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        蛋糕中的玄機

        2024-04-02 15:18:35華蕓嘉
        初中生世界·七年級 2024年2期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學

        華蕓嘉

        豎著切蛋糕時,我們都有這樣的經(jīng)歷,切1刀可以把蛋糕分成2塊,切2刀最多可以分成4塊,切3刀最多可以分成7塊……

        我繼續(xù)研究,發(fā)現(xiàn)切4刀最多可以分成11塊,切5刀最多可以分成16塊,不切的時候是一整塊,我觀察數(shù)1、2、4、7、11、16,發(fā)現(xiàn)它們之間的差依次為1、2、3、4、5,猜想規(guī)律:切n(n≥1)刀最多分成[(1+2+3+4+…+n)+1]塊。

        帶著這個猜想,我又研究起來:如果一個圓上有n(n≥1)個點,每兩個點相連,這n個點之間的所有連線最多可以將圓分成多少部分呢?

        通過動手畫圖(圖1—圖5),我發(fā)現(xiàn):

        如果圓上有1個點,最多把圓分成1份;如果圓上有2個點,最多把圓分成2份;如果圓上有3個點,最多把圓分成4份;如果圓上有4個點,最多把圓分成8份;如果圓上有5個點,最多把圓分成16份。

        按照我猜想的規(guī)律,若圓上有6個點,最多可以把圓分成32份。但是,我畫圖一數(shù),怎么只有31份?若圓上有7個點,我數(shù)了數(shù),居然是57份?我數(shù)錯了?還是規(guī)律不對?真正的規(guī)律是什么?

        我又思考了起來。從數(shù)的角度看,我仔細觀察了這些數(shù)據(jù)1、2、4、8、16、31、57。首先,我觀察這些數(shù)的基本特征,1、2、4、8、16有很明顯的倍數(shù)關(guān)系,但是之后的31、57沒有這樣的關(guān)系,因此,排除了這些數(shù)是倍數(shù)關(guān)系。再看這些數(shù)的遞增趨勢,變化得較為明顯,但是也不算增長太多。因此,我又觀察它們之間的差。

        第一次作差時,我得到一串數(shù)據(jù)1、2、4、8、15、26,初看沒有明顯的規(guī)律。因此,我對這些新數(shù)據(jù)進行第二次作差,得到1、2、4、7、11,依然沒有規(guī)律。當?shù)谌巫鞑詈?,我得?、2、3、4,如圖6。這次終于有了重大發(fā)現(xiàn),它暗藏的規(guī)律浮出水面了。

        然后,我再從最后一行逐行倒推:5,5+11=16,16+26=42,42+57=99,如圖7。

        通過畫圖,我發(fā)現(xiàn)圓上有8個點時,確實最多能把圓分成99份。

        從形的角度來看,圓被分割成幾份的問題,可以轉(zhuǎn)化成圓上的點數(shù)、點連成的線段數(shù)量和份數(shù)之間的關(guān)系。那我為何不從線段的條數(shù)入手呢?

        如果一個圓中沒有線段,就是1份。如果有1條線段的話,就會被分成2份。如果有2條線段:這2條線不相交,就分成3份;相交,就分成4份。圓內(nèi)交點的數(shù)量怎么確定呢?眾所周知,兩點確定一條直線,一個交點需要兩條線,所以圓邊上任意4個點之間的連線會出現(xiàn)一個交點。以此類推,我總結(jié)出如下規(guī)律,如表1,并猜想:份數(shù)=1+線段的數(shù)量+圓內(nèi)交點數(shù)量。

        那么,當圓上有n個點時,每個點連接(n-1)條線,所以線段的數(shù)量為n(n-1)。因為一條線段的兩個端點都算了一遍,所以還要除以2,也就是說線段的數(shù)量為[n(n-1)2];4個點確定1個圓內(nèi)交點,在n個點中選4個點,第一個點有n個可能,第二個點有(n-1)個可能,第三個點有(n-2)個可能,第四個點有(n-3)個可能,所以總共有n(n-1)(n-2)(n-3)個圓內(nèi)交點。但是這里面會有重復的情況。比如用1、2、3、4這4個數(shù)字任意組合,可以組合成24個四位數(shù),在n個點中任選4個點,在產(chǎn)生交點的過程中,重復數(shù)了24次,所以要再除以24。故圓內(nèi)交點的數(shù)量就為[n(n-1)(n-2)(n-3)24]。所以,在圓上取n個點時,所有點之間的連線最多可以把圓分成1+[n(n-1)2]+[n(n-1)(n-2)(n-3)24]份,我的猜想得到了驗證。

        小伙伴們,我們都切過蛋糕,在這個看似很平常的操作背后,你有沒有發(fā)現(xiàn)蘊含在里面的玄機?我想,只要我們平時留心觀察,深入思考,就一定能感受到數(shù)學的無窮魅力。

        教師點評

        都說數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活。生活中的切蛋糕現(xiàn)象引發(fā)了小作者的思考,從而把生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題,從“數(shù)”與“形”兩個維度對這個數(shù)學問題進行了深度探究與思考。其思考的深度遠遠超過了一個七年級學生該有的水平。是什么讓他如此執(zhí)著地思考呢?相信這源于數(shù)學無窮的魅力,也源于他對數(shù)學的興趣與熱愛,更源于他善于用數(shù)學的眼光來觀察世界。羅丹說:“生活中從不缺少美,只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛?!?希望同學們都能擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美的眼睛,去探索更多的數(shù)學奧妙。

        (指導教師:章薇薇)

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