寸

為了分析不同最小控制尺寸對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果影響規(guī)律,選取最小控制尺寸dmin分別為4.5,5.0,5.5,6.0進(jìn)行流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性反向器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),獲得反向器拓?fù)錁?gòu)型如圖7所示。隨著最小控制尺寸dmin增大,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的壓力驅(qū)動(dòng)反向器拓?fù)錁?gòu)型發(fā)生變化,反向器結(jié)構(gòu)的最小特征尺寸變得更大,均滿足最小尺寸控制,類鉸鏈結(jié)構(gòu)均得到有效抑制;且目標(biāo)函數(shù)f隨之減小,即互應(yīng)變能和應(yīng)變能比值逐漸減小,如表2所示。

表2 不同最小控制尺寸的反向器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖7 不同最小控制尺寸獲得的反向器拓?fù)錁?gòu)型(g*=0.25)

4.2 夾持器

圖8 夾持器設(shè)計(jì)域

(1)有、無最小尺寸控制

同樣,考慮有、無最小尺寸控制進(jìn)行流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性?shī)A持器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),拓?fù)錁?gòu)型及骨架分別如圖9和圖10所示。與無最小尺寸控制的優(yōu)化結(jié)果相比,考慮最小尺寸約束(dmin=4.5)的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的夾持器拓?fù)錁?gòu)型有所不同,結(jié)構(gòu)最小特征尺寸很好地滿足約束,便于加工制造;并且類鉸鏈結(jié)構(gòu)得到有效地抑制,如圖9所示。這也表明提出的考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法是有效的。

圖9 有、無最小尺寸控制的夾持器拓?fù)錁?gòu)型及骨架

圖10 有、無最小尺寸控制的夾持器骨架

考慮最小尺寸控制的流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性?shī)A持器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)和體積比迭代曲線如圖11所示,經(jīng)過100次迭代,目標(biāo)函數(shù)和體積比趨于收斂。圖12表示夾持器灰度圖像二值化的分割閾值迭代曲線,當(dāng)?shù)諗繒r(shí),分割閾值穩(wěn)定于0.4353。與無尺寸約束優(yōu)化結(jié)果相比,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的目標(biāo)函數(shù)f值有一定程度上減小,如表3所示。

表3 有、無最小尺寸控制的夾持器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖11 考慮最小尺寸控制的夾持器拓?fù)鋬?yōu)化迭代歷程(dmin=4.5)

圖12 分割閾值迭代過程(dmin=4.5)

(2) 不同最小控制尺寸

同樣地,為分析不同最小控制尺寸對(duì)夾持器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果影響規(guī)律,選取最小控制尺寸dmin分別為3.0,4.0,5.0,6.0進(jìn)行流體壓力驅(qū)動(dòng)柔性?shī)A持器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),獲得夾持器拓?fù)錁?gòu)型如圖13所示。隨著最小控制尺寸dmin增大,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的壓力驅(qū)動(dòng)夾持器拓?fù)錁?gòu)型發(fā)生明顯變化,夾持器結(jié)構(gòu)的最小特征尺寸變得更大,均滿足最小尺寸控制,類鉸鏈結(jié)構(gòu)均得到有效地抑制;且目標(biāo)函數(shù)f隨之減小,即互應(yīng)變能和應(yīng)變能比值逐漸減小,如表4所示。

表4 不同最小控制尺寸的夾持器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖13 不同最小控制尺寸獲得的夾持器器拓?fù)錁?gòu)型(g*=0.25)

5 結(jié)束語

本文采用達(dá)西定律結(jié)合排水項(xiàng)計(jì)算流體壓力載荷,利用Otsu算法和并行拓?fù)浼?xì)化算法提取柔順機(jī)構(gòu)的骨架特征,從而構(gòu)建最小特征尺寸控制,實(shí)現(xiàn)了考慮最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。與無最小尺寸控制的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果比較,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型有所不同,獲得的結(jié)構(gòu)最小特征尺寸滿足設(shè)計(jì)要求,且類鉸鏈結(jié)構(gòu)能得到有效抑制。在相同許用體積比條件下,隨著最小控制尺寸增加,考慮最小尺寸控制的拓?fù)鋬?yōu)化獲得的壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)型最小特征尺寸變得更大,均能滿足最小尺寸控制,但是互應(yīng)變能與應(yīng)變能比值逐漸減小。

本文所提方法有效地控制壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型的最小特征尺寸,獲得的機(jī)構(gòu)便于加工制造。本文基于線彈性理論進(jìn)行研究工作,但實(shí)際應(yīng)用中壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)有可能發(fā)生大變形,需要采用非線性有限元理論進(jìn)行建模。因此,如何考慮幾何非線性進(jìn)行壓力驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)有待進(jìn)一步研究。