王立

【摘? ?要】模型意識主要是指對數(shù)學模型普適性的初步感悟。建立模型的過程其實就是將實際問題數(shù)學化、同類問題模型化的過程，這個過程一般需要通過數(shù)學化的多表征來實現(xiàn)。教師結合人教版教材三年級上冊“歸一問題”的應用練習，對數(shù)學表征在學生模型意識發(fā)展中的應用及意義進行分析和實踐，通過“從情景表達到關系理解，借助語言表征感受模型；從數(shù)據(jù)分析到圖式表達，借助圖像表征理解模型；從文字表述到操作活動，借助動作表征具化模型；從形象表述到抽象表達，借助形式表征感悟模型”，引導學生在解決“歸一問題”的過程中，經(jīng)歷不同的表征體驗，豐富對數(shù)學模型的建構，在幫助學生解決問題的同時，發(fā)展其模型意識。

【關鍵詞】數(shù)學表征；模型意識；歸一問題

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出：模型意識主要是指對數(shù)學模型普適性的初步感悟。應用模型意識的基本途徑是知道利用數(shù)學模型來解決同一類問題，然后有意識地用數(shù)學的概念與方法解釋或解決現(xiàn)實生活中大量與數(shù)學有關的問題。因此，建立模型的過程其實就是將實際問題數(shù)學化、同類問題模型化的過程。要讓學生體會數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，要引導學生將情境問題轉化為數(shù)學問題，在所要建立的數(shù)學模型與自身已有的數(shù)學認知之間建立聯(lián)系，而這個過程一般需要通過數(shù)學化的多元表征來實現(xiàn)。

一、數(shù)學表征在發(fā)展學生模型意識中的意義

數(shù)學學習中，對概念、法則、運算等方面的學習，既包括內隱的心理層面的知識整合與建構，也包括外顯的能夠呈現(xiàn)認知過程和認知結果的多樣化數(shù)學表達，這些過程即為數(shù)學表征。學生只有獲得這兩個方面的體驗，才能真正掌握知識的學習。

根據(jù)數(shù)學表征中的不同要素，可以將數(shù)學表征分為直觀形象表征和抽象形式表征兩類。直觀形象表征一般包括動作表征、情景表征、圖像表征等，抽象形式表征則一般包括符號表征、算式表征、結構圖表征等。不同的數(shù)學表征體現(xiàn)著學生對問題理解和解決過程的結構化表達水平，反映了他們不同的思維狀態(tài)與水平。在教學過程中，教師需要關注各種表征方式的特點，結合問題關聯(lián)不同的表征方式，幫助學生從整體上把握解決問題的關鍵點，建構起相關問題的數(shù)學模型。

2022年版課標提出發(fā)展小學生的模型意識，強調學生對數(shù)學模型普適性的初步感悟，引導學生經(jīng)歷應用模型或解決問題的過程，從而獲得建構模型的經(jīng)驗。學生要發(fā)展的模型意識一般會涉及模型的豐富表達形式——外在表征、模型的心理表達（表象）形式——內在表征，以及內外表征之間的轉化。因此，要將2022年版課標提出的目標要求落實到教學實踐中，需要教師在學生建構模型的過程中，將多種表征有機融合起來，發(fā)揮各種表征特有的認知、感悟價值，助力學生模型意識的發(fā)展。本文結合人教版教材三年級上冊“歸一問題”的應用練習，對數(shù)學表征在學生模型意識發(fā)展中的應用及意義進行分析和實踐。

二、數(shù)學表征在“歸一問題”模型建構中的應用

“歸一問題”是指含有“歸一”數(shù)量關系的問題，這類問題中，每份量是一定的，總量與數(shù)量成正比例關系。解答“歸一問題”時，在用除法求出每份量后，若通過“每份量×數(shù)量”求總量即為“正歸一”，若通過“總量÷每份量”求數(shù)量則為“反歸一”?！皻w一問題”是一種典型的問題解決數(shù)學模型，是小學階段理解數(shù)學和生活的聯(lián)系，分析和解決問題的重要內容。三年級學生在學習“歸一問題”后，積累了較為豐富的收集信息、分析信息的能力，并能利用“畫圖”等方式理解“歸一問題”的基本特征。下面，筆者結合相應的練習，從數(shù)學表征的角度對“歸一問題”模型的建構與應用過程進行分析和實踐。

