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        對一個常見球桿模型的課堂討論

        2024-04-09 12:38:34張利國胡光濤
        物理通報 2024年4期

        張利國 胡光濤

        (北京交通大學附屬中學 北京 100081)

        李 璐

        (中國船舶集團有限公司綜合技術經(jīng)濟研究院 北京 100081)

        1 問題的提出

        【原題】如圖1所示,一根輕質(zhì)細桿的兩端分別固定著A、B兩只質(zhì)量均為m的小球,O點是一光滑水平軸,已知AO=r,BO=2r,使細桿從水平位置由靜止開始轉動,求當桿轉到豎直位置時A、B兩球的速度?

        圖1 原題題圖

        1.1 常規(guī)解法

        根據(jù)質(zhì)點系動能定理,有

        (1)

        vB=2vA

        (2)

        將式(1)、(2)聯(lián)立,解得

        1.2 學生提出了質(zhì)心解法

        質(zhì)心C位于O點右側0.5r處,對質(zhì)心列動能定理方程有

        (3)

        由式(3)得

        兩球角速度相同,根據(jù)線速度和角速度之間的關系式v=ωr,解得

        兩種求解方式所求得vA、vB的值不同,這種質(zhì)心求解的方法錯在哪兒了?

        2 問題的解決

        2.1 對學生提出的質(zhì)心解法進行修正

        我們把式(3)的右側再加上A、B兩球相對質(zhì)心的動能,換成下面的式子

        (4)

        其中ΔvA、ΔvB分別表示A、B兩球相對于質(zhì)心的速度,有

        ΔvA=vA-vCΔvB=vB-vC

        考慮到

        代入式(4),解得

        為什么修正之后得到vA、vB的值和常規(guī)解法相同呢?我們需要了解以下的概念和規(guī)律.

        2.2 對修正的解釋

        首先,我們需要明確什么是質(zhì)心,由質(zhì)心的定義[1],質(zhì)心C的位置矢量為

        轉為速度的形式,有

        變形,有

        令vi-vC=Δvi,則有

        (5)

        其次,我們需要引入柯尼希定理,內(nèi)容為:質(zhì)點系的動能等于質(zhì)心動能與相對質(zhì)心運動的動能之和.證明過程如下.

        由于C為質(zhì)心,由式(5)知各質(zhì)元相對質(zhì)心C的動量增量矢量和為零,即有

        得證

        到此為止,已經(jīng)可以解釋我們?yōu)槭裁匆诘仁接覀燃由螦、B兩球相對質(zhì)心的動能.似乎問題解決了,但學生又提出了新問題:難道不存在質(zhì)心動能定理嗎?

        3 問題的引申

        3.1 質(zhì)心動能定理的推導

        根據(jù)質(zhì)點系質(zhì)心運動定理,有

        等式兩邊點乘質(zhì)心位移drC,有[2]

        可見,質(zhì)心動能定理是成立的.

        學生們用的就是質(zhì)心動能定理,式(3)錯在哪兒呢?

        式(3)錯在求合外力在質(zhì)心位移上的功時,僅僅考慮了重力做功,外力考慮不全.如果把A、B兩球看成系統(tǒng),除了考慮重力外,還需要考慮桿對質(zhì)點系的合力是否為零;如果把桿與A、B兩球看成系統(tǒng),則還需要考慮轉軸對系統(tǒng)的合力做功.

        我們應在左側加上除重力之外的力在質(zhì)心位移上做功,把式(3)改為

        (6)

        3.2 應用質(zhì)點系動能定理求解

        在應用質(zhì)點系動能定理列式(1)時,為什么沒有考慮桿對質(zhì)點系做功?

        如圖2所示,取轉動過程中的任意一段極短時間Δt,設桿對A、B兩球的切向分力分別為FA、FB,設時間Δt內(nèi)A、B兩球轉過的弧長分別為lA、lB.

        圖2 小球在重力和桿的切向分力作用下轉動

        對輕桿在任意時刻均有力矩平衡,即

        FArA=FBrB

        桿對A球做功

        WA=FAlA=FArAωΔt

        桿對B球做功

        WB=-FBlB=-FBrBωΔt

        考慮到兩球角速度ω相同,可知桿對A、B兩球做功代數(shù)和為零,可見在任意一段極短時間Δt內(nèi),只有重力對質(zhì)點系做功,桿對A、B兩球組成的質(zhì)點系不做功.

        4 問題的深入

        4.1 桿對兩球的切向力

        I=5mr2

        mg·2rcosθ-mgrcosθ=5mr2β

        兩球角加速度相同,利用切向加速度和角加速度之間的關系式a=βr,解得

        利用牛頓第二定律對A、B兩球在切向上列方程,有

        FA-mgcosθ=maA

        mgcosθ-FB=maB

        解得

        方向均垂直于桿向上.

        4.2 桿對兩球做功情況

        WA+WB=0

        桿對A、B兩球組成的質(zhì)點系不做功,這就是我們在式(1)中僅考慮重力做功的原因.

        4.3 桿對兩球的質(zhì)心做功情況

        這就是我們在式(6)中需要考慮除重力之外的力做功的原因.

        有些學生會好奇,為什么我們只考慮切向分力,而不考慮法向分力,是因為無論對小球,還是對質(zhì)心,法向分力均不做功.

        在應用動能定理時,要把研究對象區(qū)分為質(zhì)點和質(zhì)點系,要考慮到動能定理分為質(zhì)點動能定理、質(zhì)點系動能定理、質(zhì)心動能定理和相對動能定理,其關系如表1所示.對質(zhì)點系列動能定理方程的時候,不僅要考慮到內(nèi)力做功的問題,還要全面考慮到所有外力做功.如果進一步擴展的話,我們會發(fā)現(xiàn),牛頓定律、動量定理也要做類似區(qū)分.

        表1 各動能定理與對應的功

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