代雪峰 貢同

(東北大學(xué)理學(xué)院,沈陽 110819)

通過將馬約拉納束縛態(tài)側(cè)耦合到主通道中的量子點(diǎn),從理論上研究了T 形雙量子點(diǎn)體系的輸運(yùn)性質(zhì).結(jié)果表明,調(diào)整側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)和量子點(diǎn)-馬約拉納束縛態(tài)耦合方式,可以在線性輸運(yùn)區(qū)觀察到馬約拉納束縛態(tài)與T 形雙量子點(diǎn)解耦的現(xiàn)象.引入鐵磁性電極后,電導(dǎo)平臺(tái)的出現(xiàn)或損壞明顯依賴于體系中磁場(chǎng)與電極極化方向的差異,而馬約拉納束縛態(tài)的解耦現(xiàn)象仍然穩(wěn)固.本工作有助于進(jìn)一步詮釋T 形雙量子點(diǎn)體系中馬約拉納束縛態(tài)的解耦現(xiàn)象,為深入認(rèn)知以及探測(cè)馬約拉納束縛態(tài)提供理論支持.

1 引言

由于具有獨(dú)特的物理性質(zhì)并在量子計(jì)算方向具有潛在應(yīng)用價(jià)值,量子點(diǎn)一直是凝聚態(tài)物理和量子力學(xué)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一[1-3].相較于單個(gè)量子點(diǎn),量子點(diǎn)分子為輸運(yùn)過程提供了多種路徑,其中量子干涉性質(zhì)在調(diào)節(jié)輸運(yùn)特性方面起重要作用[4-8].目前為止,研究者已經(jīng)在量子點(diǎn)分子體系中觀察到了多種有趣的現(xiàn)象及物理效應(yīng),如Fano 效應(yīng)[9-11]、Fano-Kondo 效應(yīng)[12,13]、Aharonov-Bohm效應(yīng)[14]、Dicke 效應(yīng)[15,16]等.在量子點(diǎn)分子中,T 形雙量子點(diǎn)是比較典型的體系.當(dāng)該量子點(diǎn)的能級(jí)調(diào)至體系費(fèi)米能級(jí)時(shí),由于發(fā)生反共振,可以觀察到明顯的Fano 效應(yīng).基于這一原因,T 形雙量子點(diǎn)體系有助于提高電子的可控性及熱電性能[17,18].此外,在側(cè)向耦合的量子點(diǎn)中考慮磁性機(jī)制,能夠?qū)崿F(xiàn)高效的自旋極化[19].除了Fano 效應(yīng)引起的物理特性外,T 形雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)也會(huì)誘導(dǎo)新的電子關(guān)聯(lián)特性,如二階Kondo 效應(yīng).隨著體系溫度的降低,電導(dǎo)趨于穩(wěn)定,但繼續(xù)降低溫度則會(huì)抑制電導(dǎo)幅值[20].

近年來,隨著馬約拉納束縛態(tài)的成功制備[21-24],該束縛態(tài)和量子點(diǎn)在介觀電路中的相互作用也得到了研究者的廣泛關(guān)注[25-27].諸多結(jié)果表明,馬約拉納束縛態(tài)通過與量子點(diǎn)耦合可以明顯影響電導(dǎo)性質(zhì),能夠?qū)е码妼?dǎo)幅值急劇下降至原來的 1/2[28-30].當(dāng)馬約拉納束縛態(tài)通過量子點(diǎn)與電極間接耦合時(shí),可以通過改變量子點(diǎn)能級(jí)來控制局域和交叉的Andreev 反射,這直接實(shí)現(xiàn)了馬約拉納束縛態(tài)可控的非局域輸運(yùn)過程[31-33].更重要的是,通過引入新的群流不動(dòng)點(diǎn),馬約拉納束縛態(tài)對(duì)Kondo 關(guān)聯(lián)也起到了重要調(diào)控作用[34,35].由于馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)之間的相互作用能夠產(chǎn)生典型的輸運(yùn)特征,量子點(diǎn)系統(tǒng)也被廣泛認(rèn)為是探測(cè)馬約拉納束縛態(tài)的理想候選者.