（一）從情景表達到關系理解，借助語言表征感受模型

語言表征即利用口頭語言描述模型結構的表征方式。將現(xiàn)實生活情境轉化為數(shù)學問題，是建立“歸一問題”模型的起點，這要求學生利用自己的語言把現(xiàn)實情境轉化為數(shù)學問題，并通過口頭表達對情境中的“歸一問題”結構進行闡述。在這一過程中，學生需要對情景問題中的信息進行觀察、思考、分析和處理，這是感知“歸一問題”模型的基礎。

問題：三個小朋友一起到商店買吉祥物“冰墩墩”。丁丁要買3個，紅紅要買5個，明明要買7個。已知3個冰墩墩的價格是24元，求出5個、7個冰墩墩的價格，以及88元可以買幾個冰墩墩（如表1）。

針對這個問題，學生能理解“先求1個冰墩墩的價格，再求出幾個冰墩墩的價格或能買幾個冰墩墩”的解題過程。但僅僅停留在求解層面，對學生理解“歸一問題”模型是遠遠不夠的。教師需要引導學生用數(shù)學語言把解決問題的關鍵點表述出來，強化學生對“歸一問題”模型結構的感知。教學中，教師要在學生解決相應問題后，組織學生討論：解答“5個、7個冰墩墩的價格”和“88元可以買幾個冰墩墩”這兩個問題的思考過程有什么相同的地方？學生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)：解決這兩類問題都要先算出冰墩墩的單價。這一學習過程引導學生通過口頭交流，借助語言表征的方式凸顯解決問題的關鍵點，體現(xiàn)“歸一問題”中“一份量”的重要性。

（二）從數(shù)據(jù)分析到圖式表達，借助圖像表征理解模型

受認知水平和思維方式的局限，小學生的抽象思維能力較弱，他們需要借助圖形等直觀形象進行表征，由此理解模型。對三年級學生來說，“歸一問題”的結構比較抽象，且由于提供的數(shù)據(jù)不同，會產生不同的模型結構（正歸一、反歸一），這給一部分學生的學習帶來了困難。因此，教師在課堂上要引導學生用畫圖的方式對問題進行結構化表達，從而讓學生理解“歸一問題”模型的基本結構。

問題：王阿姨4分鐘包了128個餛飩。照這樣的速度，王阿姨8分鐘能包多少個餛飩？

在探究這一問題的過程中，教師要鼓勵學生用文字或畫圖的方式將自己的想法表達出來。學生的想法主要有以下兩種。

第一種（如圖1）：先算1分鐘包多少個餛飩，再算8分鐘可以包多少個餛飩，即先算“一份量”，再求“總量”。

第二種（如圖2）：學生發(fā)現(xiàn)8分鐘里面有2個4分鐘，于是利用時間的倍數(shù)關系，把“4分鐘包了128個餛飩”看作“一份量”，算這樣的2份，就是8分鐘包的餛飩數(shù)。

學生通過畫圖的方式對包餛飩的情境進行“轉譯”，發(fā)現(xiàn)要解決“8分鐘包多少個餛飩”的問題，既可以“先算1分鐘包多少個餛飩，再算8分鐘可以包多少個餛飩”，又可以“先把4分鐘包128個餛飩看作1份，再算2份可以包多少個餛飩”。雖然這兩種方法不同，但它們都是在思考“一份量”是多少，再在此基礎上算出“總量”。在畫圖的過程中，學生能夠通過具象化的“圖像表征”，直觀感受到“歸一問題”的多樣結構，豐富對此類數(shù)學模型的認知。

