吳志淵，趙林川，顏格，胡海峰，楊志勃，張文明，*

1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240

2.國防科技大學(xué) 裝備綜合保障國防科技重點實驗室，長沙 410075

3.西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049

葉片是航空發(fā)動機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、壓縮機(jī)等動力設(shè)備的核心部件之一，直接承擔(dān)能量的轉(zhuǎn)換和傳遞［1］。葉片長期在極端惡劣的條件下運(yùn)行，容易引發(fā)葉片故障［2］。軸系振動產(chǎn)生的機(jī)械載荷、氣流引起的氣動載荷，使葉片發(fā)生振動導(dǎo)致高周疲勞［3］。此外，葉片低周疲勞及外物損傷同樣容易導(dǎo)致葉片產(chǎn)生初始裂紋進(jìn)而縮短壽命，嚴(yán)重影響了航空發(fā)動機(jī)的安全性和可靠性［4-5］。深入了解裂紋葉片的動力學(xué)行為，有助于開發(fā)一種有效、可靠的葉片裂紋故障監(jiān)測技術(shù)［6］。當(dāng)前，基于應(yīng)變計的接觸式葉片振動測量技術(shù)受到安裝方式及信號傳輸?shù)南拗疲荒鼙O(jiān)測少數(shù)葉片的少數(shù)測點；然而，基于葉尖定時的非接觸式葉片振動測試技術(shù)通過機(jī)匣上少數(shù)的傳感器，可以在線監(jiān)測全級所有葉尖的振動信息，已經(jīng)成為葉片健康檢測的重要發(fā)展方向［7-8］。因此，研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中裂紋葉片葉尖的振動特性，對航空發(fā)動機(jī)安全運(yùn)行及健康檢測具有重要的理論和工程價值。

大量學(xué)者基于集中參數(shù)模型、連續(xù)體模型、有限元模型對裂紋葉片進(jìn)行了研究。Xu 等［9］提出了一種單自由度模型，并利用振動功率流分析了呼吸裂紋的非線性行為，結(jié)果表明振動功率流對較小的呼吸裂紋比基于位移的振動分析更加敏感。Xie 等［10］通過判斷拉伸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的關(guān)系，提出了考慮裂紋呼吸效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)葉片動力學(xué)模型。Yang 等［11］在Xie 等的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了旋轉(zhuǎn)葉片的科氏力效應(yīng)，并基于斷裂力學(xué)理論修正了呼吸裂紋的呼吸函數(shù)。Zeng 等［3］基于有限元方法和接觸理論研究了某透平葉片在升速過程中的非線性行為。為了提高有限元模型的計算效率，Liu 和Jiang 等［12］開發(fā)了六面體裂紋單元模擬裂紋呼吸效應(yīng)；Zhao 等［13］開發(fā)了裂紋梁單元模型，并基于振動過程中的閉合區(qū)域?qū)崿F(xiàn)了扭型裂紋葉片的呼吸效應(yīng)。

上述研究以單裂紋葉片結(jié)構(gòu)為主，然而裂紋葉片會導(dǎo)致葉盤結(jié)構(gòu)出現(xiàn)模態(tài)局部化現(xiàn)象［14］，越來越多的學(xué)者關(guān)注裂紋葉片與葉盤之間的影響。基于Euler-Bernoulli 梁理論和應(yīng)變釋放能，Huang 和Huang［14］提出了耦合的周期葉盤模型，并針對裂紋葉片導(dǎo)致葉盤出現(xiàn)模態(tài)局部化現(xiàn)象進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。Kuang 等［15］、Huang［16］基于Hamiltons 原理和Galerkins 方法，對扭型葉片-剛性輪盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行了建模，并分析了葉片裂紋導(dǎo)致的模態(tài)局部化現(xiàn)象。Jung 等［17］采用混合界面的模態(tài)綜合法對含裂紋葉片的葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行了降維，并利用時頻域交替法提高了計算效率。