鑒于T 形雙量子點(diǎn)的特殊輸運(yùn)性質(zhì),可以考慮到研究耦合馬約拉納束縛態(tài)的T 形雙量子點(diǎn)體系的量子輸運(yùn)性一定會(huì)得到豐富而有趣的結(jié)果,這一方案已經(jīng)得到了初步的驗(yàn)證[36,37].本文根據(jù)現(xiàn)有的研究進(jìn)展,研究T 形雙量子點(diǎn)體系中一個(gè)馬約拉納束縛態(tài)橫向耦合主通道中量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)的輸運(yùn)行為.計(jì)算結(jié)果表明,在線性輸運(yùn)狀態(tài)下,無論馬約拉納束縛態(tài)存在與否,側(cè)耦合量子點(diǎn)仍然對(duì)輸運(yùn)性質(zhì)起著重要的調(diào)制作用.具體地說,當(dāng)側(cè)耦合量子點(diǎn)的能級(jí)達(dá)到體系費(fèi)米能級(jí)時(shí),馬約拉納束縛態(tài)將與T 形雙量子點(diǎn)解耦,對(duì)電導(dǎo)譜沒有貢獻(xiàn).線性電導(dǎo)隨馬約拉納束縛態(tài)間耦合方式的不同表現(xiàn)出不同的性質(zhì).在馬約拉納零模的情況下,當(dāng)側(cè)耦合量子點(diǎn)的能級(jí)離開費(fèi)米能級(jí)時(shí),其電導(dǎo)值仍為e2/(2h).而一旦馬約拉納束縛態(tài)之間出現(xiàn)耦合,總是與無馬約拉納束縛態(tài)的情況相同,導(dǎo)致馬約拉納束縛態(tài)的影響被消除.引入鐵磁性電極后,電導(dǎo)平臺(tái)的出現(xiàn)或損壞明顯依賴于體系中磁場(chǎng)與電極極化方向的差異,而馬約拉納束縛態(tài)的解耦現(xiàn)象仍然穩(wěn)固.本工作有助于進(jìn)一步詮釋T 形雙量子點(diǎn)體系中馬約拉納束縛態(tài)的解耦現(xiàn)象.

2 理論模型

本文研究的T 形雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示,其中一個(gè)馬約拉納束縛態(tài)與隧穿主通道中的量子點(diǎn)耦合.

圖1 (a) T 形雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)示意圖.主通道中量子點(diǎn)側(cè)耦合馬約拉納束縛態(tài)(標(biāo)為 η1),馬約拉納束縛態(tài)出現(xiàn)在受縱向磁場(chǎng)和超導(dǎo)鄰近效應(yīng)影響且具有強(qiáng)自旋-軌道相互作用的納米線的末端.(b) 普通電極條件下,Nambu 表象中T 形雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)自旋向上示意圖.量子點(diǎn)的電子、空穴以及馬約拉納束縛態(tài)部分用不同的顏色表示Fig.1.(a) Schematic of a T-shaped double-quantum-dot (TDQD) structure with the quantum dot (QD) in the main channel coupling to the first Majorana bound state (MBS) which is labeled as η1 .The MBSs are assumed to generate at the ends of the one-dimensional nanowire with strong spin-orbit interaction which suffers from longitudinal magnetic field and superconducting proximity effect.(b) Spin-up illustration of our considered TDQDs in the Nambu representation.The electron and hole parts of the QDs and the MBS part are colored differently for comparison.

體系的哈密頓量寫為H=HC+HDM+HT.其中HC為金屬電極的哈密頓量,本文假定電極由二維電子氣體組成,則

HDM表示量子點(diǎn)、馬約拉納束縛態(tài)及二者耦合的哈密頓量,寫為

其中Vαkσ是量子點(diǎn)和電極之間的耦合系數(shù),實(shí)驗(yàn)上可通過調(diào)整柵極電壓對(duì)其進(jìn)行調(diào)諧.

為計(jì)算電流,必須得到延遲和小于格林函數(shù)的表達(dá)式.延遲格林函數(shù)可以由Dyson 方程得到.經(jīng)過簡(jiǎn)單的推導(dǎo),可以得出非相互作用情況下的延遲格林函數(shù):

其中I為單位矩陣,HDM是量子點(diǎn)和馬約拉納束縛態(tài)形成散射中心的哈密頓量矩陣,具體形式為

接下來,當(dāng)計(jì)入量子點(diǎn)內(nèi)庫侖相互作用時(shí),格林函數(shù)應(yīng)該做近似處理.對(duì)于庫侖相互作用,通?？梢杂肏ubbard-I 近似求解延遲格林函數(shù)[39].在該近似下,格林函數(shù)矩陣唯一變化的是對(duì)角元,

通過將格林函數(shù)代入(4)式,左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)中的電子電流為

本文將重點(diǎn)考察線性電導(dǎo),來描述該體系的輸運(yùn)性質(zhì).

