李俊峰，徐向波，陳 劭，王獻章，付 磊，朱亞輝

（北京林業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，北京 100083）

1 引言

主動磁軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）是旋轉(zhuǎn)機械中的一種新型支承結(jié)構(gòu)。AMB 具有許多優(yōu)點，如無接觸，噪聲小，主動可控性［1-4］。AMB 已經(jīng)廣泛應(yīng)用于許多實際應(yīng)用領(lǐng)域，如真空技術(shù)、渦輪分子泵和儲能飛輪［5-7］。振動是旋轉(zhuǎn)機械中常見的問題，AMB 剛度可控，產(chǎn)生主動控制力可以抑制振動。

AMB 中有兩個主要的振動源：轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡和傳感器跳動，質(zhì)量不平衡引起的振動力與轉(zhuǎn)速的平方成正比，是旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)振動的主要來源［8］。當(dāng)轉(zhuǎn)子的慣性主軸與幾何軸線不重合時，離心力將激發(fā)出與旋轉(zhuǎn)頻率相同的振動［9］。另一個振動源是傳感器跳動，它是由轉(zhuǎn)子傳感表面的不均勻特性引起的，導(dǎo)致諧波干擾［10］。同頻干擾和諧波干擾會在控制電流中引入不需要的諧波分量，從而產(chǎn)生傳遞到外殼的諧波振動力［11］。振動會降低旋轉(zhuǎn)操作的質(zhì)量，甚至導(dǎo)致AMB 系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，抑制振動有助于提高AMB 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度，具有重要意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者抑制不平衡振動的方法主要有兩種。一種是不平衡補償，轉(zhuǎn)子繞幾何軸旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)最小位移補償；另一種是自動平衡控制，轉(zhuǎn)子繞慣性軸或近似慣性軸旋轉(zhuǎn)，使轉(zhuǎn)子沒有不平衡力輸出［12］。針對AMB 剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中不平衡質(zhì)量引起的同頻振動。Herzog［13］引入通用陷波濾波器方法，該方法在傳統(tǒng)的陷波器環(huán)路中插入一個傳遞矩陣消除同頻電流，并改善系統(tǒng)穩(wěn)定性，為減少運算量，通用陷波器可轉(zhuǎn)變?yōu)橄嘁葡莶ㄆ?。Zheng［14］研究了陷波器連接到原始控制器上并聯(lián)和串聯(lián)模式下的影響，發(fā)現(xiàn)并聯(lián)模式具有更深和更快的收斂性。Cui［15］利用X方向和Y方向位移傳感器輸出信號的正交特性，提出了一種基于多同頻旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的控制算法，以抑制同頻振動。這些研究主要針對自動平衡控制。為了進一步提高振動力的抑制精度，必須對同頻位移剛度力進行補償。徐［16］使用相移陷波器辨識同頻位移消除同頻電流，并構(gòu)建前饋控制器抑制同頻位移剛度力。Li［17］提出了一種雙通道自適應(yīng)最小均方誤差算法，應(yīng)用前饋校正來自適應(yīng)地補償由于質(zhì)量不平衡引起的殘余位移剛度。然而上述研究沒有考慮傳感器跳動的影響，將降低同頻信號的辨識精度。

由于傳感器跳動，位移傳感器的輸出信號會疊加多個諧波分量，并通過控制器產(chǎn)生電流剛度力。He［18］提出采用級聯(lián)模式相移陷波器來減少AMB 控制系統(tǒng)諧波電流。Xu［19］采用重復(fù)控制的方法抑制了磁懸浮飛輪系統(tǒng)的諧波電流。文獻［20］在運用頻域自適應(yīng) LMS 算法抑制諧波電流的同時，還利用陷波器來消除同頻振動力，最終實現(xiàn)了諧波振動力的有效抑制，但僅進行了仿真驗證，且LMS 算法的計算量隨諧波數(shù)的增加而增大。

本文提出一種復(fù)合控制方法，通過重復(fù)控制方法抑制傳感器跳動引起的諧波振動，利用可變相位的自適應(yīng)陷波濾波器辨識轉(zhuǎn)子不平衡引起的同頻信號并自適應(yīng)補償不平衡，并對同頻位移剛度進行補償，通過改變不同頻率下的相位角來保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，達到同時抑制質(zhì)量不平衡和傳感器跳動產(chǎn)生的諧波振動的目的。分析了所提方法的穩(wěn)定性。仿真及實驗結(jié)果驗證了復(fù)合控制方法的有效性。