由于葉盤安裝在轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)軸的剛度無法忽略，而且越來越多的學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)軸彎曲、轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)、輪盤橫向位移、葉片彎曲存在耦合［18-19］。然而，現(xiàn)有的轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片模型中，大多關(guān)注軸系故障及葉片碰摩故障［20］。轉(zhuǎn)軸、輪盤、葉片間復(fù)雜的耦合機(jī)制，導(dǎo)致現(xiàn)有葉片裂紋的研究以單葉片、葉盤結(jié)構(gòu)為主，針對轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片耦合系統(tǒng)的研究較少。 Chiu 和Huang［6］建立了5 葉片的轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片模型，并研究了裂紋葉片對系統(tǒng)固有特性的影響。Yang 等［5］建立了含裂紋葉片的轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片動力學(xué)模型，并分析了裂紋呼吸效應(yīng)對轉(zhuǎn)軸彎曲、扭轉(zhuǎn)振動的影響。

綜上可知，現(xiàn)有研究大多關(guān)注含裂紋的單葉片結(jié)構(gòu)或者含裂紋葉片的葉盤結(jié)構(gòu)，針對轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)的較少，且研究主要集中在裂紋對耦合系統(tǒng)固有頻率和振型的影響。因此，亟需開展考慮多源激勵下耦合系統(tǒng)中裂紋葉片葉尖振動特性的研究。本文基于有限元方法，采用梁單元模擬轉(zhuǎn)軸；基于假設(shè)模態(tài)方法，采用Kirchhoff 板和Timoshenko 梁模擬輪盤和葉片；基于釋放應(yīng)變能確定呼吸裂紋導(dǎo)致的時變損失剛度，建立轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型；通過對比固有特性、振動響應(yīng)，驗證本文模型的有效性和準(zhǔn)確性，剖析重力載荷、轉(zhuǎn)子不平衡力、葉片氣動載荷對裂紋葉片葉尖振動特性的影響；分析、總結(jié)裂紋深度、裂紋位置對耦合系統(tǒng)葉尖振動的影響規(guī)律。

1 動力學(xué)建模

轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片耦合系統(tǒng)模型示意圖如圖1所示，系統(tǒng)主要包括轉(zhuǎn)軸、輪盤、葉片等關(guān)鍵部件。轉(zhuǎn)軸采用雙支承結(jié)構(gòu)（軸承1、2），彈性輪盤固定在轉(zhuǎn)軸上，若干葉片均勻地連接在輪盤的外徑上。本文基于有限元方法，采用梁單元對轉(zhuǎn)軸建模；基于假設(shè)模態(tài)方法，利用Kirchhoff 板理論對輪盤建模，并利用Timoshenko 梁理論對葉片進(jìn)行建模。此外，本文定義OXYZ為固定坐標(biāo)系，OdXtYtZt為輪盤平動坐標(biāo)系，OdXrYrZr為輪盤轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，obxbybzb為葉片局部坐標(biāo)系。

圖1 轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片耦合系統(tǒng)模型示意圖Fig.1 Model schematic of the shaft-disk-blade coupling system

1.1 轉(zhuǎn)軸動力學(xué)建模

如圖2所示，采用橫截面為實心圓的2 節(jié)點有限梁單元模擬轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸有限單元上任意點在固定坐標(biāo)系OXYZ下的動能Te為

圖2 轉(zhuǎn)軸有限單元示意圖Fig.2 Schematic of shaft finite element

式中：Ae、Le、ρe分別為單元橫截面積、長度、密度；Jse、Jpe為截面慣性矩和極慣性矩；Ωe為單元的轉(zhuǎn)速；［ue，ve，we，θxe，θye，θze］為轉(zhuǎn)軸任意點的六自由度位移，可由單元的廣義坐標(biāo)表示［21］。

轉(zhuǎn)軸有限元單元的彈性勢能Ue計算公式［21］為

式中：Ee、Ge、κe分別為轉(zhuǎn)軸單元的彈性模量、剪切模量、剪切系數(shù)。

采用線性的彈簧-阻尼模擬軸承，軸承1 的剛度、阻尼矩陣Kb1、Cb1，軸承2 的剛度、阻尼矩陣Kb2、Cb2，可表達(dá)為

式中：kbx1、kby1、kbx2、kby2為軸承剛度；cbx1、cby1、cbx2、cby2為軸承阻尼；下標(biāo)x、y分別表示固定坐標(biāo)系下的X、Y方向；下標(biāo)1、2 分別表示軸承1、2。