3 計(jì)算結(jié)果與討論

基于上述理論和公式,下面具體展示T 形雙量子點(diǎn)體系側(cè)耦合馬約拉納束縛態(tài)的輸運(yùn)特性.同時(shí),為詳細(xì)描述側(cè)耦合量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)的相互影響,取ε1=0 .與此同時(shí),馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)中不同自旋態(tài)的耦合設(shè)為(λ↓,λ↑)=λ(cosθ/2,sinθ/2),θ為超導(dǎo)納米線中磁場(chǎng)與左電極極化方向的夾角.首先從無相互作用的正常電極情況出發(fā),描述該體系的基本物理性質(zhì).根據(jù)上述理論,接下來首先考慮無相互作用的情況.通過寫出Tσ(E) 的解析表達(dá)式,可以闡明該體系中的主要輸運(yùn)行為.通過求解(5)式中的延遲格林函數(shù)矩陣,可以得到隧穿函數(shù)表達(dá)式為

這意味著在ε2=εm條件下,E=±εm位置T↑(E)等于0,這正好與反共振現(xiàn)象相對(duì)應(yīng).

由(12)式得到Tσ(E=0) 可以簡(jiǎn)化為

(16)式表明,當(dāng)量子點(diǎn)2 的能級(jí)達(dá)到系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí)時(shí),不同自旋的電子輸運(yùn)性質(zhì)將被抑制.此外,當(dāng)能級(jí)偏離零點(diǎn)時(shí),由(13)式可以得到T↑(E=0)=因此,當(dāng)一個(gè)馬約拉納束縛態(tài)單獨(dú)側(cè)向耦合到主通道的量子點(diǎn)時(shí),一旦側(cè)耦合量子點(diǎn)的能級(jí)偏離零點(diǎn),上自旋電子的線性電導(dǎo)值將等于 1/2 .

圖2 描述了該情況下的線性電導(dǎo)曲線,其中相應(yīng)參數(shù)設(shè)定為Γ0=t0=0.5 .為了便于比較,圖2(a)給出了下自旋線性電導(dǎo)譜.這一結(jié)果為普通T 形量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)的電導(dǎo),多年來已被研究者所熟知.從圖2(b)中可以看到,在馬約拉納束縛態(tài)存在的情況下,ε2=0 的臨界態(tài)電導(dǎo)值減小到零,而在其他能量區(qū)間,電導(dǎo)值都為 1/2 .改變量子點(diǎn)和馬約拉納束縛態(tài)的耦合方式,T 形雙量子點(diǎn)體系中的電導(dǎo)譜變化不大,這一結(jié)果可以用(15)式證明.相反,在εm不為0 的情況下,量子點(diǎn)2 的能級(jí)對(duì)電導(dǎo)譜的影響明顯,如圖2(c)和圖2(d)所示.值得注意的是,在ε2=0 的情況下,電導(dǎo)值始終等于零.此外,電導(dǎo)結(jié)果與量子點(diǎn)-馬約拉納束縛態(tài)耦合及馬約拉納束縛態(tài)間耦合變化無關(guān).通過簡(jiǎn)單推導(dǎo),可以得到εm不為0,E=0 條件下的T↑(E=0)為

圖2 不同條件下的線性電導(dǎo)曲線 (a)下自旋的電導(dǎo);(b)—(d) εm=0,0.1,0.5 時(shí)上自旋的電導(dǎo)Fig.2.Linear-conductance curves in different cases:(a) Spin-down result of the linear conductance;(b)-(d) spin-up conductance inthe cases of εm=0,0.1,0.5.

可以看出,該結(jié)果與εm和λ無關(guān),且與T↓(E=0)相同.因此,對(duì)于εm不為0 的情況,在零偏壓極限條件下,馬約拉納束縛態(tài)與主通道中的量子點(diǎn)解耦.所以可以了解到在T 形雙量子點(diǎn)體系中,馬約拉納束縛態(tài)的作用與側(cè)耦合量子點(diǎn)和馬約拉納束縛態(tài)間耦合密切相關(guān).對(duì)于ε2=0或εm不為0 的典型情況,馬約拉納束縛態(tài)的影響被完全抑制,否則就會(huì)產(chǎn)生與側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)無關(guān)的電導(dǎo)平臺(tái),因此,可以通過調(diào)整側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)或馬約拉納束縛態(tài)間耦合來消除馬約拉納束縛態(tài)的影響.這也正是T 形雙量子點(diǎn)體系中量子點(diǎn)和馬約拉納束縛態(tài)之間特殊的相互作用方式,這一結(jié)果有助于了解馬約拉納束縛態(tài)的輸運(yùn)性質(zhì).

