張攀 , ，劉雨晗，張威 , ,

（1.中國(guó)民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300；2.民航航空公司人工智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510470；3.中國(guó)民航大學(xué) 安全科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300300；4.中國(guó)民航航空地面特種設(shè)備研究基地，天津 300300）

目前航空托運(yùn)行李搬運(yùn)完全依靠人工，存在效率低、暴力搬運(yùn)等問(wèn)題。部分機(jī)場(chǎng)正在開(kāi)展機(jī)器人搬運(yùn)、碼垛行李方面的探索。由于托運(yùn)行李表面材質(zhì)、形狀、尺寸各異，且存在易變形、易破損等特點(diǎn)，用于行李轉(zhuǎn)運(yùn)的機(jī)器人末端執(zhí)行器不宜采用夾具類、吸盤(pán)類等執(zhí)行器，而采用托盤(pán)式末端執(zhí)行器。但托盤(pán)式執(zhí)行器無(wú)法約束行李的所有自由度，所以需要額外注意運(yùn)動(dòng)中的沖擊以避免掉落和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。想要使得機(jī)器人能夠平穩(wěn)的接取行李和準(zhǔn)確快速的放置行李，就需要對(duì)機(jī)器人進(jìn)行合理的軌跡規(guī)劃和優(yōu)化。

不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者在機(jī)器人軌跡規(guī)劃領(lǐng)域展開(kāi)研究，目前機(jī)器人軌跡規(guī)劃一般先采用插值算法對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路徑進(jìn)行插值，再采用合適的群智算法對(duì)其進(jìn)行軌跡優(yōu)化[1]。Kim 等[2]采用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化方法，避免了粒子群算法收斂在局部最優(yōu)值。Xidias 等[3]通過(guò)結(jié)合多種群遺傳算法，提出了一種冗余機(jī)械臂的時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法，用以解決三維工作空間中機(jī)械臂由初始位形運(yùn)動(dòng)到最終位形運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。Liu 等[4]通過(guò)改進(jìn)的粒子群算法實(shí)現(xiàn)了4-3-3-4 次多項(xiàng)式插值的時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃。Ma 等[5]針對(duì)機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程中加加速度突變的問(wèn)題，提出了了一種同時(shí)考慮了轉(zhuǎn)矩和加加速度的時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。米根鎖等[6]提出了一種改進(jìn)布谷鳥(niǎo)算法對(duì)空間機(jī)械臂進(jìn)行軌跡優(yōu)化，改善了關(guān)節(jié)軌跡的平滑性和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。在當(dāng)前對(duì)機(jī)器人軌跡優(yōu)化的研究中，鮮有針對(duì)機(jī)器人運(yùn)行關(guān)節(jié)角加速度控制的研究，關(guān)節(jié)角加速度變化幅度過(guò)大，可能引起機(jī)器人末端執(zhí)行器波動(dòng)，影響機(jī)器人運(yùn)行穩(wěn)定性[7]。關(guān)節(jié)角加速度產(chǎn)生過(guò)大驟升或者驟降都可能增加機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)部件所受的沖擊，降低其使用壽命[8]。因此針對(duì)降低機(jī)器人角加速度的軌跡優(yōu)化十分具有研究?jī)r(jià)值。

灰狼優(yōu)化算法（Grey wolf optimization, GWO）自出現(xiàn)起就以參數(shù)少、尋優(yōu)快等優(yōu)點(diǎn)在各領(lǐng)域得到了廣泛運(yùn)用[9]，但GWO 算法容易出現(xiàn)早熟收斂和進(jìn)化后期陷入局部最優(yōu)值的問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)GWO 算法做出了改進(jìn)，Li 等[10]引入了Tent 映射優(yōu)化灰狼初始種群，并引入高斯變異和余弦控制因子平衡算法局部搜索能力和全局搜索能力。Nadimi-Shahraki 等[11]提出了一種引入維度學(xué)習(xí)狩獵搜索策略的灰狼優(yōu)化算法，緩解了GWO 算法容易過(guò)早收斂與種群結(jié)構(gòu)單一的問(wèn)題。Rodríguez 等[12]利用模糊邏輯策略對(duì)狼群的個(gè)體權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，將算法的全解空間尋優(yōu)性能和局部解空間尋優(yōu)性能進(jìn)行了均衡優(yōu)化。

