查周潔 曹駿

【摘? ?要】“植樹問題”是以模型建構(gòu)與應(yīng)用為主線解決問題的典型教學(xué)內(nèi)容。從發(fā)展模型意識的角度出發(fā)，“植樹問題”的教學(xué)目標(biāo)可定位為：體驗數(shù)學(xué)建模的過程，運用模型解決同類問題。教師可通過“解答開放性問題，感知‘植樹問題的情境多樣性；借助直觀圖式，初步理解‘植樹問題的基本模型；結(jié)合圖式比較，整體建構(gòu)‘植樹問題的解答模型”三個層次展開教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合同類問題的解釋或解答，豐富對“植樹問題”模型的認知。

【關(guān)鍵詞】植樹問題；模型建構(gòu)；模型意識；問題解決

“植樹問題”是以模型建構(gòu)與應(yīng)用為主線解決問題的典型教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)實踐中，教師一般會通過現(xiàn)實生活中常見的“植樹問題”，引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖、線段圖等圖式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并抽象規(guī)律，形成數(shù)學(xué)模型，再將模型應(yīng)用于相似、相近的生活問題的解決中。那么，如何幫助學(xué)生理解“植樹問題”的模型？如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷感知、識別、表達、關(guān)聯(lián)、運用等活動過程，建構(gòu)“植樹問題”的模型，發(fā)展模型意識呢？

一、基于模型建構(gòu)的“植樹問題”內(nèi)容解讀

作為一個典型的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)內(nèi)容，“植樹問題”的教學(xué)目標(biāo)可定位為：引導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模的過程，在感受“植樹問題”模型的基礎(chǔ)上，能夠運用模型解決同類問題。不過，這樣的目標(biāo)定位很容易被理解為讓學(xué)生記憶“兩端都種、一端不種、兩端都不種”等固定模式，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)“套用模式，死記公式”的問題。

橫向比較不同版本的教材（如表1）發(fā)現(xiàn)，在“植樹問題”基本內(nèi)容的編寫上，不同版本教材都較為突出“建構(gòu)點段關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”，且都借助直觀示意圖，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者感知“點數(shù)與段數(shù)的關(guān)系”，理解問題中所蘊含的數(shù)量關(guān)系，并在梳理關(guān)系的基礎(chǔ)上建構(gòu)起基本的數(shù)學(xué)模型。

從上表中可以看出，人教版教材在研究“植樹問題”的三種情況時采用了同一個情境，上海版教材采用了兩種不同的情境，蘇教版教材則引入了更為豐富的情境?；谏鲜霰容^、分析，在教學(xué)“植樹問題”時，教師應(yīng)從實際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在分析、思考問題的過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程（建模），體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決簡單實際問題中的應(yīng)用（解模）。在整個“植樹問題”的建模過程中，要突出示意圖、線段圖的教學(xué)價值，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法解決植樹問題，借助示意圖或線段圖進行分析，從而幫助學(xué)生打通“植樹問題”模型與“公交車站設(shè)置問題”“鋸木頭問題”“鐘聲問題”“設(shè)置飲水點問題”“爬樓梯問題”等情境之間的聯(lián)系。由此，確立“植樹問題”的基本學(xué)習(xí)目標(biāo)是解決問題，關(guān)鍵點是理解“點段關(guān)系”模型，并借助多元表征和數(shù)形結(jié)合，促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用過程，形成數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

二、發(fā)展模型意識視角下的“植樹問題”活動設(shè)計與教學(xué)

數(shù)學(xué)模型對小學(xué)生來說較為抽象，其建構(gòu)過程并不是一蹴而就的。教學(xué)中，教師需要遵循學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體驗建構(gòu)模型的全過程，從而發(fā)展學(xué)生的模型意識?；诖?，筆者將“植樹問題”教學(xué)活動的設(shè)計分為以下三個層次。

層次一：解答開放性問題，感知“植樹問題”的情境多樣性

課始，教師呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題：在一條20米長的小路的一邊種樹，每隔5米種1棵，能種幾棵？