因此，軸承的勢能Ubearing可表示為

式中：qb1、qb2分別為軸承1、2 位置處相應(yīng)轉(zhuǎn)軸節(jié)點的廣義位移向量。

軸承阻尼導(dǎo)致的虛功δWbearing可表示為

1.2 彈性輪盤動力學(xué)建模

由于彈性輪盤裝配在轉(zhuǎn)軸上，并假設(shè)輪盤圓心與轉(zhuǎn)軸節(jié)點剛性連接。因此，轉(zhuǎn)軸、軸承的變形會導(dǎo)致彈性輪盤的圓心位置和姿態(tài)會發(fā)生變化，如圖3所示。輪盤平動坐標(biāo)系OdXtYtZt原點為輪盤發(fā)生平動位移后輪盤圓心的位置，經(jīng)過二類歐拉角（Y1-X1-Z2）的姿態(tài)變換后，得到輪盤局部坐標(biāo)系OdXdYdZd。

圖3 輪盤圓心位置及姿態(tài)示意圖Fig.3 Schematic of disk center position and attitude

在輪盤局部坐標(biāo)系OdXdYdZd下，彈性輪盤-葉片結(jié)構(gòu)與輪盤內(nèi)徑固支邊界的葉盤結(jié)構(gòu)類似［22］，如圖4所示。將彈性輪盤簡化為Kirchhoff 環(huán)形板，將葉片簡化為Timoshenko直梁進(jìn)行建模。

圖4 彈性輪盤-葉片結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic of flexible disk-blade structure

考慮輪盤圓心的位置和姿態(tài)后，輪盤上任意點的位置Pd可表示為

式中：r、θ為輪盤坐標(biāo)系對應(yīng)的極坐標(biāo)；ud為輪盤橫向位移；θΩ為輪盤角位移；［xd，yd，zd］T為輪盤圓心平動位移；R1、R2、R3分別為與輪盤姿態(tài)角θzd、θxd、θyd相關(guān)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

進(jìn)一步推導(dǎo)得到輪盤在固定坐標(biāo)系OXYZ下的動能Tdisk為

式中：rd、Rd、hd、ρd分別為輪盤內(nèi)徑、輪盤外徑、輪盤厚度、輪盤密度。

考慮輪盤橫向位移ud，輪盤彈性變形導(dǎo)致的彈性勢能計算公式［22］為

式中：?2為拉普拉斯算子；Dd為輪盤抗彎剛度；μd為輪盤泊松比。

式中：Nr、Nθ為極坐標(biāo)下輪盤的正交應(yīng)力分量。

1.3 健康及呼吸裂紋葉片動力學(xué)建模

如圖5所示，長度為Lb、寬度為bb、厚度為hb、安裝角為β的葉片固定在輪盤的外徑上。假設(shè)Nb個葉片沿圓周均勻分布，如圖4所示，則任意時刻t第i個葉片在輪盤局部坐標(biāo)系OdXdYdZd中的角位移可表示為?i=Ωt+2π(i-1)Nb，與第i個葉片根部連接處的輪盤橫向位移可表示為udi，由于輪盤橫向位移，導(dǎo)致第i個葉片在輪盤轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系OdXrYrZr中存在剛體角位移θdi［22］。

圖5 裂紋葉片模型示意圖Fig.5 Schematic of cracked blade

考慮輪盤圓心的平動位移和旋轉(zhuǎn)姿態(tài)，并考慮葉片的徑向位移u、橫向位移v、剪切角θz，第i個葉片上任意點在固定坐標(biāo)系OXYZ下的位置Pb可表示為

式中：T1、T2、T3分別為與葉片安裝角β、剛體角位移θdi、角位移與輪盤姿態(tài)角之和（?i+θzd）相關(guān)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

相應(yīng)地，第i個葉片在固定坐標(biāo)系OXYZ下的動能Tiblade為

式中：ρb、Ab分別為葉片密度、葉片橫截面積。

考慮旋轉(zhuǎn)葉片的離心剛化后，第i個葉片勢能Uiblade計算公式［18，22］為

式中：Eb、Ib、Gb、κb分別為旋轉(zhuǎn)葉片彈性模量、截面慣性矩、剪切模量、剪切系數(shù)；fc（x）為葉片任意截面的離心力載荷［18，22］。

如圖5所示，假設(shè)在距離葉根Lc位置部分存在一個深度為hc的貫穿直裂紋，由于葉片受到氣動力等交變載荷，導(dǎo)致裂紋面存在“張開-閉合”行為，稱作裂紋呼吸效應(yīng)。Wu 等［24］提出了考慮呼吸效應(yīng)的軸彎耦合裂紋模型，在拉伸載荷和彎曲載荷的共同作用下，時變的等效裂紋長度h?c可表示為

