陳坤華 何優(yōu)優(yōu)

【摘? ?要】“倍”是表達(dá)兩個量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也是一個表征量與量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。教師結(jié)合“倍”的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情基礎(chǔ)，分析“倍”模型的學(xué)習(xí)起點，通過“設(shè)計從經(jīng)驗到模型的學(xué)習(xí)活動，建構(gòu)‘倍模型”和“在解決問題中鞏固‘倍模型，凸顯模型的應(yīng)用”，探索“倍”模型的教學(xué)策略，發(fā)展學(xué)生的模型意識。

【關(guān)鍵詞】“倍”模型；倍的認(rèn)識；模型意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）指出，模型意識是對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑?！氨丁笔潜磉_(dá)兩個量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也是一個表征量與量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“倍”模型的建構(gòu)過程？如何引導(dǎo)學(xué)生借助“倍”模型解釋、解決具體問題，感受模型應(yīng)用的意義？如何借助“倍”模型發(fā)展學(xué)生的模型意識？本文對上述問題進行了相關(guān)的實踐研究。

一、尋源：分析“倍”模型的學(xué)習(xí)起點

學(xué)習(xí)是引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗出發(fā)，積累新的經(jīng)驗的過程。在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”內(nèi)容之前，學(xué)生對兩個量之間關(guān)系的認(rèn)識主要停留在“比多比少”層面，即相差關(guān)系。倍作為一種比率關(guān)系，與相差關(guān)系之間有一定的聯(lián)系（如表1）。

比較兩個數(shù)量的大小有兩種基本方法，一種是比較它們的相差關(guān)系（相差問題），另一種是比較它們的倍數(shù)關(guān)系（倍數(shù)問題）。實踐表明：表示相差關(guān)系的結(jié)果是一個具體的量，學(xué)生對此具有豐富的生活經(jīng)驗，更容易理解；表示倍數(shù)關(guān)系時是將一個量確定為標(biāo)準(zhǔn)量，通過判斷另一個量（比較量）里面有多少個標(biāo)準(zhǔn)量來比較，這樣的關(guān)系較為抽象，學(xué)生第一次接觸，理解起來有一定的困難。從知識的生長性來看，倍、分?jǐn)?shù)（表示率）、百分?jǐn)?shù)、比等概念的本質(zhì)都是“比率”，因此，“倍的認(rèn)識”是后續(xù)諸多學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)，對于引導(dǎo)學(xué)生探索比率關(guān)系有著重要的認(rèn)知價值與學(xué)習(xí)意義。

那么，對于倍的關(guān)系表征，學(xué)生在學(xué)習(xí)前又有怎樣的認(rèn)知基礎(chǔ)呢？對此，筆者進行了兩個方面的前測。

（一）關(guān)系理解的基礎(chǔ)調(diào)研

【測評題】如圖，黑圓個數(shù)和白圓個數(shù)有什么關(guān)系？

以176名三年級學(xué)生（使用人教版教材）為測試對象，前測結(jié)果如表2所示。

前測數(shù)據(jù)表明：約14.20%的學(xué)生不清楚兩種圓個數(shù)間的關(guān)系指的是什么，不能從關(guān)系的角度看待相關(guān)數(shù)量。約85.80%的學(xué)生能清楚寫出兩者的相差關(guān)系或倍數(shù)關(guān)系，知道“關(guān)系”表示什么，并能用具體的量表達(dá)兩者間的關(guān)系。其中，約60.80%的學(xué)生能用完整的語言表達(dá)兩量的相差關(guān)系。由此可見，學(xué)生對兩量間的相差關(guān)系有較好的認(rèn)知基礎(chǔ)。約31.82%的學(xué)生面對直觀的學(xué)習(xí)材料，能用倍來表示兩個量之間的關(guān)系（包括用倍表達(dá)不恰當(dāng)?shù)那闆r），這表明近三分之一的學(xué)生對“倍”的概念有認(rèn)知基礎(chǔ)。