學(xué)生通過自主探究，呈現(xiàn)出三種情況：（1）20÷5=4（棵）；（2）20÷5+1=5（棵）；（3）20÷5-1=3（棵）。

這樣的學(xué)習(xí)材料具有開放性，學(xué)生在解決這一問題的過程中，會產(chǎn)生不同的結(jié)果。針對這三種情況，教師要引導(dǎo)學(xué)生重點思考：“同樣一個問題，為什么會出現(xiàn)不同的結(jié)果？”并提出進一步的活動要求：請根據(jù)相應(yīng)的算式，借助學(xué)具動手?jǐn)[擺“種法”，并把擺法用示意圖或線段圖表示出來。因為有了實際的操作活動，且呈現(xiàn)了直觀圖式，所以學(xué)生較易通過示意圖理解算式所表示的意思，能夠真切體會到：在實際的“植樹問題”中，因環(huán)境不同，會產(chǎn)生三種不同的結(jié)果。而這三種結(jié)果，正好對應(yīng)三種不同的問題解決模型。

層次二：借助直觀圖式，初步理解“植樹問題”的基本模型

在實際課堂上，解決這個問題時，較多學(xué)生首先想到的算式是第（1）種與第（2）種。究其原因，列出第（1）種算式的學(xué)生，更多是受除法運算的影響，即求總數(shù)里面有幾個幾，可直接用總長度除以單位長度；列出第（2）種算式的學(xué)生，則受“路邊種樹一般從端點處開始，又在端點處結(jié)束”的生活經(jīng)驗的影響，于是會在結(jié)果4棵的基礎(chǔ)上再加上1棵。因此，組織學(xué)生借助圖式對20÷5=4（棵）與20÷5+1=5（棵）這兩種情況進行討論，并互相交流想法，是必不可少的過程。

在交流過程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生討論：“將20米長的小路，每隔5米分1段，會出現(xiàn)怎樣的情況？”結(jié)合圖1，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：將20米長的小路每隔5米分1段后，會出現(xiàn)4段長度和5個端點。于是，學(xué)生通過示意圖，初步建立了“植樹問題”的基本模型，即“兩端都種”，并將其與算式建立聯(lián)系，得出20÷5+1=5（棵）的結(jié)果。

接著討論：“一端種，一端不種”的情況（如圖2）在生活中有可能出現(xiàn)嗎？若出現(xiàn)，會是在什么情況下？學(xué)生對“一端種，一端不種”的實際情境有一定的經(jīng)驗。比如，當(dāng)路的起點有障礙物時，這一端就不能種樹，此時，若每隔5米種1棵樹的話，就只能種4棵了，由此得出20÷5=4（棵）。結(jié)合示意圖（點段間的關(guān)系）與生活經(jīng)驗，學(xué)生能夠理解這種情況。在此基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生將這種情況與“兩端都種”的情況進行比較，通過兩者的圖式和算式初步感知“植樹問題”模型的多樣性。這一過程要突出示意圖的作用，從而幫助學(xué)生直觀理解基本模型與變式模型，體悟相互之間的關(guān)系。

層次三：結(jié)合圖式比較，整體建構(gòu)“植樹問題”的解答模型

在這一環(huán)節(jié)，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖式，將“一端種，一端不種”與“兩端都不種”這兩種變式模型，與“兩端都種”的基本模型進行比較，從而建立三者之間的聯(lián)系。

在“兩端都種”情況的圖式中，4段長度和5個端點比較直觀。此時，由于兩端都種了1棵樹，便形成了4段對5點的模型，需要用“20÷5+1=5（棵）”來解答，從而將問題情境、示意圖和算式建立起清晰的聯(lián)系。在解釋“20÷5=4（棵）”時，學(xué)生同樣需要將問題情境、示意圖與算式建立聯(lián)系。而當(dāng)小路的兩端都有障礙物時，便會產(chǎn)生“兩端都不能種”的情境（如圖3）。將其與基本模型進行比較，發(fā)現(xiàn)需要在原有棵數(shù)基礎(chǔ)上“減少2棵”，即所能用的點數(shù)比段數(shù)要少，于是便得到算式“20÷5+1-2=3（棵）”，其中，加1減2其實就是減1（如圖3中的算式）。

總之，教學(xué)中，教師要在學(xué)生充分理解了基本模型之后，再引導(dǎo)學(xué)生研究“一端不種”和“兩端都不種”兩種變式模型，讓學(xué)生結(jié)合圖式，對“點數(shù)與段數(shù)的關(guān)系”進行分析，建立基本模型與變式模型間的關(guān)系，從而幫助學(xué)生完整認識到“植樹問題”模型的多樣性。