式中：yc為裂紋尖端在葉片局部坐標(biāo)系obxbybzb中的坐標(biāo)值；分別為臨界閉合、張開時裂紋面受到的拉伸應(yīng)力。

式中：μb為葉片泊松比；分別為影響裂紋葉片的軸向剛度、彎曲剛度、軸彎耦合剛度，具體表達(dá)式為

1.4 轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)動力學(xué)建模

基于Hamilton 原理，將轉(zhuǎn)軸、軸承、輪盤、葉片的能量項代入可得

式中：Wnon為耦合系統(tǒng)非保守力做功。

采用有限元方法對轉(zhuǎn)軸和軸承進(jìn)行單元組集，采用Galerkin 方法對彈性輪盤和葉片進(jìn)行離散，最終可以得到轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)整體的運(yùn)動微分方程為

式中：M、G、K、q分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣、廣義坐標(biāo)向量；C為耦合系統(tǒng)的瑞利阻尼矩陣；為時變裂紋導(dǎo)致的時變損失剛度；Fi、Fe分別為旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的慣性、外激勵載荷向量。

便于描述，F(xiàn)i、Fe可表示為

式中：上標(biāo)s、d、ib 分別表示轉(zhuǎn)軸、輪盤、第i個葉片上的載荷向量；上標(biāo)sd 表示與輪盤圓心連接的轉(zhuǎn)軸節(jié)點上的載荷向量。

僅考慮勻轉(zhuǎn)速運(yùn)動時，慣性載荷向量Fi僅包含與葉片相關(guān)的載荷，可表示為

式中：Λ1為葉片軸向位移u的假設(shè)模態(tài)函數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片耦合系統(tǒng)中存在輪盤不平衡量時，外激勵載荷向量Fe僅包含與轉(zhuǎn)軸相關(guān)的載荷，計算公式［18，27］為

式中：ed為輪盤不平衡量；md為輪盤質(zhì)量。

若第i個葉片存在均布力載荷，且葉片任意位置的線載荷密度在固定坐標(biāo)系OXYZ中為［Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z］T，則對應(yīng)的外激勵載荷向量Fe可表示

式中：A= -Fxsin?icosβ+Fycos?icosβ+Fzsinβ；Φ為輪盤橫向位移ud的假設(shè)模態(tài)函數(shù)；Φ'為Φ對極坐標(biāo)r的1 階偏導(dǎo)；Λ2為葉片彎曲位移v的假設(shè)模態(tài)函數(shù)。

2 模型驗證

2.1 無裂紋葉片的耦合系統(tǒng)模型驗證

文獻(xiàn)［18］基于集中質(zhì)量法和Timoshenko梁理論建立一種轉(zhuǎn)子葉片動力學(xué)模型，并通過與有限元模型進(jìn)行對比驗證了模型的正確性。文獻(xiàn)［28］提出一種基于零轉(zhuǎn)速模態(tài)數(shù)據(jù)計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Campbell 圖的方法，并與文獻(xiàn)［18］結(jié)果進(jìn)行了對比，進(jìn)一步驗證了文獻(xiàn)［18］中模型的正確性。

為了充分驗證本文提出方法的有效性、準(zhǔn)確性，本文參照文獻(xiàn)［18］中的幾何及材料參數(shù)進(jìn)行建模。同時，在有限元商業(yè)平臺ANSYS 中建立有限元模型，如圖6所示。采用BEAM188 單元模擬轉(zhuǎn)軸，采用COMBI214 模擬軸承，采用SHELL181 單元模擬輪盤，采用SOLID186 單元模擬葉片；葉片根部截面節(jié)點與輪盤、輪盤內(nèi)徑與轉(zhuǎn)軸節(jié)點通過MPC 接觸進(jìn)行連接；并約束了靠近軸承1 的軸端軸向、扭轉(zhuǎn)自由度。此外，裂紋面基于TARGE170、CONTA174 單元建立接觸對。需要說明的是，僅在后續(xù)瞬態(tài)分析中考慮裂紋面之間的接觸對，在模態(tài)分析中不考慮裂紋接觸。

圖6 轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)有限元模型Fig.6 Finite element model of shaft-disk-crackedblade coupling system

