鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

當(dāng)流體通過彎管時(shí),運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了改變,則動(dòng)量發(fā)生了改變,因此流體對彎管會(huì)產(chǎn)生作用力.只要推出彎管內(nèi)的流體受到合外力的公式,通過分析合外力,即可得到流體受到彎管作用力的關(guān)系式,那么根據(jù)牛頓第三定律可知流體對彎管的作用力關(guān)系式.下面首先推導(dǎo)彎管內(nèi)的流體受到合外力矢量的公式,然后用來解答兩道有關(guān)彎管內(nèi)的流體對彎管產(chǎn)生作用力的問題.

1 公式推導(dǎo)

如圖1(a)所示,液體在彎管內(nèi)穩(wěn)定流動(dòng),可視為理想流體.取橫截面a1和a2之間的液體作為研究對象,經(jīng)過很短時(shí)間Δt后,液體運(yùn)動(dòng)到橫截面b1和b2之間,如圖1(b)所示.

圖1 流體通過彎管時(shí)初、末狀態(tài)對比圖

在Δt時(shí)間內(nèi)研究對象的動(dòng)量增量等于b1b2段的總動(dòng)量減去a1a2段的總動(dòng)量.然而,對于穩(wěn)定流動(dòng),在橫截面b1和a2之間的液體各點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變,即b1a2段液體的總動(dòng)量保持不變,因此,研究對象在時(shí)間Δt內(nèi)動(dòng)量的增量等于出口處a2b2段的總動(dòng)量與入口處a1b1段的總動(dòng)量之差.這兩段液柱的長度都很短,因此可視為圓柱體,并且認(rèn)為每段內(nèi)部各點(diǎn)的流速相同,那么在Δt時(shí)間內(nèi)研究對象動(dòng)量的增量為

Δp=ρΔS2Δl2v2-ρΔS1Δl1v1

該研究對象可視為由液體微元組成的質(zhì)點(diǎn)組,若忽略研究對象受到的重力,則其受到的外力有3個(gè),即兩端受到其他部分液體的壓力以及背部受到管壁的壓力,如圖2所示.

圖2 對彎管內(nèi)整個(gè)流體受力分析

設(shè)在Δt內(nèi)外力的矢量和關(guān)于時(shí)間的平均值為F,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理有FΔt=Δp,可知

當(dāng)Δt→0時(shí)

而且平均力為瞬時(shí)值,則合外力的瞬時(shí)值為

F=ρΔS2v2v2-ρΔS1v1v1

根據(jù)不可壓縮流體的連續(xù)性,則流量為

Q=ΔS2v2=ΔS1v1

聯(lián)立方程可得

F=ρQ(v2-v1)

(1)

式(1)即為彎管內(nèi)的流體受到合外力矢量的公式.

合外力等于各外力的矢量和,即

F=F1+F2+F3

流體的質(zhì)量流率為

由此可知,若忽略彎管內(nèi)流體受到的重力以及兩端受到的壓力,則流體受到彎管的作用力矢量為

F3=ρQ(v2-v1)

若彎管粗細(xì)均勻,則流量為

可得

F3=ρSv(v2-v1)

根據(jù)牛頓第三定律可知,流體對彎管的作用力矢量為

F′3=-ρSv(v2-v1)

在上述推導(dǎo)過程中,關(guān)鍵是分析很短一段時(shí)間內(nèi)整體的動(dòng)量變化量.由于時(shí)間很短,則從入口流入的質(zhì)量與從出口流出的質(zhì)量都很小,這樣才能分別視為小圓柱體做勻速運(yùn)動(dòng),而且在它們之間的液體的動(dòng)量不隨時(shí)間而改變,因此,整體動(dòng)量的變化量等于很短時(shí)間內(nèi)流出液體的動(dòng)量與流入液體的動(dòng)量之差.把這種推導(dǎo)方法稱為流管法,是解決流體力學(xué)問題常用的方法[1].此外,在推導(dǎo)過程中,通過對時(shí)間取極限,可把平均值轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)值.

2 公式應(yīng)用

對于流體對彎管產(chǎn)生作用力的大小和方向,既可直接利用式(1)來求解,也可利用式(1)的推導(dǎo)方法即流管法來求解.

【例1】(武漢市2019屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試題第18題)運(yùn)動(dòng)員在水池上方做飛行表演,他操控的噴射式懸浮飛行器將軟水帶豎直送上來的水流反轉(zhuǎn)180°后從噴嘴豎直向下噴出,令自己懸浮在空中.已知運(yùn)動(dòng)員和裝備的總質(zhì)量為90 kg,兩個(gè)噴嘴的直徑均為10 cm,重力加速度g=10 m/s2,水的密度ρ=1×103kg/m3,則噴嘴處噴水的速度大約為( )

A.2.7 m/s B.5.4 m/s

C.7.6 m/s D.10.8 m/s

解析:為了使水流方向改變180°,每個(gè)噴嘴都連接一段彎管,而且彎管兩端開口豎直向下,那么水流在彎管兩端的速度方向相反,如圖3所示.