本文結(jié)合混沌映射、差分進(jìn)化算法和淘汰進(jìn)化機(jī)制，提出一種新的改進(jìn)灰狼算法（Improved grey wolf optimization, IGWO），并將該算法與標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法、粒子群算法進(jìn)行對(duì)比，經(jīng)過(guò)4 個(gè)多峰基準(zhǔn)函數(shù)和4 個(gè)單峰基準(zhǔn)函數(shù)尋優(yōu)測(cè)試后，證明該算法相較于兩個(gè)對(duì)比算法，具有更優(yōu)的穩(wěn)定性、搜索精度和收斂速度。最后，將所提算法應(yīng)用于機(jī)器人的加速度軌跡優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)器人的關(guān)節(jié)角加速度最優(yōu)的軌跡規(guī)劃，提高了機(jī)器人運(yùn)行穩(wěn)定性。

1 改進(jìn)灰狼算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法

GWO 算法將狼群中個(gè)體分為4 層：α狼，β狼，δ狼和ω狼。第一層為α狼，為狼群中的最高領(lǐng)導(dǎo)者，是當(dāng)前的最優(yōu)解；第二層為β狼，在狼群中地位僅次于α狼，是當(dāng)前的次優(yōu)解；第三層為δ狼，其地位次于α狼與β狼，也屬于領(lǐng)導(dǎo)階層，是當(dāng)前的第三優(yōu)解；第四層為ω狼，為狼群中除了前3 個(gè)層級(jí)的其他狼，為前3 階層狼的備選解，若在之后的適應(yīng)度更佳，則被選為前3 層級(jí)。狼群搜索、跟蹤、靠近獵物，由α狼帶領(lǐng)β狼和δ狼圍攻獵物，若獵物逃脫，則由其他狼繼續(xù)追捕，直至捕獵成功?；依遣东C過(guò)程中的位置更新公式如下：

式中：Xp（t）為第t次迭代時(shí)種群中α狼的位置；X(t)為第t代灰狼的位置向量；D為灰狼個(gè)體位置與α狼位置間的距離；C和A分別為擺動(dòng)因子和收斂因子。

式中：r1和r2為隨機(jī)值，取值范圍在區(qū)間[0,1] 內(nèi)，隨著迭代次數(shù)的逐漸增加，收斂因子A的控制參數(shù)a線性減小，Tmax為最大迭代次數(shù)，amax=2，amin=0。

灰狼群體由狼α、β、δ帶領(lǐng)狼群進(jìn)行捕獵，更新種群位置，并通過(guò)A與C的不斷變化，確?；依侨后w能夠?qū)さ萌肿顑?yōu)解[13]。

1.2 改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法（IGWO）

與較早推出的群智算法，如粒子群算法（PSO）、差分進(jìn)化算法（DE）等相比，GWO 算法具有更快的收斂速度和更強(qiáng)的魯棒性，但另一方面還具有容易收斂于局部解空間最優(yōu)解和收斂速度過(guò)快等缺點(diǎn)。因此，本文引入混沌映射、差分進(jìn)化算法和淘汰進(jìn)化機(jī)制，以得到一種性能更優(yōu)的改進(jìn)灰狼算法。

1.2.1 Logistic-Tent 映射

標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法對(duì)種群的初始化無(wú)法保證初始解盡可能均勻分布于解空間，而采用混沌映射對(duì)種群進(jìn)行初始化，相較于完全隨機(jī)初始化種群，均勻性和遍歷性更好，可以改善這個(gè)問(wèn)題[14]。Logistic 映射具有良好的隨機(jī)性和較強(qiáng)的全局遍歷性，但存在后期搜索精度較弱的缺點(diǎn)，與之相較，Tent 映射則具有更優(yōu)秀的均勻遍歷性和更快的收斂速度[15-16]，因此本文在迭代的初始階段和后期精細(xì)搜索階段分別執(zhí)行兩種混沌映射。為使首次初始化的灰狼群體分布更均勻，在首次初始化灰狼群體時(shí)采用Tent 映射，前期的粗搜索階段采用Logistic 映射，增強(qiáng)算法全局尋優(yōu)能力，后期則再次采用Tent 映射進(jìn)行精細(xì)搜索，增加算法搜索精度：