表1 給出了本文方法、有限元模型、文獻(xiàn)［18］計算得出的無裂紋葉片的耦合系統(tǒng)前13 階固有頻率。本文方法與有限元模型、文獻(xiàn)［18］方法、文獻(xiàn)［18］試驗的最大誤差絕對值分別為2.26%、1.63%、2.79%，驗證了本文方法的有效性、正確性。此外，基于本文方法繪制了部分階次的模態(tài)振型，如圖7所示，所繪制的振型圖與文獻(xiàn)［18，28］均一致。同時，在葉片主導(dǎo)的模態(tài)中（第6～9階右下角）繪制了輪盤的局部模態(tài)?？梢钥闯觯~片主導(dǎo)模態(tài)分別與輪盤的2 節(jié)徑、1 節(jié)徑、1 節(jié)徑、0 節(jié)徑模態(tài)發(fā)生耦合，導(dǎo)致不同葉片的模態(tài)位移具有不同的方向性。文獻(xiàn)［18］中提到的葉片-葉片耦合模態(tài)（第6 階）主要由葉片彎曲和輪盤2節(jié)徑模態(tài)耦合導(dǎo)致的；葉片彎曲-轉(zhuǎn)軸橫向耦合模態(tài)（第7、8 階）主要由輪盤的1 節(jié)徑模態(tài)與轉(zhuǎn)軸彎曲存在耦合導(dǎo)致；葉片彎曲-轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)（第9 階）主要是由輪盤的0 節(jié)徑模態(tài)與轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)存在耦合導(dǎo)致［29］。

表1 無裂紋葉片的耦合系統(tǒng)固有頻率Table 1 Natural frequencies of coupling system without cracked blade

圖7 無裂紋葉片的耦合系統(tǒng)部分振型圖Fig.7 Partial mode shapes of coupling system without cracked blade

圖8 為本文方法和文獻(xiàn)［18］方法計算無裂紋葉片耦合系統(tǒng)的Campbell 圖，結(jié)果表明，本文方法和文獻(xiàn)［18］方法計算的各階固有頻率吻合較好。隨著轉(zhuǎn)速的升高，離心剛化導(dǎo)致葉片彎曲主導(dǎo)的模態(tài)頻率隨之增大；且由于陀螺效應(yīng)的影響，輪盤的擺動模態(tài)頻率分離（正進(jìn)動FW和反進(jìn)動BW）；當(dāng)轉(zhuǎn)速升高至Ω1時，輪盤擺動模態(tài)的反進(jìn)動BW 頻率靠近系統(tǒng)俯仰模態(tài)頻率，產(chǎn)生頻率轉(zhuǎn)向現(xiàn)象，文獻(xiàn)［18］同樣也存在頻率轉(zhuǎn)向的現(xiàn)象。上述結(jié)論再次驗證了本文模型的準(zhǔn)確性。

2.2 含裂紋葉片的耦合系統(tǒng)模型驗證

假設(shè)在1#葉片上存在一個貫穿的直裂紋，且無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2。對比了本文方法、有限元模型（見圖6）所得含裂紋葉片的耦合系統(tǒng)固有頻率，如表2所列。結(jié)果表明，本文方法和有限元結(jié)果吻合較好，最大誤差絕對值為2.81%。此外，與表1 對比發(fā)現(xiàn)，裂紋主要影響了葉片彎曲主導(dǎo)的模態(tài)頻率（表2 中括號部分），轉(zhuǎn)軸、輪盤主導(dǎo)的模態(tài)頻率幾乎沒有影響。

表2 含裂紋葉片的耦合系統(tǒng)固有頻率Table 2 Natural frequencies of coupling system with cracked blade

為了進(jìn)一步研究葉片裂紋對轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片耦合系統(tǒng)的影響，基于本文方法獲得了葉片彎曲主導(dǎo)的模態(tài)振型（第6～9 階），并繪制了相應(yīng)的輪盤局部模態(tài)，如圖9所示。葉片裂紋導(dǎo)致耦合系統(tǒng)出現(xiàn)模態(tài)局部化現(xiàn)象，且模態(tài)局部化現(xiàn)象出現(xiàn)在葉片彎曲主導(dǎo)的第1 個模態(tài)（第6 階模態(tài)）；對比無裂紋的耦合系統(tǒng)，裂紋導(dǎo)致葉片上原本較大的模態(tài)位移減?。ǖ?、9 階模態(tài)）；裂紋出現(xiàn)在原本模態(tài)位移較小的葉片上時，裂紋對模態(tài)頻率和模態(tài)振型幾乎沒有影響（第8 階模態(tài)），主要的原因是裂紋葉片處在輪盤的節(jié)徑線上，導(dǎo)致對系統(tǒng)模態(tài)振型影響較小。