圖3 彎管改變水流方向

當(dāng)水流通過彎管時(shí),由于動(dòng)量方向發(fā)生了改變,因此對彎管產(chǎn)生豎直向上的彈力F.若裝備懸浮在空中,則受力平衡,可知2F=mg.

設(shè)水流的速度大小為v,以彎管內(nèi)的整個(gè)水柱為研究對象,可視為由液體微元組成的質(zhì)點(diǎn)組,在很短時(shí)間Δt內(nèi)水柱一端發(fā)生的位移Δx=vΔt,從總體效果來看,彎管內(nèi)整個(gè)水柱動(dòng)量的變化量等于出口處剛流出一小段水柱的動(dòng)量與入口處剛流入一小段水柱的動(dòng)量之差,而小水柱的質(zhì)量m0=ρSvΔt,以豎直向下為正方向,則彎管內(nèi)整個(gè)水柱的動(dòng)量變化量為

Δp=m0v2-(-m0v1)

對彎管內(nèi)整個(gè)水柱由動(dòng)量定理有

F′Δt=Δp

可得水柱受到管壁的作用力為

F=2ρSv2

聯(lián)立方程可得

代入數(shù)據(jù)得

v2≈30 m2/s2

由此知v≈5.4 m/s.選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是理解水流對噴射式懸浮飛行器產(chǎn)生作用力的原理,即水流通過彎管時(shí)對彎管產(chǎn)生作用力.需利用題中的信息“將軟水帶豎直送上來的水反轉(zhuǎn)180°后從噴嘴豎直向下噴出”來判斷水流方向的改變.此外,在推導(dǎo)動(dòng)量變化量時(shí)利用了流管法,即選擇彎管內(nèi)整個(gè)水柱為研究對象,在很短時(shí)間內(nèi),動(dòng)量的變化量只與這段時(shí)間內(nèi)在彎管出口處噴出的一段小水柱和入口處進(jìn)入的一段小水柱的動(dòng)量有關(guān),相當(dāng)于一小段水柱從彎管的入口處遷移到出口處,運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變,則動(dòng)量發(fā)生改變,對彎管產(chǎn)生作用力.

【例2】如圖4所示,用一個(gè)水平放置的90°彎管輸送水流,已知彎管兩端管徑分別為d1=150 mm,d2=75 mm,左端管口處的壓強(qiáng)p1=2.06×105Pa,流量Q=0.02 m3/s.求:水流對彎管的作用力大小和方向.

圖4 例2題圖

解析:水流在彎管入口與出口處的速率分別為

設(shè)彎管出口處的壓強(qiáng)為p2,取同一流線上在入口處與出口處的兩點(diǎn),根據(jù)伯努利方程可知

由此得

設(shè)彎管內(nèi)的水流受到彎管的作用力大小為F,利用式(1)分別在x軸與y軸方向列方程為

p1S1-Fx=ρQ(0-v1)

Fy-p2S1=ρQ(v2-0)

聯(lián)立方程可得水流受到彎管作用力的分力為

Fx=3 665 NFy=958 N

由勾股定理可知水流受到的彎管的作用力大小為F=3 786 N,起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的矢量位于第二象限,與x軸反方向的夾角為

由牛頓第三定律可知,水流對彎管的作用力大小F′=3 786 N,起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的矢量位于第四象限,與x軸正方向的夾角θ=14.66°.

點(diǎn)評:該題具有很強(qiáng)的綜合性,不僅利用流量公式推導(dǎo)流速,而且應(yīng)用伯努利方程推導(dǎo)壓強(qiáng).在對彎管內(nèi)的流體應(yīng)用動(dòng)量定理列方程時(shí),直接利用流體受到彎管的作用力矢量公式,但由于3個(gè)力的方向不在同一直線上,因此需利用正交分解法列方程,這樣便于計(jì)算彎管對水流產(chǎn)生作用力的大小和方向.

3 總結(jié)

綜上所述,解答有關(guān)液體通過彎管的動(dòng)力學(xué)問題可有兩種方法,即流管法與公式法.對彎管內(nèi)整個(gè)液體受到合外力矢量公式的推導(dǎo)方法非常巧妙,這種方法的特點(diǎn)是整體法中含有微元法,即選擇管道內(nèi)的流體整體作為研究對象,但運(yùn)動(dòng)過程是一小段時(shí)間,流體整體動(dòng)量的變化量與整體無關(guān),只與很短時(shí)間內(nèi)從管道兩端流入與流出的小段流體的動(dòng)量有關(guān);同理,管道內(nèi)流體整體動(dòng)能的變化量與整體無關(guān),只與很短時(shí)間內(nèi)從管道兩端流入與流出的小段流體的動(dòng)能有關(guān),這為解答有關(guān)流體動(dòng)力學(xué)問題提供了巧妙的思路和方法.