接下來,對(duì)由馬約拉納束縛態(tài)驅(qū)動(dòng)的輸運(yùn)結(jié)果進(jìn)行解釋.首先,在Nambu 表象中繪制出該體系的示意圖,如圖1(b)所示.不難發(fā)現(xiàn),該結(jié)構(gòu)是由3 個(gè)T 形部分串聯(lián)構(gòu)成的,分別是量子點(diǎn)中的電子、空穴和馬約拉納束縛態(tài)區(qū)域.值得注意的是,T 形介觀結(jié)構(gòu)的特征必然對(duì)輸運(yùn)行為起著調(diào)制作用.也就是說,側(cè)耦合部分的能級(jí)通過誘導(dǎo)相消量子干涉來調(diào)節(jié)輸運(yùn)結(jié)果.

按照這一思路開展討論,首先重新寫出延遲格林函數(shù)的表達(dá)式,即

從(18)式可以看出量子點(diǎn)2 在結(jié)構(gòu)中起到主要作用.在E=ε2的情況下,Grdd,e↑將接近于零并且禁止隧穿,這與是否存在馬約拉納束縛態(tài)無關(guān).究其原因,應(yīng)歸結(jié)于側(cè)耦合量子點(diǎn)引起的相消干涉.這一結(jié)果有助于解釋電導(dǎo)結(jié)果.ε2=0 時(shí),零偏壓處電導(dǎo)峰值消失.同時(shí),在E=-ε2的條件下,由于對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)Grdd,h↑→0,量子點(diǎn)1 的空穴態(tài)將與馬約拉納束縛態(tài)解耦.此時(shí),可以清楚地觀察到馬約拉納束縛態(tài)的相消干涉.如果εm=ε2,將趨于無窮.這表明在電子輸運(yùn)過程中,馬約拉納束縛態(tài)會(huì)導(dǎo)致相消干涉.另一方面,對(duì)于E=0的結(jié)果可以看到當(dāng)εm不為0 時(shí),有=0,表明馬約拉納束縛態(tài)的影響消失,與量子點(diǎn)-馬約拉納束縛態(tài)耦合及馬約拉納束縛態(tài)間耦合無關(guān).在馬約拉納零模條件下,

基于上述結(jié)果,下面考慮鐵磁性電極情況下電導(dǎo)譜的性質(zhì),目的在于考察馬約拉納束縛態(tài)解耦現(xiàn)象的新性質(zhì).分別計(jì)算自旋平行結(jié)構(gòu)(P 型)和反平行結(jié)構(gòu)(AP 型)的電導(dǎo),相應(yīng)參數(shù)仍設(shè)定為t0=0.5 .同時(shí),取pα=p=0.5 .在此基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步計(jì)算電導(dǎo)性質(zhì).