2 具有質(zhì)量不平衡和傳感器跳動的磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。兩個徑向平移自由度由AMB 控制。N為定子幾何中心，O為轉(zhuǎn)子幾何中心，C為轉(zhuǎn)子質(zhì)量中心。以N為原點建立慣性坐標(biāo)NXY。以O(shè)為原點，建立轉(zhuǎn)速為Ω時的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)Oξη。坐標(biāo)系的示意圖如圖2所示。

圖1 AMB 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of an AMB rotor system

圖2 坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Schematic diagram of a coordinate a system

對于AMB 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子的平移自由度沿X軸和Y軸?？紤]到X和Y方向的對稱性，不失一般性，轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中Y方向比X方向相位滯后90°，以X方向為例，根據(jù)牛頓第二定律，徑向自由度運動方程可表示為：

其中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，fx為X方向的電磁力，fi為不平衡力。

在平衡點處，磁懸浮系統(tǒng)中的非線性電磁力可被線性化表示為［21］：

其中：kx和ki分別為位移剛度和電流剛度，ix為控制電流。

轉(zhuǎn)子不平衡表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子幾何中心O與質(zhì)心C的不一致，以Ω的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)，使得轉(zhuǎn)子不平衡引起同頻擾動，不平衡力fi可以表示為：

其中：e為不平衡系數(shù)，Ω為轉(zhuǎn)速，φ為不平衡質(zhì)量的初始相位。

具有質(zhì)量平衡的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心位移為：

其中：x(t)為幾何中心的位移，fd(t)表示質(zhì)量不平衡引起的擾動。

受材料不均勻和位移傳感器檢測表面圓度誤差的影響，位移傳感器的輸出信號會引入倍于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的諧波噪聲，即傳感器跳動［22］。對于有傳感器跳動的AMB 系統(tǒng)，無法獲得轉(zhuǎn)子幾何中心的真實位置。位移傳感器輸出信號可表示為：

式中xsr(t)為傳感器跳動，可表示為［11］：

其中：ci為傳感器跳動幅度，θi為初始相位，i為諧波數(shù)（i=1，2，…，n）。

具有質(zhì)量不平衡和傳感器跳動的AMB 轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)框圖如圖3 所示，其中Gc(s)為原系統(tǒng)的比例-積分-微分控制器，Gw(s)為功率放大器，P(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，R(s)是參考信號。kad和ks分別是采樣和位移傳感器的系數(shù)。

圖3 具有質(zhì)量不平衡和傳感器跳動的AMB 轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Schematic diagram of an AMB rotor system with mass imbalance and sensor runout

根據(jù)控制框圖，以fd(s)和xsr(s)為輸入，ix為輸出，得到如下表達式：

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程可以公式化為：

由式（8）可知，質(zhì)量不平衡引起的同頻振動力包含兩個部分，該振動力包含與kx相關(guān)的位移剛度力和與ki相關(guān)的同頻電流剛度力，而位移傳感器跳動通過傳感器反饋進入系統(tǒng)產(chǎn)生諧波電流，進而產(chǎn)生諧波振動力。

3 抑制振動的復(fù)合控制方法

3.1 復(fù)合控制方法概述

本研究首先采用重復(fù)控制的方法來抑制由傳感器和不平衡引起的諧波振動。然后，采用帶相位角的自適應(yīng)陷波濾波器在線提取同頻信號自適應(yīng)補償不平衡，并對同頻位移剛度進行補償，通過改變不同頻率下的相位角來保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

根據(jù)控制框圖，為了分析方便，記Gp(s)=ki P(s)/[1-kx P(s)]，Kas=kskad，干擾輸入D(s)=fd(s)+xsr(s)。復(fù)合控制方法的AMB 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)諧波振動抑制框圖如圖4 所示。

圖4 采用復(fù)合方法的AMB 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制框圖Fig.4 Control block diagram of an AMB rotor system with compound method

圖5 重復(fù)控制器Grc(s)框圖Fig.5 Block diagram of the repetition controller Grc(s)

這里Grc(s)為重復(fù)控制器，信號引入點為功放輸出電流ix，插入點為功放正向控制信號，以降低功放對系統(tǒng)的影響。GANF(s)為自適應(yīng)相移濾波器，其信號引入點為Gc(s)的輸入信號，得到系統(tǒng)的同頻信號自適應(yīng)補償不平衡。Gcm(s)為位移剛度補償模塊，對同頻位移剛度進行補償，實現(xiàn)同頻振動力的抑制。最后通過復(fù)合控制方法實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)諧波振動抑制。的相位特性，相位補償器Gf(s)由兩部分組成，分別采用G1(s)和G2(s)對系統(tǒng)的低頻和中頻相位進行補償［19］?？梢悦枋鰹椋?/p>