式中：i為映射次數(shù)；zi為第k次映射函數(shù)值；T為當(dāng)前迭代次數(shù)。

1.2.2 引入差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法的全局尋優(yōu)性能較好，用DE/rand/1 變異策略對(duì)每次尋優(yōu)迭代后的灰狼群體進(jìn)行變異操作[17]，對(duì)種群位置進(jìn)行優(yōu)化，即對(duì)于每一代t，隨機(jī)選擇3 個(gè)不同于當(dāng)前個(gè)體i的個(gè)體Xr，并通過(guò)以下公式得到變異后的向量Vi,G+1為

式中：F為縮放因子，在[0, 2]之間取值[18]，本文取值為0.6；r1、r2和r3是區(qū)間[1,N] 內(nèi)任意不同整數(shù)，N為當(dāng)前個(gè)體數(shù)量。

根據(jù)式（5）交叉操作，將灰狼種群中的變異個(gè)體與原始灰狼種群進(jìn)行雜交，可得

式中：Cr為交叉概率；J為當(dāng)前維度；Jrand為隨機(jī)維度。

最后根據(jù)式（6）進(jìn)行選擇操作，通過(guò)貪婪算法的選擇方式，對(duì)比父代X與子代U，只保留適應(yīng)度更好的個(gè)體，可得

1.2.3 種群淘汰進(jìn)化機(jī)制

每次迭代后，將適應(yīng)度最差的R匹狼去除，同時(shí)通過(guò)Logistic-Tent 映射初始化新的R匹狼，即淘汰種群中距離獵物最遠(yuǎn)的部分狼，再產(chǎn)生新的狼，借此達(dá)到種群進(jìn)化的效果[19]。本文中R取值為[n/2k,n/k]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)，k為種群淘汰比例因子，取值為6。

1.2.4 IGWO 算法步驟

IGWO 算法步驟如下：

步驟1 設(shè)置IGWO 算法基本參數(shù)，包括問(wèn)題維度D，灰狼種群規(guī)模P，縮放因子F，種群淘汰比例因子R，交叉概率Cr，最大迭代次數(shù)Tmax。

步驟2 采用Tent 混沌映射將灰狼位置均勻初始化。

步驟3 求解目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算每只灰狼適應(yīng)度，尋找最優(yōu)的前3 個(gè)解，分別設(shè)置為灰狼α、β、δ。

步驟4 利用式（4）產(chǎn)生變異群體，再利用式（5）的交叉操作雜交得到新的灰狼群體，并對(duì)各代灰狼個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，然后利用式（6）進(jìn)行選擇操作，選出更優(yōu)個(gè)體組成新的種群。

步驟5 在新的種群中選出適應(yīng)的最佳的3 只灰狼個(gè)體，設(shè)置為新的灰狼α、β、δ。

步驟6 淘汰適應(yīng)度最差的R只灰狼，并通過(guò)Logistic-Tent 映射產(chǎn)生R只新的灰狼。

步驟7 轉(zhuǎn)至步驟3 不斷重復(fù)迭代循環(huán)；若T=Tmax，或所有個(gè)體均收斂，則終止循環(huán)，并輸出最優(yōu)位置和函數(shù)最優(yōu)值。

1.3 基準(zhǔn)函數(shù)算法對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證IGWO 算法的尋優(yōu)能力，將本算法與標(biāo)準(zhǔn)GWO 與PSO 算法進(jìn)行仿真對(duì)比。

1）參數(shù)設(shè)置

選用GWO 算法和PSO 算法作為對(duì)比算法，對(duì)IGWO 算法的搜索能力、收斂速度和穩(wěn)定性進(jìn)行測(cè)試。實(shí)驗(yàn)設(shè)置的種群中個(gè)體數(shù)均為30，最大迭代次數(shù)設(shè)置為500，問(wèn)題維度設(shè)置為30，表1 為IGWO和PSO 算法中的其他參數(shù)設(shè)置。

表1 各算法參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings for each algorithm

2）基準(zhǔn)函數(shù)選擇

本文運(yùn)用8 個(gè)不同類型的基準(zhǔn)函數(shù)來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法的性能，前4 個(gè)選用單峰函數(shù)，用以評(píng)估算法的搜索精準(zhǔn)度及收斂速度，后4 個(gè)選用多峰函數(shù)，用以評(píng)估算法的全局搜索性能。表2 為8 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)。