圖3 分別討論了參數(shù)εm和λ對(duì)線性電導(dǎo)的影響.從圖中可以看到,鐵磁性電極條件下,如果θ=0,量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)的耦合變化對(duì)電導(dǎo)譜沒有影響,該結(jié)論與非鐵磁性電極耦合所得的結(jié)論相同,如圖3(a)—(d)所示.圖3(a)和圖3(b)為自旋平行電導(dǎo)譜,圖3(c)和圖3(d)為自旋反平行電導(dǎo)譜.從電導(dǎo)結(jié)果可以看到,無論是自旋平行還是反平行情況,線性電導(dǎo)與非鐵磁性電極時(shí)的電導(dǎo)值大體一致.上自旋電導(dǎo)在εm=0 時(shí)表現(xiàn)為穩(wěn)定值,只在ε2=0 處迅速降為零值,呈現(xiàn)出極窄的電導(dǎo)谷.εm不為0 時(shí),電導(dǎo)值在ε2=0 時(shí)降低至零,隨著 |ε2| 的增加,電導(dǎo)值緩慢增加.下自旋電導(dǎo)由于不受馬約拉納束縛態(tài)間影響而始終呈現(xiàn)出常規(guī)T 形量子點(diǎn)的線性電導(dǎo)譜結(jié)果.值得注意的是,由于鐵磁性電極的自旋極化,不同自旋的電導(dǎo)譜表現(xiàn)出一定差別.圖3(a)中電導(dǎo)平臺(tái)值為0.5,而圖3(c)中電導(dǎo)平臺(tái)值不到0.4.原因在于,自旋反平行情況下,量子點(diǎn)中的自旋態(tài)與左右電極耦合強(qiáng)度不相等,從而導(dǎo)致電導(dǎo)平臺(tái)值小于0.5.另外,εm不為0 情況下,自旋平行時(shí)上自旋電導(dǎo)幅值要比下自旋高,而反平行時(shí),不同自旋的電導(dǎo)值表現(xiàn)出相等結(jié)果.這均源自兩種自旋構(gòu)型中不同自旋態(tài)與電極耦合方式的差異.當(dāng)θ取作非零值時(shí),上、下自旋電導(dǎo)譜表現(xiàn)性質(zhì)相似(見圖3(e)—(h)).εm=0 時(shí),電導(dǎo)平臺(tái)消失,電導(dǎo)值隨著 |ε2| 的增加而增加,且在ε2=0 附近電導(dǎo)值快速降為零.εm不為0 時(shí),自旋平行和自旋反平行電導(dǎo)譜與θ=0 時(shí)電導(dǎo)譜完全相同.原因在于馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)的兩種自旋態(tài)同時(shí)解耦.該結(jié)果初步顯示出鐵磁性電極情況下,量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)的耦合變化對(duì)電導(dǎo)譜存在一定影響,然而當(dāng)εm不為0 時(shí),電導(dǎo)值同樣不隨εm的改變發(fā)生變化.

圖3 ε1=0 時(shí)不同參數(shù)取值下的鐵磁性電極體系的線性電導(dǎo)譜 (a),(b) θ=0 時(shí)的自旋平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜;(c),(d) θ=0 時(shí)的自旋反平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜;(e),(f) θ=0.5π 時(shí)的自旋平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜;(g),(h) θ=0.5π 時(shí)的自旋反平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜Fig.3.Linear conductance spectra of the TDQD system with ferromagnetic leads when ε1=0 :(a),(b) Linear conductances in the P spin configuration with θ=0 ;(c),(d) linear conductances in the AP spin configuration with θ=0 ;(e),(f) linear conductances in the P spin configuration with θ=0.5π ;(g),(h) linear conductance in the AP spin configurations with θ=0.5π .

為進(jìn)一步理解該T 形結(jié)構(gòu)的輸運(yùn)性質(zhì),對(duì)磁電阻進(jìn)行了討論,其定義為 MR=(GP-GAP)/GP,譜線結(jié)果如圖4 所示.從圖4(a)可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)磁電阻譜線結(jié)構(gòu)較為特殊.θ=0 時(shí),磁電阻譜線表現(xiàn)為單峰雙谷的結(jié)構(gòu).當(dāng)ε2離開零值時(shí),磁電阻幅值迅速減小,并出現(xiàn)負(fù)值,后續(xù)當(dāng)ε2≥0.5 時(shí),變化方式發(fā)生反轉(zhuǎn),而且隨著 |ε2| 的增加單調(diào)變化.這種變化隨著θ的增大逐漸減弱,直到θ=0.5π 的情況.接下來,θ的繼續(xù)增加有效改變了磁電阻的變化方式.θ=0.75π 時(shí),隨著ε2離開能量零點(diǎn),磁電阻值增大,達(dá)到峰值后,單調(diào)遞減.此結(jié)果反映了該體系獨(dú)特的磁電阻性質(zhì).另一方面,如果εm不為0,由于馬約拉納束縛態(tài)的解耦,磁電阻不再隨θ改變.

圖4 ε1=0,λ=0.1 時(shí)鐵磁性電極條件下T 型雙量子點(diǎn)體系 的磁電阻(a) εm=0 時(shí)的磁電阻;(b)εm=0.1時(shí)的磁電阻Fig.4.Magnetoresistance (MR) of the TDQD system with ferromagnetic leads when ε1=0,λ=0.1 :(a) MR in the case of εm=0 ;(b) MR in the case of εm=0.1 .