（三）從文字表述到操作活動，借助動作表征具化模型

動作表征是指通過動作反應對知識進行表征。有些數(shù)學模型的構建需要通過動作表征進行描述，而一些復雜問題同樣需要通過操作活動，借助動作表征來理解數(shù)量關系，從而厘清解決問題的關鍵點?！皻w一問題”中也有一些相對復雜的問題，需要學生借助操作活動厘清關系，并將數(shù)學模型具體化，進而解答問題。

問題：周末，小聰和小明兩家人去美術館參觀。已知2名成人和1名兒童需要門票25元。現(xiàn)在有4名成人和2名兒童，需要門票多少元？

在這個問題中，由于成人與兒童的門票價格不同，學生不能算出成人門票和兒童門票的單價，這給他們解決此問題帶來了困難。此時，教師在黑板上呈現(xiàn)人物圖片，讓學生用這些材料進行操作活動。學生通過操作，發(fā)現(xiàn)可以把2名成人和1名兒童看作一個整體，那么4名成人和2名兒童就可以組成2個這樣的整體，此時再解決這個問題就簡單多了。

解決買票問題的關鍵是要把“每份量”從一個、一組上升到多個對象組成的整體。因此，教師要利用可以移動的圖片，引導學生在操作活動中感受數(shù)學模型的結構，豐富“歸一問題”的模型結構，幫助學生積累解決“歸一問題”的活動經(jīng)驗。

（四）從形象表述到抽象表達，借助形式表征感悟模型

所謂形式表征，就是運用符號、數(shù)字及結構化的圖式來表達數(shù)學結構。學生在構建“歸一問題”的模型時，往往只記表象不知內涵。這是因為“歸一問題”的外顯特征比較容易識別，結構中隱含的本質屬性卻不易發(fā)現(xiàn)。所以教師要幫助學生經(jīng)歷符號、數(shù)字以及結構化圖式等形式表征的過程，讓他們發(fā)現(xiàn)不同情境問題中的相同數(shù)學結構，理解“歸一問題”的本質屬性。這一過程不是在某個環(huán)節(jié)中能夠完成的，而是要體現(xiàn)在整節(jié)課的教學過程中。

比如，學生解決了“買冰墩墩”“包餃子”等問題后，既有了把現(xiàn)實情境轉化為自己的語言來理解的經(jīng)驗，又有了利用圖像表達現(xiàn)實情境、理解圖式與現(xiàn)實情境之間關系的經(jīng)驗。此時，教師要將解決這些問題的算式以及思考過程中的關鍵點呈現(xiàn)在黑板上，圍繞這些學習素材，引導學生梳理知識之間的關聯(lián)點，并借助符號、數(shù)字以及結構化的工具進行整理歸納，形成思維過程的結構化。

如圖3所示，圖中的算式與圖式關系都是在分析基礎上得到的。學生通過對黑板上內容的觀察、思考、比較、聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)“歸一問題”中的“一”可以是一個的量，可以是一組的量，還可以是一個整體。這樣的整理歸納借助形式化的表征，能夠幫助學生厘清“歸一問題”的模型結構，同時有助于學生將單一的形象思維轉化為整體的形式化思維，真正理解“歸一問題”模型的內涵。

總之，要讓學生感悟數(shù)學模型的本質，需要引導學生進行多元數(shù)學表征。通過不同表征之間的互譯、聯(lián)結，從復雜的情景中舍去一切非本質屬性，得到探究問題的一般模型，是學生發(fā)展模型意識必須經(jīng)歷的過程。

參考文獻：

［1］席愛勇，李賓.數(shù)學多元表征學習的理論與實踐［M］.南京：南京大學出版社，2018.

［2］程紅霞.以多元表征學習深化學生的數(shù)學理解［J］.小學數(shù)學教師，2021（10）：12-16，2.

（杭州師范大學附屬嘉興經(jīng)開實驗小學）