圖9 含裂紋葉片的耦合系統(tǒng)部分振型圖Fig.9 Partial mode shapes of coupling system with cracked blade

為了進(jìn)一步驗證本文方法的準(zhǔn)確性，與有限元模型對比了含葉片裂紋耦合系統(tǒng)的振動響應(yīng)。假設(shè)在1#葉片上存在一個Y方向的簡諧均布力載荷Fy=-100 sin(200 πt)，將［0，F(xiàn)y， 0］T代入式（22）～式（25）中，進(jìn)行耦合系統(tǒng)的振動響應(yīng)計算。在有限元模型中，考慮裂紋面之間的接觸，并在1#葉片上表面施加簡諧的壓力載荷-Fy/bb。如圖10所示，本文方法計算得到的1#葉片葉尖Y方向位移時域波形及頻譜圖（見圖10（a）、圖10（b））、輪盤位置處軸心Y方向位移時域波形及頻譜圖（見圖10（c）、圖10（d））與有限元計算結(jié)果基本吻合。上述結(jié)果說明了本文方法能夠準(zhǔn)確模擬系統(tǒng)的振動響應(yīng)，且葉片上的載荷能夠有效地傳遞到轉(zhuǎn)軸上。需要說明的是，有限元和本文方法中的時間步長均為1×10-4s，計算100 個周期，有限元計算時間約為17 h，而本文方法耗時約為290 s（0.08 h），本文方法極大提高了計算效率。

圖10 本文方法和有限元模型動態(tài)響應(yīng)結(jié)果對比Fig.10 Comparison of dynamic response results between proposed method and finite element model

3 耦合系統(tǒng)葉尖振動特性分析

基于本文方法，分析重力載荷、轉(zhuǎn)子不平衡力、葉片氣動力載荷、葉片裂紋參數(shù)對轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)葉尖振動特性的影響。

3.1 重力載荷對葉尖振動的影響

由于葉片均布在輪盤的外徑上，且隨著轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)，葉片的位置不斷發(fā)生變化導(dǎo)致葉片上的重力載荷也不斷變化。因此，當(dāng)考慮葉片彈性變形時，重力載荷對葉片的影響是不可忽略的。重力載荷產(chǎn)生的外載荷表示為Fy= -ρbAbg，將［0，F(xiàn)y， 0］T代入式（22）～式（25）中，可得第i個葉片對系統(tǒng)產(chǎn)生的外激勵載荷向量Fe為

由式（28）可以看出，重力載荷產(chǎn)生的外載荷與葉片位置?i有關(guān)，且重力載荷影響葉片的拉伸位移u和彎曲位移v。在轉(zhuǎn)速4 600 r/min 下，計算葉尖的彎曲振動響應(yīng)，如圖11所示，當(dāng)所有葉片均為健康葉片時，由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自轉(zhuǎn)導(dǎo)致葉片產(chǎn)生彎曲位移，且各個葉片的位置不同導(dǎo)致彎曲位移響應(yīng)存在相位角；當(dāng)1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），裂紋葉片葉尖的彎曲位移存在明顯的偏移量，主要是由于在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下裂紋葉片的拉伸方向存在恒定的慣性載荷向量Fi（見式（20）），并且由于裂紋導(dǎo)致葉片存在軸-彎耦合，因此慣性載荷向量Fi會導(dǎo)致葉片彎曲存在明顯的偏移量。從葉尖彎曲位移的頻譜圖中也可以看出，無裂紋時葉尖彎曲位移頻譜的頻率成分主要為轉(zhuǎn)頻fr；當(dāng)存在裂紋時，葉尖彎曲位移頻譜的頻率成分還包含常值分量。