與圖1(b)類似,圖5 給出了鐵磁性電極條件下,T 形結(jié)構(gòu)在Nambu 表象中的圖示.盡管該結(jié)構(gòu)相比普通電極情況更為復(fù)雜,但是可以看出,該圖示仍然表現(xiàn)出T 形結(jié)構(gòu)的特點(diǎn).無論結(jié)構(gòu)如何變化,在εm不為0 情況下,馬約拉納束縛態(tài)在零能極限將完全局域化,從而與量子點(diǎn)體系解耦.另一方面,如果εm=0,且λ↑與λ↓均存在,馬約拉納束縛態(tài)有機(jī)會(huì)為相反自旋的Andreev 反射提供通道,并使兩種自旋的電子隧穿相互關(guān)聯(lián).電子隧穿路徑的復(fù)雜必然導(dǎo)致電導(dǎo)平臺(tái)的損壞,從而呈現(xiàn)出如圖3 所示的結(jié)果.

圖5 Nambu 表象中耦合鐵磁性電極的T 形雙量 子點(diǎn)結(jié)構(gòu)示意圖.量子點(diǎn)的電子、空穴以及馬約拉納束縛態(tài)部分用不同的顏色表示Fig.5.Illustration of our considered TDQDs with ferromagnetic leads in the Nambu representation.The electron and hole parts of the QDs and the MBS part are colored differently for comparison.

圖6 所示為弱庫侖相互作用情況下,線性電導(dǎo)譜的表現(xiàn)特點(diǎn),其中參數(shù)分別取為ε1=0,εm=0 .此時(shí),取U1=0 .從圖6 可以看出,當(dāng)電子相關(guān)效應(yīng)較弱時(shí),由于使用Hubbard-I 近似處理哈密頓量中的庫侖項(xiàng),量子點(diǎn)的能級(jí)分裂為εj和εj+Uj.相應(yīng)地,在馬約拉納零模條件下,電子相互作用使得θ=0 情況下上自旋電導(dǎo)值在ε2=-U2時(shí)電導(dǎo)譜出現(xiàn)了一個(gè)新的下降,如圖6(a)所示,這是因?yàn)镠ubbard-I 近似中庫侖斥力引起了能級(jí)分裂.在其他能量區(qū)間,電導(dǎo)平臺(tái)仍然存在.另一方面,下自旋的電導(dǎo)呈現(xiàn)出相反的結(jié)果,電導(dǎo)的大小隨ε2的變化而變 化,在ε2=0和-U2時(shí)發(fā)生反 共振 現(xiàn)象.兩個(gè)反共振之間出現(xiàn)了新的電導(dǎo)峰,其寬度取決于庫侖強(qiáng)度,如圖6(b)所示.接下來在圖6(c)和圖6(d)中也可以看到類似結(jié)果.θ=0.5π 的結(jié)果由圖6(e)和圖6(h) 給出,可以看出,在弱庫侖相互作用下線性電導(dǎo)的不同自旋分量呈現(xiàn)出相似變化.在ε2=0和-U2處出現(xiàn)電導(dǎo)的突然下降并且為零.二者之間出現(xiàn)新的電導(dǎo)峰.值得注意的是,電導(dǎo)的極值仍然與無相互作用情況一致.因此,弱庫侖相互作用情況下,馬約拉納束縛態(tài)仍然與T 形雙量子點(diǎn)解耦.在弱庫侖相互作用范圍,側(cè)耦合量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)之間的相互作用在改變電導(dǎo)性質(zhì)方面基本與無相互作用的情況一致.所以,通過調(diào)整側(cè)耦合量子點(diǎn)的能級(jí),依舊可以觀察到馬約拉納束縛態(tài)的解耦現(xiàn)象.值得注意的是,與無相互作用情況相比,電導(dǎo)譜在ε2=0和-U2兩處下降變得顯著.原因在于,庫侖相互作用的增加,有效強(qiáng)化了側(cè)耦合量子點(diǎn)的作用.

圖6 ε1=0,εm=0,U2=0.1,0.2,0.5 時(shí)鐵磁性電極體系中存在庫侖相互作用時(shí)的線性電導(dǎo)譜線 (a),(b) θ=0 時(shí)自旋平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜;(c),(d) θ=0 時(shí)自旋反平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo) 譜;(e),(f) θ=0.5π 時(shí)自旋平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜;(g),(h) θ=0.5π 時(shí)自旋反平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜Fig.6.Linear conductance spectra of the system with ferromagnetic leads when ε1=0,εm=0,U2=0.1,0.2,0.5 :(a),(b) Linear conductances in the P spin configuration with θ=0 ;(c),(d) linear conductances in the AP spin configuration with θ=0 ;(e),(f) linear conductances in the P spin configuration with θ=0.5π ;(g),(h) linear conductances in the AP spin configuration with θ=0.5π .