（二）“倍”關(guān)系模型的認(rèn)知調(diào)研

【測評題】你知道“倍”嗎？能用自己的方法表示出3倍嗎？

以42名三年級學(xué)生（使用人教版教材）為測試對象，前測結(jié)果如下。

前測結(jié)果中出現(xiàn)了4種典型結(jié)果（如圖1）。被測學(xué)生中，有31人能畫出類似作品①的結(jié)果，約占總?cè)藬?shù)的73.81%；只有11人能用自己的方法正確表示出3倍（作品②、作品③、作品④），約占總?cè)藬?shù)的26.19%。從前測結(jié)果可以看出，學(xué)生理解“幾個幾”的意義，已經(jīng)具備學(xué)習(xí)倍的相關(guān)知識；但只有少數(shù)學(xué)生聽說過倍，對倍的概念較為模糊。

基于上述分析，教師應(yīng)從學(xué)生經(jīng)驗出發(fā)，通過多種操作性活動，并借助幾何直觀，幫助學(xué)生豐富“用倍表示關(guān)系”的表象，逐步實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化，從而抽象出表示關(guān)系的“倍”模型，為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等相關(guān)知識打好基礎(chǔ)。

二、探徑：探索“倍”模型教學(xué)策略

數(shù)學(xué)模型有兩種基本的表征方式：一是思維表征，它體現(xiàn)在思維過程中，具有隱性特征；二是形式表征，它反映在模型的形式表達(dá)中，具有顯性特征?！氨丁笔且粋€較為抽象的數(shù)學(xué)模型，不僅需要形式上的歸納，還需要思維方法上的理解。［1］在教學(xué)實踐中，可以從以下幾個方面進行嘗試。

（一）設(shè)計從經(jīng)驗到模型的學(xué)習(xí)活動，建構(gòu)“倍”模型

教師要讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、歸納、推理等數(shù)學(xué)活動，并在活動過程中積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而形成模型意識?！氨丁蹦Ｐ偷慕?gòu)也不例外。教學(xué)時，教師可以通過兩個層次的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將學(xué)習(xí)經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為“倍”模型的過程。

1.經(jīng)歷多維的數(shù)學(xué)活動，體驗“倍”模型的建構(gòu)過程

◆活動一：由個人經(jīng)驗上升到集體感悟

（1）教師展示學(xué)生的前測作品——圖1中的學(xué)生作品②、作品③和作品④。

（2）引導(dǎo)學(xué)生圈一圈，說一說誰是誰的3倍，初步感知“3倍”。

（3）組織全班學(xué)生再次創(chuàng)造：畫出不一樣的“3倍”，豐富“3倍”的表征。

（4）先組織全班學(xué)生反饋交流，分享不同的“3倍”作品（如圖2）。再提問：為什么畫法不同，卻都可以表示“3倍”？最后引導(dǎo)學(xué)生體會：3倍就是一個數(shù)量中包含3份另一個數(shù)量。

此學(xué)習(xí)活動將學(xué)生的個人經(jīng)驗拓展為集體感悟，讓學(xué)生充分經(jīng)歷動手操作、語言描述、畫圖表征、算式表征等歸納過程，揭示倍表示量與量之間關(guān)系的本質(zhì)，初步建立“倍”模型。

◆活動二：于變與不變中明晰“倍”模型

（1）教師出示圖3：胡蘿卜有2根，紅蘿卜有6根，白蘿卜有12根。

（2）讓學(xué)生根據(jù)信息，提出數(shù)學(xué)問題并解答。

①紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的幾倍？

②白蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的幾倍？

③白蘿卜的根數(shù)是紅蘿卜的幾倍？

（3）變換情境，集體交流。

①標(biāo)準(zhǔn)量不變，對比量變化：如果小兔子吃掉了2根白蘿卜，白蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的幾倍？再吃掉2根呢？

②標(biāo)準(zhǔn)量變化，對比量不變：如果小兔子吃掉了1根紅蘿卜，白蘿卜的根數(shù)是紅蘿卜的幾倍？再吃掉4根呢？

教師通過設(shè)計這樣的不同情境，改變兩個比較量的大小，讓學(xué)生在“變化”中進一步認(rèn)識“倍”模型，感受倍數(shù)關(guān)系中標(biāo)準(zhǔn)量的重要性，感悟找倍數(shù)關(guān)系時要明確“誰和誰進行比較”。