3.2 轉(zhuǎn)子不平衡力對葉尖振動的影響

假設(shè)轉(zhuǎn)速4 600 r/min，輪盤位置處不平衡量ed=1×10-4m，根據(jù)式（21）可得到轉(zhuǎn)軸-輪盤-葉片耦合系統(tǒng)產(chǎn)生的不平衡力，計算得到的葉尖彎曲振動響應(yīng)如圖12所示。當(dāng)所有葉片均為健康葉片時，在不平衡力作用下葉片彎曲位移趨于恒定值不再產(chǎn)生振動，然而不同葉片恒定值不同，主要原因可能是輪盤圓心的位移與葉片彎曲位移存在耦合，且與葉片位置?i相關(guān)［18，20，30］；當(dāng)1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），恒定慣性載荷向量Fi會導(dǎo)致裂紋葉片的偏移量明顯增大，且彎曲位移趨于穩(wěn)定值，即產(chǎn)生靜變形沒有發(fā)生振動。從葉尖彎曲位移的頻譜圖（見圖12（c））中也可以看出，在不平衡力下，葉片只存在常值分量，且裂紋葉片常值分量大于健康葉片常值分量。

圖12 考慮轉(zhuǎn)子不平衡力的葉尖振動響應(yīng)Fig.12 Vibration response of blade tip considering rotor unbalance force

3.3 氣動力載荷對葉尖振動的影響

第i個葉片上的氣動力載荷計算公式［31］為

式中：Af為氣動載荷幅值；EO為階次。取Af=-100 N/m、fr=76.67 Hz（轉(zhuǎn)速為4 600 r/min）、EO=5。第i個葉片中氣動載荷示意圖如圖13所示，由于存在葉片安裝角β，氣動載荷Fi在坐標(biāo)系oxbrybrzbr中的載荷分量為Fiy=Ficosβ、Fiz=Fisinβ。由圖4 可知，忽略輪盤導(dǎo)致的小變形θdi，第i個葉片中氣動載荷在整體坐標(biāo)系OXYZ中可表示為

圖13 第i 個葉片中氣動力載荷示意圖Fig.13 Schematic of aerodynamic load on ith blade

將［Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z］T代入式（22）～式（25）可得系統(tǒng)的外激勵載荷向量Fe。

計算得到的葉尖振動載荷如圖14所示。當(dāng)所有葉片為健康葉片時，在穩(wěn)定狀態(tài)各葉片彎曲位移幅值幾乎相同，但存在相位差，主要是由于不同葉片的氣動力載荷存在相位差；當(dāng)1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1，無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），各個葉片彎曲位移幅值不相同，裂紋葉片的彎曲位移幅值大于其他葉片彎曲位移幅值。從1#葉片葉尖彎曲位移頻譜圖（見圖14（c））中可以看出，當(dāng)各葉片為健康葉片時，頻率成分為EOfr；當(dāng)1#葉片為裂紋葉片時，除了常值分量外，頻率成分還包括fr及其倍頻，且在EOfr及其倍頻處有較大的幅值。裂紋葉片彎曲位移存在多頻率成分的原因是在氣動力載荷下，裂紋面交替出現(xiàn)“張開-閉合”的呼吸效應(yīng)，發(fā)生了非線性振動。

圖14 考慮氣動力載荷的葉尖振動響應(yīng)Fig.14 Vibration response of blade tip considering aerodynamic load

3.4 多源激勵對葉尖振動的影響

考慮重力載荷，轉(zhuǎn)子不平衡力，氣動載荷多源激勵，研究葉尖的振動特性。假設(shè)轉(zhuǎn)速4 600 r/min、輪盤位置處不平衡量ed=1×10-4m、氣動力載荷幅值A(chǔ)f=-100 N/m、階次EO=5。計算得到的葉尖振動載荷如圖15所示。與僅氣動載荷作用下的振動響應(yīng)類似，當(dāng)所有葉片為健康葉片時，葉尖彎曲位移幅值相同且存在相位差；當(dāng)1#葉片為裂紋葉片時（無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb=0.2），各葉片幅值不再相同。從1#葉片葉尖彎曲位移頻譜圖（見圖15（c））中可以看出，當(dāng)所有葉片為健康葉片時，重力載荷導(dǎo)致的fr、轉(zhuǎn)子不平衡力導(dǎo)致的常值分量0fr、氣動載荷導(dǎo)致EOfr均在頻譜圖中有所體現(xiàn)；當(dāng)1#葉片為裂紋葉片時，葉片彎曲位移頻率成分還包括fr的倍頻，且在EOfr的倍頻處存在較明顯幅值，裂紋葉片的常值分量相較于健康葉片有明顯增大。