當(dāng)T 形雙量子點(diǎn)體系中的庫侖斥力遠(yuǎn)大于其他參數(shù)時(shí),如果量子點(diǎn)能級(jí)低于系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí),則會(huì)發(fā)生電子關(guān)聯(lián),即Kondo 效應(yīng).這種情況下,Hubbard-I 近似不再適用,需要選擇更精確的方法.根據(jù)前人的工作,NRG 方法是描述量子點(diǎn)中電子關(guān)聯(lián)的理想方法[40],因此,在這一部分,將嘗試使用NRG 方法進(jìn)一步研究體系的輸運(yùn)性質(zhì),并取U1=0.首先,定義另一個(gè)能量單位,即電極的半帶寬D.進(jìn)而利用全密度矩陣NRG 方法來研究由Kondo 效應(yīng)調(diào)制的電導(dǎo)性質(zhì),具體計(jì)算通過斯洛文尼亞Zitko 編寫的軟件完成[41].使用NRG 方法進(jìn)行迭代過程中,選取電極的對(duì)數(shù)離散參數(shù)Λ=4,在每次迭代對(duì)角化步驟中保持能量最低的6000 個(gè)狀態(tài),最低溫度取為Tmin=10-24D.此外,為了實(shí)現(xiàn)NRG 計(jì)算,需要通過奇偶基向量變換對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化,并采用z-平均方法消除迭代過程中的奇偶誤差.

圖7 給出了側(cè)面量子點(diǎn)中存在強(qiáng)庫侖相互作用時(shí)的線性電導(dǎo)譜,相關(guān)參數(shù)選取為tc=λ=2Γ0=0.1D,U2=D,δ2=ε2+U2/2 .從圖 7 很容易看出,盡管電極改換為鐵磁性電極,而且極化方向也分為自旋平行和反平行兩種情況,但隨著量子點(diǎn)2 能級(jí)的改變,兩種自旋電導(dǎo)幅值基本上與無相互作用的結(jié)果相似.對(duì)于電導(dǎo)譜線的結(jié)構(gòu),與普通金屬電極的情況也相對(duì)接近.由于Kondo 效應(yīng)的出現(xiàn),電導(dǎo)譜關(guān)于δ2=0 處對(duì)稱.首先,對(duì)于εm=0的情況,圖7(a)表明,除了δ2=0 處電導(dǎo)值有下降外,其他位置上自旋的電導(dǎo)值等于 1/2 .原因在于,在臨界點(diǎn)處,量子點(diǎn)2 的Kondo 能級(jí)非常接近系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí),會(huì)引起相消干涉,從而消除馬約拉納束縛態(tài)的影響.也可以理解為量子點(diǎn)2 與主通道形成了穩(wěn)定的自旋單態(tài),從而有效抑制了電導(dǎo)幅值.當(dāng)δ2≠0 時(shí),量子點(diǎn)1 中的上自旋電子只受馬約拉納束縛態(tài)的影響而不受側(cè)耦合量子點(diǎn)的影響,因此出現(xiàn)了平穩(wěn)的電導(dǎo)值.相比之下,下自旋電導(dǎo)在 |δ2|≤0.5D區(qū)域出現(xiàn)了寬的反共振谷(見圖7(b)),在這一區(qū)域外,電導(dǎo)值隨 |δ2| 的增加而增加,電導(dǎo)被抑制是由于側(cè)耦合量子點(diǎn)引起了Kondo 效應(yīng).Kondo 效應(yīng)發(fā)生時(shí),主通道中下自旋的電子與量子點(diǎn)2 中的上自旋的電子相互作用,形成自旋單重態(tài),不可避免地削弱了電子輸運(yùn).圖7(c)和圖7(d)為兩電極中自旋極化相反的結(jié)果,可以看出,兩種自旋對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)譜變化規(guī)律與圖7(a)和圖7(b)相似,上自旋電導(dǎo)譜在δ2≠0 處表現(xiàn)為穩(wěn)定的平臺(tái),而下自旋的電導(dǎo)譜在 |δ2|≤0.5D出現(xiàn)明顯的反共振谷.然而,與自旋極化平行情況不同的是,此時(shí)的電導(dǎo)幅值均有所下降.原因在于,兩種自旋態(tài)都是處于左右非對(duì)稱耦合的環(huán)境.綜上可以得出結(jié)論,無論電極條件如何變化,量子點(diǎn)中的庫侖相互作用是否增強(qiáng),在馬約拉納非零模的情況下,馬約拉納束縛態(tài)均會(huì)與量子點(diǎn)體系解耦.而在馬約拉納零模情況下,有機(jī)會(huì)觀察到清晰的電導(dǎo)平臺(tái).