2.借助幾何直觀，體驗“倍”模型的抽象過程

2022年版課標(biāo)指出，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。數(shù)學(xué)抽象是對各個具體情境的一種超越。［2］在“倍”模型的建構(gòu)中，可以通過以下三個不同角度體現(xiàn)抽象過程。

（1）角度一：倍數(shù)不變，一份和多份相應(yīng)變化。如在說一說誰是誰的3倍、創(chuàng)造不一樣的“3倍”等數(shù)學(xué)活動中，通過呈現(xiàn)示意圖、線段圖等直觀表征，讓學(xué)生認(rèn)識“標(biāo)準(zhǔn)量變化，比較量隨之變化”，從而建立“3倍”的直觀模型。

（2）角度二：標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量變化，進一步認(rèn)識“幾倍”。在活動二中，通過吃掉白蘿卜的根數(shù)等活動，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識5倍、4倍等，并引導(dǎo)學(xué)生思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)學(xué)生歸納：白蘿卜有這樣的幾份就是胡蘿卜的幾倍。教師引導(dǎo)學(xué)生借助比較將數(shù)量關(guān)系直觀化，為抽象出“倍”模型提供幫助。基于此，學(xué)生更容易理解 “1倍”的關(guān)系。

（3）角度三：比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量變。在“紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的幾倍”問題的探究中，在胡蘿卜個數(shù)變化的情況下，讓學(xué)生通過圈一圈、想一想等直觀形式，探究倍數(shù)發(fā)生變化的原因，感受比較時標(biāo)準(zhǔn)量的重要性。

學(xué)生初次接觸“倍”模型，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，并利用直觀表征，幫助他們理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，發(fā)展模型意識。

（二）在解決問題中鞏固“倍”模型，凸顯模型的應(yīng)用

倍作為一個相對抽象的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生并不能通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)就掌握，需要在后續(xù)的學(xué)習(xí)中加以鞏固，深入認(rèn)識與理解“倍”的概念，發(fā)展模型意識。

人教版教材“倍的認(rèn)識”單元中的練習(xí)十一共編排了12道練習(xí)題，這些習(xí)題主要應(yīng)用“倍”模型解決兩類問題：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍和求一個數(shù)的幾倍是多少。大部分習(xí)題都以圖文結(jié)合的形式呈現(xiàn)。同時還設(shè)置了一些開放性習(xí)題，目的是讓學(xué)生通過動手操作，自主提出存在倍數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)問題。以第7題的第（2）小題（如圖4）為例，學(xué)生提出問題，比較兩個量的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)果可能不能整除，還有可能比1小。如“小鹿的只數(shù)是天鵝只數(shù)的幾倍”，結(jié)果是2倍多2只。它們之間雖然不是整數(shù)倍關(guān)系，但也可以借助倍來表達(dá)關(guān)系，將來它們之間的倍數(shù)關(guān)系可以用小數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示。

然而，教材編排的這些習(xí)題中還缺少一類與倍相關(guān)的問題，即已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)是多少。教學(xué)時，教師可以在練習(xí)中適當(dāng)增加這樣的問題：李奶奶養(yǎng)了42只鴨，鴨的只數(shù)是鵝的7倍，李奶奶養(yǎng)了多少只鵝？引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中體會“倍”模型的應(yīng)用，加深對“倍”模型的理解。

總之，“倍”模型作為數(shù)量關(guān)系中的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，承載著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。在教學(xué)時，教師應(yīng)以課程理念為指導(dǎo)，不僅關(guān)注“倍”模型的建構(gòu)過程，還要凸顯其對于發(fā)展核心素養(yǎng)的重要價值，從而發(fā)展學(xué)生的模型意識。

參考文獻：

［1］費嶺峰.聚焦課堂教學(xué)：一位小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師的研課手記［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2022.

［2］劉加霞.從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點：評析高麗杰老師的“倍的初步認(rèn)識”［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2010（7/8）：17-19.

（1.浙江省桐鄉(xiāng)市人民小學(xué)?2.浙江省嘉興市嘉善縣第二實驗小學(xué)）