圖15 考慮多源激勵的葉尖振動響應(yīng)Fig.15 Vibration response of blade tip considering multi-source excitation

3.5 裂紋參數(shù)對葉尖振動的影響

上述研究表明，與健康葉片的葉尖彎曲位移頻譜圖對比，在重力載荷作用下，裂紋導(dǎo)致葉片產(chǎn)生新的常值分量（見圖11（c））；在不平衡力作用下，裂紋導(dǎo)致葉片的常值分量增大（見圖12（c））；在氣動力作用下，裂紋導(dǎo)致葉片產(chǎn)生除激勵頻率（EOfr）外的其他頻率分量，包括常值分量、轉(zhuǎn)頻及其倍頻分量（見圖14（c））；在多源激勵作用下，裂紋導(dǎo)致葉片的常值分量增大，且激發(fā)了轉(zhuǎn)頻的倍頻分量（見圖15（c））。從上述分析可知，健康葉片與裂紋葉片葉尖彎曲位移的常值分量有較大差異，是評價裂紋程度的潛在指標(biāo)。實際過程中，不同裂紋會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)阻尼不同［24］，為了避免阻尼的影響，本節(jié)通過頻譜圖中的幅值比0fr/1fr（常值分量幅值/轉(zhuǎn)頻分量幅值）、0fr/（EOfr）（常值分量幅值/氣動激勵頻率分量幅值）來研究不同裂紋參數(shù)對葉尖振動的影響。假設(shè)轉(zhuǎn)速為4 600 r/min、輪盤位置處不平衡量ed=1×10-4m、氣動力載荷幅值A(chǔ)f=-100 N/m、階次EO=5、無量綱裂紋位置Lc/Lb=0.1、無量綱裂紋深度hc/hb范圍為［0，0.4］。由圖16 中可以看出，隨著裂紋深度的增大，幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）均增大。保持其余條件不變，設(shè)置無量綱裂紋深度hc/hb=0.2，無量綱裂紋位置Lc/Lb范圍為［0.1，0.8］。由圖17可以看出，隨著裂紋位置的增大（越靠近葉尖），幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）均減小。上述結(jié)果表明，幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）為評價葉片裂紋的有效指標(biāo)。

圖16 不同量綱裂紋深度下的葉尖彎曲位移幅值比Fig.16 Amplitude ratio of tip bending displacement at different dimensionless crack depths

圖17 不同無量綱位置下的葉尖彎曲位移幅值比Fig.17 Amplitude ratio of tip bending displacement at different dimensionless crack locations

4 結(jié) 論

1） 基于有限元法，采用梁單元對轉(zhuǎn)軸建模；基于假設(shè)模態(tài)法，采用Kirchhoff 板理論對輪盤建模，并采用Timoshenko 梁理論對葉片進(jìn)行建模?？紤]葉片裂紋的呼吸效應(yīng)，建立了轉(zhuǎn)軸-輪盤-裂紋葉片耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，并通過對比固有特性和動態(tài)響應(yīng)驗證了模型的準(zhǔn)確性。

2） 健康葉片中，重力載荷導(dǎo)致葉片產(chǎn)生振動，且葉尖彎曲位移的頻率成分為轉(zhuǎn)頻；轉(zhuǎn)子不平衡力不會導(dǎo)致葉片產(chǎn)生振動，但是會導(dǎo)致葉片發(fā)生靜變形，葉尖彎曲位移的頻率成分為常值分量；氣動力載荷導(dǎo)致葉片振動，葉尖彎曲位移的頻率成分僅為氣動激勵頻率。

3） 在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，裂紋葉片導(dǎo)致葉尖彎曲位移產(chǎn)生偏移量，即增大了頻譜中常值分量；在氣動載荷載荷作用下，呼吸裂紋導(dǎo)致葉片發(fā)生非線性振動，在轉(zhuǎn)頻及其倍頻處產(chǎn)生幅值，且在氣動激勵頻率的倍頻處有較明顯的幅值。

4） 幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）為評價葉片裂紋的有效指標(biāo)，隨著裂紋深度的增大，0fr/1fr、0fr/（EOfr）均增大；隨著裂紋位置的增大（越靠近葉尖），0fr/1fr、0fr/（EOfr）均減小。