圖7 λ=0.1D 時(shí)鐵磁性電極耦合體系中Kondo 區(qū)內(nèi)量子點(diǎn)側(cè)耦合馬約拉納束縛態(tài)的線性電導(dǎo)譜 (a),(b)自旋平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜;(c),(d)自旋反平行結(jié)構(gòu)線性電導(dǎo)譜Fig.7.When λ=0.1D,linear conductances in the case of ferromagnetic leads,due to the side-coupled QD in the Kondo regime:(a),(b) Linear conductances in the P spin configuration;(c),(d) linear conductances in the AP spin configuration.

最后,有必要預(yù)測(cè)無限U條件下Kondo 效應(yīng)對(duì)輸運(yùn)性質(zhì)的影響.當(dāng)側(cè)耦合量子點(diǎn)的庫侖強(qiáng)度增大到無窮大時(shí),可以定性地描述量子點(diǎn)的輸運(yùn)結(jié)果.根據(jù)隸玻色子平均場(chǎng)理論[42],側(cè)耦合量子點(diǎn)的重整化Kondo 能級(jí)在零偏壓極限處即零點(diǎn)能處接近費(fèi)米能級(jí),這可以得到零偏壓輸運(yùn)的結(jié)果,也就是說,側(cè)耦合量子點(diǎn)通過誘導(dǎo)相消干涉來調(diào)制電子輸運(yùn).無論馬約拉納零模或非零模式,馬約拉納束縛態(tài)都將與T 形雙量子點(diǎn)解耦.同時(shí),也可以確定,鐵磁性電極帶來的特殊電導(dǎo)結(jié)果也將得以保存.

4 結(jié)論

通過引入馬約拉納束縛態(tài)側(cè)耦合到主通道的量子點(diǎn)中,對(duì)T 形雙量子點(diǎn)體系中的輸運(yùn)特性進(jìn)行了研究.結(jié)果表明,在該體系中,側(cè)耦合量子點(diǎn)在很大程度上決定了馬約拉納束縛態(tài)的影響.這表現(xiàn)為當(dāng)側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)達(dá)到費(fèi)米能級(jí)時(shí),馬約拉納束縛態(tài)傾向于與T 形雙量子點(diǎn)解耦,馬約拉納束縛態(tài)對(duì)電導(dǎo)譜無貢獻(xiàn),這種結(jié)果在弱庫侖相互作用以及Kondo 區(qū)間都可以觀察到.另外,當(dāng)側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)遠(yuǎn)離費(fèi)米能級(jí)時(shí),線性電導(dǎo)與馬約拉納束縛態(tài)間耦合方式密切相關(guān).首先,存在馬約拉納零模時(shí),線性電導(dǎo)值表現(xiàn)為恒定值,與側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)無關(guān).但如果存在馬約拉納束縛態(tài)間耦合,線性電導(dǎo)始終與無馬約拉納束縛態(tài)情況相同.因此,與其他量子點(diǎn)體系不同,T 形雙量子點(diǎn)體系中,馬約拉納束縛態(tài)對(duì)線性電導(dǎo)的影響可以完全調(diào)控,這取決于側(cè)耦合量子點(diǎn)能級(jí)和量子點(diǎn)-馬約拉納束縛態(tài)耦合方式.如果電極換作鐵磁性電極,電導(dǎo)平臺(tái)的出現(xiàn)或損壞依賴于體系中磁場(chǎng)與電極極化方向的差異,不同自旋的電導(dǎo)譜也將呈現(xiàn)明顯變化,然而解耦現(xiàn)象仍然穩(wěn)固.因此,鐵磁性電極更有助于深入了解T 形雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)中馬約拉納束縛態(tài)的解耦現(xiàn)象.