表2 各基準(zhǔn)函數(shù)Tab.2 Each benchmark function

表3 為IGWO 算法與兩個(gè)對(duì)比算法對(duì)上述8 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)獨(dú)立尋優(yōu)計(jì)算30 次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表3 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果Tab.3 Benchmarking function optimization results

標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法在進(jìn)行最優(yōu)值搜索時(shí)，僅關(guān)注于每個(gè)灰狼個(gè)體位置與種群中狼α、β、δ的位置信息，未將群體中所有灰狼個(gè)體間的信息進(jìn)行聯(lián)系[20]，因此該算法沒(méi)有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)性能。與之相較，差分進(jìn)化算法具有較好的全局尋優(yōu)性能，對(duì)灰狼個(gè)體之間進(jìn)度交叉操作可以有效避免搜索最優(yōu)值過(guò)程陷入局部最優(yōu)解，依據(jù)差分進(jìn)化算法思想，對(duì)灰狼個(gè)體位置進(jìn)行優(yōu)化，并通過(guò)引入Logistic-Tent 映射和淘汰進(jìn)化機(jī)制對(duì)種群中灰狼種群結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。由表3 可知：本文所提出的IGWO 在函數(shù)尋優(yōu)的最優(yōu)結(jié)果優(yōu)于PSO 和GWO。

算法的最優(yōu)值迭代次數(shù)、最優(yōu)值結(jié)果和收斂趨勢(shì)是評(píng)估算法尋優(yōu)能力的關(guān)鍵指標(biāo)，三者可以在收斂曲線圖中觀察到，圖1 為3 種算法分別對(duì)8 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)執(zhí)行最優(yōu)解搜索的收斂曲線。由圖1 可知：IGWO 算法相較于兩個(gè)對(duì)比算法，通過(guò)較少的迭代次數(shù)搜索到了最優(yōu)解。圖1 中曲線拐點(diǎn)的更早出現(xiàn)意味著IGWO 算法具有更好的全局搜索能力，更容易跳出局部最優(yōu)值，最終得到更優(yōu)解。在F7和F8中，IGWO 算法分別在30 次、200 次左右尋得全局最優(yōu)解。綜合上述分析可知：IGWO 算法相較于GWO算法和PSO 算法，具有更快的收斂速度，更強(qiáng)的全局尋優(yōu)性能，且解的質(zhì)量更優(yōu)。

圖1 PSO、GWO 和IGWO 算法求解8 種基準(zhǔn)函數(shù)的收斂曲線圖Fig.1 Convergence curves of PSO, GWO, and IGWO algorithms for solving 8 benchmark functions

2 IGWO 算法在搬運(yùn)機(jī)器人軌跡規(guī)劃中的應(yīng)用

2.1 軌跡規(guī)劃模型建立

文中所研究的是航空行李搬運(yùn)機(jī)器人，該機(jī)器人為安裝在橫向地軌上的六自由度工業(yè)機(jī)器人，總共7 個(gè)自由度。機(jī)器人的末端執(zhí)行器為裝有傳送帶的托盤(pán)，用于接取和放置行李。執(zhí)行碼放工作時(shí)，傳送帶托盤(pán)保持水平，將行李運(yùn)送至碼放位置后，開(kāi)啟行李托盤(pán)上的傳送帶，將行李推入目標(biāo)碼放位置。由于托盤(pán)式執(zhí)行器無(wú)法約束行李的所有自由度，所以需要格外注意運(yùn)動(dòng)中的沖擊以避免掉落和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人搬運(yùn)行李的運(yùn)行路徑如圖2 所示。機(jī)器人末端執(zhí)行器由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至H點(diǎn)，其中A到C段為接取段，C到H段為碼放段，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路徑點(diǎn)信息如表4 所示。

表4 路徑點(diǎn)序列Tab.4 Path point sequence

采用七次多項(xiàng)式插值法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃。其中關(guān)節(jié)位置為

在t=0 時(shí)，初始關(guān)節(jié)角度、初始角速度、初始角加速度分別為：

第一中間點(diǎn)位置為

第二中間點(diǎn)位置為

則當(dāng)t=tm時(shí)，目標(biāo)關(guān)節(jié)角度、目標(biāo)角速度、目標(biāo)角加速度分別為：

由式（7） ～ 式（11）可得如下矩陣：

通過(guò)求解 [M]-1即可求得所有未知數(shù)c，從而得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。

