張利國 胡光濤
(北京交通大學附屬中學 北京 100081)
李 璐
(中國船舶集團有限公司綜合技術經(jīng)濟研究院 北京 100081)
【原題】如圖1所示,一根輕質(zhì)細桿的兩端分別固定著A、B兩只質(zhì)量均為m的小球,O點是一光滑水平軸,已知AO=r,BO=2r,使細桿從水平位置由靜止開始轉動,求當桿轉到豎直位置時A、B兩球的速度?
圖1 原題題圖
根據(jù)質(zhì)點系動能定理,有
(1)
vB=2vA
(2)
將式(1)、(2)聯(lián)立,解得
質(zhì)心C位于O點右側0.5r處,對質(zhì)心列動能定理方程有
(3)
由式(3)得
兩球角速度相同,根據(jù)線速度和角速度之間的關系式v=ωr,解得
兩種求解方式所求得vA、vB的值不同,這種質(zhì)心求解的方法錯在哪兒了?
我們把式(3)的右側再加上A、B兩球相對質(zhì)心的動能,換成下面的式子
(4)
其中ΔvA、ΔvB分別表示A、B兩球相對于質(zhì)心的速度,有
ΔvA=vA-vCΔvB=vB-vC
考慮到
代入式(4),解得
為什么修正之后得到vA、vB的值和常規(guī)解法相同呢?我們需要了解以下的概念和規(guī)律.
首先,我們需要明確什么是質(zhì)心,由質(zhì)心的定義[1],質(zhì)心C的位置矢量為
轉為速度的形式,有
變形,有
令vi-vC=Δvi,則有
(5)
其次,我們需要引入柯尼希定理,內(nèi)容為:質(zhì)點系的動能等于質(zhì)心動能與相對質(zhì)心運動的動能之和.證明過程如下.
由于C為質(zhì)心,由式(5)知各質(zhì)元相對質(zhì)心C的動量增量矢量和為零,即有
得證
到此為止,已經(jīng)可以解釋我們?yōu)槭裁匆诘仁接覀燃由螦、B兩球相對質(zhì)心的動能.似乎問題解決了,但學生又提出了新問題:難道不存在質(zhì)心動能定理嗎?
根據(jù)質(zhì)點系質(zhì)心運動定理,有
等式兩邊點乘質(zhì)心位移drC,有[2]
可見,質(zhì)心動能定理是成立的.
學生們用的就是質(zhì)心動能定理,式(3)錯在哪兒呢?
式(3)錯在求合外力在質(zhì)心位移上的功時,僅僅考慮了重力做功,外力考慮不全.如果把A、B兩球看成系統(tǒng),除了考慮重力外,還需要考慮桿對質(zhì)點系的合力是否為零;如果把桿與A、B兩球看成系統(tǒng),則還需要考慮轉軸對系統(tǒng)的合力做功.
我們應在左側加上除重力之外的力在質(zhì)心位移上做功,把式(3)改為
(6)
在應用質(zhì)點系動能定理列式(1)時,為什么沒有考慮桿對質(zhì)點系做功?
如圖2所示,取轉動過程中的任意一段極短時間Δt,設桿對A、B兩球的切向分力分別為FA、FB,設時間Δt內(nèi)A、B兩球轉過的弧長分別為lA、lB.
圖2 小球在重力和桿的切向分力作用下轉動
對輕桿在任意時刻均有力矩平衡,即
FArA=FBrB
桿對A球做功
WA=FAlA=FArAωΔt
桿對B球做功
WB=-FBlB=-FBrBωΔt
考慮到兩球角速度ω相同,可知桿對A、B兩球做功代數(shù)和為零,可見在任意一段極短時間Δt內(nèi),只有重力對質(zhì)點系做功,桿對A、B兩球組成的質(zhì)點系不做功.
I=5mr2
mg·2rcosθ-mgrcosθ=5mr2β
兩球角加速度相同,利用切向加速度和角加速度之間的關系式a=βr,解得
利用牛頓第二定律對A、B兩球在切向上列方程,有
FA-mgcosθ=maA
mgcosθ-FB=maB
解得
方向均垂直于桿向上.
WA+WB=0
桿對A、B兩球組成的質(zhì)點系不做功,這就是我們在式(1)中僅考慮重力做功的原因.
這就是我們在式(6)中需要考慮除重力之外的力做功的原因.
有些學生會好奇,為什么我們只考慮切向分力,而不考慮法向分力,是因為無論對小球,還是對質(zhì)心,法向分力均不做功.
在應用動能定理時,要把研究對象區(qū)分為質(zhì)點和質(zhì)點系,要考慮到動能定理分為質(zhì)點動能定理、質(zhì)點系動能定理、質(zhì)心動能定理和相對動能定理,其關系如表1所示.對質(zhì)點系列動能定理方程的時候,不僅要考慮到內(nèi)力做功的問題,還要全面考慮到所有外力做功.如果進一步擴展的話,我們會發(fā)現(xiàn),牛頓定律、動量定理也要做類似區(qū)分.
表1 各動能定理與對應的功