重復(fù)控制器傳遞函數(shù)如下：

以干擾D(s)為輸入，電流ix為輸出，加入重復(fù)控制器后的傳遞函數(shù)為：

將式（10）代入式（11），整理可得：

當(dāng)s=jkΩ，k=1，2，3，…，時=1，則電流ix→0。因此，該方法可以有效抑制諧波電流。

由于殘余位移剛度力的存在，在上述穩(wěn)定系統(tǒng)中引入GANF(s)辨識轉(zhuǎn)子不平衡引起的同頻信號自適應(yīng)補償不平衡，并對同頻位移剛度進行補償。為便于分析，定義：

GANF(s)原理框圖如圖6 所示，表達式為［23］：

其中：θ為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的相位角，ε為收斂因子，u1和u2兩個信號作為輸入，由位移傳感器檢測后獲得的徑向位移信號，狀態(tài)變量x1和x2為輸入信號u1，u2的估計值。

加入自適應(yīng)陷波器后，干擾信號D(s)到輸出電流ix的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)可表示為：

當(dāng)s=jΩ，ε≠0 時，存在ix(jΩ)=0。因此，當(dāng)頻率與轉(zhuǎn)速同頻時，同頻電流能被有效抑制。由式（8）可知抑制同頻電流并不能完全消除同頻振動力，還需進一步補償位移剛度力。在系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上增加位移剛度補償模塊Gcm(s)，實現(xiàn)同頻振動力的抑制。Gcm(s)原理框圖如圖7 所示，其中ε1為補償系數(shù)。

由圖3 控制系統(tǒng)框圖可知反饋進入控制器的位移rx可以表示為：

由式（3）和式（6）可知，轉(zhuǎn)子不平衡引起同頻擾動，傳感器誤差引起諧波擾動，因此有如下關(guān)系：

故反饋信號中各諧波成分可表示為：

由圖4 和圖7 可知：

由式（15）、式（22）、式（23）和式（24）整理可得：

由于傳感器跳動帶來的同頻擾動疊加在轉(zhuǎn)子不平衡所導(dǎo)致的同頻位移信號中，但不產(chǎn)生同頻位移剛度力。所以抑制諧波振動力需要將傳感器跳動帶來的同頻擾動識別出來，使xsr(jΩ)=0，此時進入控制器的同頻信號為轉(zhuǎn)子的真實同頻位移信號。當(dāng)ε≠0 時，控制電流中各諧波成分表示為：

抑制所有諧波振動力：

3.3 復(fù)合控制方法的穩(wěn)定性分析

為便于表達，定義［24］：

式（28）和Gf(s)可以分別表述為：

重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性需滿足以下條件：

其中，γ由三部分組成：S0(s)產(chǎn)生的θa(ω)，Gf(s)產(chǎn)生的θb(ω)和時間延遲元件eT1s產(chǎn)生的T1ω。且γ=θa(ω)+θb(ω)+T1ω。

加入自適應(yīng)陷波器后，由式（16）可知特征方程為：

在加入重復(fù)控制器后系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，特征方程可簡化為：

當(dāng)ε=0時，存在s=±jΩ。將ε作為自變量，s作為因變量，對式（34）在ε=0，s=jΩ處求偏導(dǎo)得到：

要想加入算法后的系統(tǒng)閉環(huán)特征函數(shù)的根都在復(fù)平面的左半平面，須滿足條件：

在上述系統(tǒng)穩(wěn)定前提下，加入同頻位移剛度補償后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

式（37）的特征方程為：

將式（25）代入式（38）后可簡化為：

當(dāng)ε1=0 時，存在s=±jΩ。將ε1作為自變量，s作為因變量，對式（39）在ε1=0，s=jΩ處求偏導(dǎo)，得到：

要想加入算法后的系統(tǒng)閉環(huán)特征函數(shù)的根都在復(fù)平面的左半平面，須滿足條件：

綜上所述，通過選擇合適的參數(shù)，使式（31）、式（32）、式（36）和式（41）同時被滿足，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

根據(jù)圖8（a）相位補償前曲線和參考文獻［19］設(shè)計相位補償器為：

當(dāng)N1=4 時，經(jīng)相位補償后Gf(s)S0(s)eT1s相頻圖如圖8（a）補償后曲線所示，可以看出相位范圍γ∈(139.4°，250.1°)，滿足式（31）相位穩(wěn)定性條件。根據(jù)γ的范圍，我們可以得出min|cosγ|=0.342，Kb(s)L(s)的幅頻計算可以得到max {Kb(ω)L(ω)}=1.6，最后根據(jù)式（32）條件，Krc應(yīng)滿足：

