徐清洪 楊 冰

(重慶市第八中學校 重慶 401120)

1 引言

微元法指將研究過程劃分成多個微小單元,微小單元依然遵循物理基本規(guī)律,當對時間、位移、轉角等物理量取微小單元時,部分相關物理量在微小單元內不會發(fā)生明顯變化,可以將其處理成定量[1].由于數學學習的階段性,很多需要應用到高等數學中微積分知識求解的物理問題成為高中階段的學生最大的“難題”.但是,如果通過“微元法”把研究對象劃分為無窮多個小部分,化變力為恒力,化曲線為直線,再從局部到整體就可以很好地解決學生的困難.下面我們列舉了高中階段3種類型問題,共同特點是采用微元法巧妙設置Δl、ΔT、Δθ,輕松地避開了繁雜的運算過程.

2 問題1:連接體加速度問題

【例1】如圖1所示,將質量為 2m 的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質量為 m 的小環(huán),小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為 d.現將小環(huán)從與定滑輪等高的 O 處由靜止釋放,A 處在 O 處正下方距離為 d 處,則下列說法正確的是 ( )

圖1 例1題圖

A.小環(huán)剛釋放時輕繩中的張力一定大于 2mg

C.小環(huán)下降速度最大時,輕繩中的張力一定等于 2mg

D.小環(huán)從O處開始能夠下降的最大高度為 4d

解法1：定量計算

判斷選項C正誤方法如下.

本題的難點在選項C判斷,部分學生會根據速度關聯得出小環(huán)速度最大時重物速度也最大,重物加速度為零,張力與重物重力平衡,為解決該疑惑,可設細線與桿之間夾角為θ,由關聯速度可知

v環(huán)cosθ=v物

上式兩邊對t求導

解法2：微元法

取環(huán)速度達到最大時附近一小段運動ABC,將其平均分為兩段,每段長為Δl,由于時間非常短這一小段運動可以近似處理成勻速運動,如圖2所示.AB段運動使定滑輪左側細線長度改變量Δx1=Δlcosθ1,BC段運動細線長度改變量Δx2=Δlcosθ2,由于θ1>θ2,有Δx2>Δx1,在小環(huán)勻速從A到B到C過程中,細線長度改變越來越快,物件在加速上升.

圖2 例1分析圖

據以上分析判斷結論為:小環(huán)速度最大時,小環(huán)加速度為零,而重物在加速上升,細線拉力大于2mg.

2 問題2:判斷液柱移動方向

【例2】兩個容器A、B用截面均勻的水平玻璃管相通,如圖3所示,A、B中所裝氣體溫度分別為10 ℃和20 ℃,水銀柱在管中央平衡,如果兩邊溫度都升高10 ℃,則水銀柱將( )

圖3 例2題圖

A.向左移動B.向右移動

C.不動D.無法確定

解法1：定量計算

假設溫度升高過程氣體體積不變,為等容變化,壓強與溫度成正比,有

pA=kATApB=kBTB

分析初始狀態(tài)有pA0=pB0,TA0kB,當兩邊氣體同時升高10 ℃,壓強變化Δp=kΔT,所以有ΔpA>ΔpB,經升溫后,末狀態(tài)A壓強大于B壓強,力學平衡被打破,液柱向B端移動.

解法2：微元法

初始狀態(tài),水銀柱在管中平衡左右兩邊氣態(tài)壓強相同均為p0,控制氣體體積不變,將氣體處理成理想氣體,p-T圖為過原點直線,如圖4所示.初始態(tài)左右氣體壓強一樣大,A溫度低于B溫度,A斜率大.兩邊都升高相同溫度,在圖像上以初始溫度值TA0、TB0為起點取相同溫度增量ΔT,A、B壓強增量關系為ΔpA>ΔpB,平衡打破,液柱向B側移動.

圖4 例2分析圖

3 問題3：2022年山東高考理綜卷第12題

圖5 例3題圖

判斷選項C、D的方法如下.

解法1：定量計算

圖6 例3分析圖

其中

對ε隨夾角變化函數式求導

其中θ=ωt.

解法2：微元法

從θ=0到θ=45°過程中,將線框旋入磁場過程均分成很多連續(xù)相等小段Δθ,由于線框勻速轉動,Δθ對應時間均為Δt,如圖7所示,取其中第n、n+1、n+2小段旋轉運動為例.

圖7 微元法分析圖

4 結束語

連接體加速度關聯問題、判斷液柱移動方向、判斷感應電動勢變化率變化情況,是高中學生學習過程中不可避免的幾個重點難題,本文在運動及變化過程中設置Δl、ΔT、Δθ,運用了微元法的思想,結合物理圖例圖像解決問題,巧妙、合理地避開了繁雜的運算過程,培養(yǎng)了學生物理科學思維的同時,提高學生分析問題、解決問題的能力.