2.2 運(yùn)動(dòng)軌跡仿真

設(shè)機(jī)器人在每個(gè)路徑點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)間隔時(shí)間為1 s，利用MATLAB 仿真出機(jī)器人在執(zhí)行搬運(yùn)任務(wù)時(shí)各個(gè)關(guān)節(jié)的位置、角速度、角加速度，如圖3 ～ 圖5 所示。

圖3 機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度Fig.3 Angles of robot joints

圖4 機(jī)器人各關(guān)節(jié)角速度Fig.4 Angular velocity of robot joints

圖5 機(jī)器人各關(guān)節(jié)角加速度Fig.5 Angular acceleration of robot joints

由圖3 ～ 圖5 可知：七次多項(xiàng)式插值法規(guī)劃出的行李搬運(yùn)路徑關(guān)節(jié)角速度、角加速度曲線連續(xù)、平滑，沒(méi)有突變的狀況。

2.3 軌跡優(yōu)化

采用IGWO 算法對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行加速度優(yōu)化，設(shè)置種群規(guī)模100，交叉概率0.8，縮放因子0.6，種群淘汰比例因子6，最大迭代次數(shù)500，優(yōu)化的目標(biāo)在于滿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)約束條件且保持搬運(yùn)節(jié)拍不變的情況下，要求機(jī)器人各關(guān)節(jié)的最大角加速度之和最小，定義目標(biāo)函數(shù)為

式中：ti為第i個(gè)路徑點(diǎn)與第i+ 1 個(gè)路徑點(diǎn)間機(jī)器人運(yùn)行的時(shí)間；ai為行李搬運(yùn)周期內(nèi)第i關(guān)節(jié)的角加速度。為避免在某一段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短，t設(shè)置于0.5 ～ 2 s 之間。

機(jī)器人在搬運(yùn)行李時(shí)，運(yùn)動(dòng)節(jié)拍不變，1 個(gè)路徑點(diǎn)周期的總時(shí)間設(shè)置為7 s。從實(shí)際搬運(yùn)工況出發(fā)，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)約束為：

式中：j為機(jī)器人關(guān)節(jié)序號(hào)；QCj、VCj、WCj、JCj分別為機(jī)器人第j關(guān)節(jié)位移、角速度、角加速度、角加加速度的額定最大值。

通過(guò)IGWO 算法對(duì)搬運(yùn)機(jī)器人路徑軌跡的加速度進(jìn)行優(yōu)化，圖6 為優(yōu)化后機(jī)器人各軸角加速度曲線。對(duì)比圖5，優(yōu)化后機(jī)器人的最大角加速度由10.79 m/s2下降為6.03 m/s2，下降幅度為44.11%?？梢?jiàn)利用IGWO 算法求解能夠得到較佳的軌跡優(yōu)化方案，提高了搬運(yùn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的穩(wěn)定性。

圖6 優(yōu)化后的關(guān)節(jié)角加速度曲線Fig.6 Optimized joint angular acceleration curve

3 結(jié)論

1） 針對(duì)GWO 算法存在的缺點(diǎn)，提出一種新的改進(jìn)灰狼算法（IGWO），采用Logistic-Tent 混沌映射，均勻分布初始種群、改進(jìn)算法收斂速度和尋優(yōu)能力；引入差分優(yōu)化算法，防止收斂過(guò)快、增強(qiáng)全局搜索能力；引入淘汰進(jìn)化機(jī)制，優(yōu)化種群結(jié)構(gòu)，提升算法精度。

2） 經(jīng)過(guò)對(duì)基準(zhǔn)函數(shù)的尋優(yōu)驗(yàn)證，IGWO 算法尋得最優(yōu)解質(zhì)量顯著優(yōu)于GWO 算法和PSO 算法，且具備更佳的全局最優(yōu)值搜索能力和收斂速度。

3） 將IGWO 算法運(yùn)用于搬運(yùn)機(jī)器人軌跡規(guī)劃中，優(yōu)化結(jié)果理想。采用IGWO 算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化后的機(jī)器人的最大角加速度值下降了44.11%，提高了機(jī)器人的運(yùn)行穩(wěn)定性，可有效避免行李搬運(yùn)過(guò)程中的掉落和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。