在設(shè)計自適應(yīng)陷波器相位補償參數(shù)時，考慮了包括重復(fù)控制器在內(nèi)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)相位補償前后的相圖如圖8（b）所示，為了滿足式（36）中穩(wěn)定條件的要求，當(dāng)Ω＞700 rad/s 需要相位補償，相位補償為170°。在設(shè)計位移剛度力補償參數(shù)時，考慮了包括重復(fù)控制器和自適應(yīng)陷波器在內(nèi)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性，S2(s)的相頻曲線如圖 8（c）所示，滿足式（41）的穩(wěn)定性條件。

4 仿真與實驗結(jié)果

為驗證所提出的控制方法的有效性，使用MATLAB 進行了仿真分析，并使用高速磁懸浮電機實驗平臺進行了實驗，實驗平臺如圖9 所示。所提出的控制算法在基于TMS320F28377D 的控制器中實現(xiàn)，采樣和控制頻率為10 kHz。仿真和實驗中使用的參數(shù)均列于表1 中。量明變。入文提方后動的波量到效制驗了方的效。據(jù)流感和移感的量通式2可算動，對進FT處。

表1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameter of magnetically suspended rotor

圖9 磁懸浮電機實驗系統(tǒng)Fig.9 Experiment system of magnetically suspended rotor

圖10 為轉(zhuǎn)速200 Hz 時控制電流ix和振動力fx的FFT 的仿真結(jié)果，圖10（a）為在沒有使用振動抑制方法的情況下，電流ix的一次、三次和五次諧波分量非常明顯，分別為-14.8 dB，-28.6 dB 和-33.3 dB，加入重復(fù)控制方法后，如圖10（b）所示，諧波分量分別被抑制到-40.7 dB，-49.8 dB 和-53.3 dB，諧波電流得到有效抑制，振動力的一次、三次和五次諧波分量分別由-15.9 dB，-23.3 dB 和-29.1 dB 降低到-25.4 dB，-49.1 dB 和-48.5 dB，三次和五次諧波分量顯著降低，但由于同頻位移剛度力的存在，一次諧波分量仍然明顯。加入本文所提算法后，如圖10（c）所示，電流的一次諧波分量增加到-22.1 dB，但仍小于未使用振動抑制方法時一次諧波分量，增加的部分用于補償同頻位移剛度力，同時振動力的一次諧波分量顯著降低，其他諧波分無顯化加本所出法振力諧分得有抑，證該法有性

圖10 轉(zhuǎn)速200 Hz時算法抑制前后ix和fx的FFT仿真結(jié)果Fig.10 FFT simulation results of ix and fx before and after algorithm suppression when the speed is 200 Hz

圖11 轉(zhuǎn)速200 Hz 時算法抑制前后ix和fx 的FFT 實驗結(jié)果Fig.11 FFT experimental results of ix and fx before and after algorithm suppression when the speed is 200 Hz

根電傳器位傳器測，過（）計振力并其行F 理圖250 Hz 時進行實驗，表2 為轉(zhuǎn)速200 Hz 時算法抑制前后fx的FFT 實驗結(jié)果，表3 為轉(zhuǎn)速250 Hz 時算法抑制前后fx的FFT 實驗效果。由表2 和表3實驗數(shù)據(jù)對比可知，抑制效果近似一致，故僅在表3 列出了轉(zhuǎn)速為250 Hz 時振動力fx的FFT 實驗數(shù)據(jù)，也驗證了本文所提方法的有效性。

表2 轉(zhuǎn)速200 Hz 時算法抑制前后fx 的FFT 實驗結(jié)果Tab.2 FFT experimental results of fx before and after algorithm suppression when the speed is 200 Hz（dB）

表3 轉(zhuǎn)速250 Hz 時算法抑制前后fx 的FFT 實驗結(jié)果Tab.3 FFT experimental results of fx before and after algorithm suppression when the speed is 250 Hz（dB）

5 結(jié)論

在本研究中，通過建立磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析了質(zhì)量不平衡和傳感器跳動產(chǎn)生的振動機理，提出了基于重復(fù)控制和可變相位自適應(yīng)陷波反饋的同頻位移剛度補償?shù)膹?fù)合控制方法，然后以X方向為例分析，設(shè)計了插入式重復(fù)控制器和可變相位自適應(yīng)陷波反饋的諧波振動抑制的復(fù)合控制方法，計算了該方法的參數(shù)并分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后對所提出的方法進行了仿真和實驗。實驗結(jié)果表明：采用該算法后，一次、三次和五次諧波振動分別減少94.4%，90.4%和85.9%。諧波振動得到了有效抑制，驗證了所提出的復(fù)合控制方法對諧波振動抑制的有效性。本文所提算法可應(yīng)用于鼓風(fēng)機、壓縮機、分子泵等恒速運行的磁懸浮高速電機，也可擴展至更高的轉(zhuǎn)速范圍。