三、結(jié)合分層應(yīng)用練習(xí)，豐富對“植樹問題”的模型認知

發(fā)展學(xué)生模型意識，不僅要讓學(xué)生認識建構(gòu)模型的過程，還要引導(dǎo)學(xué)生體會“數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑”。因此，在建構(gòu)“植樹問題”的模型后，引導(dǎo)學(xué)生在實際問題解決中應(yīng)用模型，是發(fā)展學(xué)生模型意識必須經(jīng)歷的過程。為此，筆者設(shè)計了三個層次的問題解決練習(xí)，在解決“同類問題”的過程中，豐富學(xué)生對“植樹問題”模型的認知。

（一）“公交車站設(shè)置問題”——同層水平的應(yīng)用

練習(xí)1：公交車從嘉興到王江涇的行駛路線全長12千米，且相鄰兩站之間的路程都是1千米。一共設(shè)有多少個公交站臺？（要求：畫出示意圖，然后解答）

“公交車站設(shè)置問題”和“植樹問題”是問題情境不同、模型結(jié)構(gòu)相同的同類問題。因此，要解答這一問題，就要先解決“兩端都種”的問題，引導(dǎo)學(xué)生再次體驗基本模型。在解答問題的過程中，多數(shù)學(xué)生能通過畫線段圖（如圖4），發(fā)現(xiàn)這個問題與“植樹問題”中“兩端都種”的情況相似。因此，較易從圖4中清楚地看出12段13個點的結(jié)構(gòu)，用“12÷1+1=13（個）”來解答。

（二）“鋸木頭問題”——拓展水平的應(yīng)用

練習(xí)2：一根木頭長15米，每5米鋸1段，需要鋸幾次？

“鋸木頭問題”看似簡單，其實理解起來并不容易。如果把鋸木頭的“鋸點”當(dāng)作“植樹問題”中的樹（即點），那么“鋸木頭問題”就可以看作“植樹問題”中“兩端都不種”的情況。從圖5中可以看出，15米長的木頭，每5米鋸1段，分成了3段。3段有4個點，頭和尾都不用鋸，所以要減去2個點，即15÷5+1-2=2（次），而加1減2其實就是減1（如圖5中的算式）。

（三）“鐘聲問題”——挑戰(zhàn)水平的應(yīng)用

練習(xí)3：鐘聲每響一次延續(xù)2秒，停頓3秒后再響第2聲，如此反復(fù)。那么，當(dāng)?shù)?聲鐘聲結(jié)束時，一共經(jīng)過了幾秒？

“鐘聲問題”比之前的“公交車站設(shè)置問題”和“鋸木頭問題”更復(fù)雜，因為“鐘聲響”有時間，“停頓間隙”也有時間，在解答時，這兩類時間均需計入總時長。但若將問題情境通過示意圖（如圖6）表示出來，同樣也能與“植樹問題”建立聯(lián)系。

圖6為學(xué)生作品，從圖中能看出“植樹問題”的點段關(guān)系，只不過鐘聲每響一次延續(xù)2秒，停頓3秒后再響第2聲，于是植樹問題中對應(yīng)的“點段組合”就成了鐘聲問題中對應(yīng)的“一次鐘聲時間”與“一次停頓間隙的時間”。學(xué)生解答時要這樣來思考：鐘聲每響一次與一個間隔為一個組合，算得需要2+3=5（秒），一共有這樣的3個組合，再加上第4聲用的時間，共需要（2+3）×3+2=17（秒）。

顯然，將“植樹問題”模型應(yīng)用到同結(jié)構(gòu)不同情境的問題解決中，不僅能拓寬學(xué)生的思維，還能豐富學(xué)生對“植樹問題”模型的認知。

總之，發(fā)展學(xué)生模型意識視角下的“植樹問題”教學(xué)，突破了“植樹問題”的一般教學(xué)模式，基于問題解決的主線，借助幾何直觀，幫助學(xué)生認識“植樹問題”模型的多樣性，完整建構(gòu)“植樹問題”的模型。同時，結(jié)合同類問題的解釋或解決，豐富了學(xué)生對“植樹問題”模型的認知，發(fā)展了學(xué)生的模型意識。

（1.浙江省海寧市許村鎮(zhèn)中心小學(xué)?2.浙江省嘉興市實驗小學(xué)）