【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》所說(shuō)的算理實(shí)際是“計(jì)算之理”，是確保計(jì)算結(jié)果可靠的邏輯基礎(chǔ)。這樣的學(xué)科邏輯缺失了對(duì)運(yùn)算“何時(shí)出現(xiàn)”以及“為何而算”的理解，因此需要進(jìn)一步探究認(rèn)知方面的算理，即指向運(yùn)算意義理解的“運(yùn)算之理”，使得算理的含義更加全面，謹(jǐn)防教學(xué)中片面強(qiáng)化計(jì)算之理，而忽視運(yùn)算之理。

【關(guān)鍵詞】算法；算理；計(jì)算之理；運(yùn)算之理

本刊上期刊發(fā)的《“算法”的雙刃性與“算理”的局限性》［1］一文（以下簡(jiǎn)稱“文1”）已經(jīng)闡明，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）中所說(shuō)的“算理”實(shí)質(zhì)是“計(jì)算之理”，其中的“計(jì)算”是針對(duì)符號(hào)所構(gòu)成的算式，應(yīng)用相應(yīng)的算法，通過(guò)執(zhí)行與操作，從而獲得結(jié)果的過(guò)程。“計(jì)算之理”特指確保計(jì)算結(jié)果可靠的邏輯基礎(chǔ)，也就是通常所說(shuō)的運(yùn)算律，是算法執(zhí)行與操作的依據(jù)，是支配、管控算法的規(guī)則。

這樣的算理與算法的表征形式同屬符號(hào)世界，使得算理與算法的關(guān)系成為“用符號(hào)解釋符號(hào)”，即符號(hào)世界內(nèi)部的自圓其說(shuō)，缺失了符號(hào)以及符號(hào)間的轉(zhuǎn)換所指代的實(shí)際意義。這樣的計(jì)算之理能夠成為邏輯上的真條件，但難以實(shí)現(xiàn)認(rèn)知意義上的理解。因此需要重新認(rèn)識(shí)算理，將邏輯意義上的“計(jì)算之理”拓展到認(rèn)知意義上的“運(yùn)算之理”。為此，需要區(qū)分“運(yùn)算”與“計(jì)算”兩個(gè)詞語(yǔ)的含義。

一、運(yùn)算與計(jì)算的區(qū)別

數(shù)學(xué)課程中的運(yùn)算與計(jì)算并不同義，計(jì)算的含義在文1中已經(jīng)說(shuō)明。漢語(yǔ)中所說(shuō)的“運(yùn)算”對(duì)應(yīng)的英文單詞是“operation”，本義是人具身的“外顯動(dòng)作（Overt Act）”［2］。比如將2本書和另外4本書放入書包，就會(huì)產(chǎn)生將兩個(gè)局部“合并”為一個(gè)整體的動(dòng)作，像這樣合并的動(dòng)作就是運(yùn)算的本義。在日?；顒?dòng)中，各種合并的動(dòng)作經(jīng)常、反復(fù)地發(fā)生，使人的思維中自然地形成了合并動(dòng)作的“影像”（或“意象”，英譯：image）。即使當(dāng)下沒(méi)有外顯動(dòng)作的真實(shí)發(fā)生，思維中也會(huì)出現(xiàn)此類動(dòng)作的影像，這種思維中的動(dòng)作的影像叫作“思維運(yùn)算（Mental Operation）”［3］。當(dāng)思維中的合并動(dòng)作穩(wěn)定為一種模式時(shí)，就成為思維中的“圖式（Schema）”。在具身認(rèn)知理論中，這種由意象所形成的圖式被稱為“意象圖式（Image Schema）”［4］。在此基礎(chǔ)上，思維中就自然而然地形成了加法的“運(yùn)算概念（Operative Concept）”［5］。同樣的加法運(yùn)算概念，所指代的動(dòng)作可以是多樣的。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，整數(shù)的加法運(yùn)算主要包括如下類型。

l 部分—整體的“分”與“合”：院子中有2只公雞和4只母雞，院子中共有幾只雞？

l 容器內(nèi)外的“入”與“出”：樹(shù)上有2只小鳥(niǎo)，又飛來(lái)4只小鳥(niǎo)。樹(shù)上共有幾只小鳥(niǎo)？

l 運(yùn)動(dòng)變化的“先”與“后”：（1）一棵高度為2米的小樹(shù)，一年后長(zhǎng)高了4米。問(wèn)：小樹(shù)現(xiàn)在的高度是幾米？（2）向前步行2步后，繼續(xù)向前步行4步，共步行了幾步？

l 不同對(duì)象的“彼”與“此”：左手有2塊糖，右手中糖的數(shù)量比左手中多4塊。問(wèn)：右手中有幾塊糖？

人在日常活動(dòng)中可能發(fā)生的動(dòng)作是多種多樣的，思維中形成的意象圖式也各不相同，因此會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算概念。如果說(shuō)局部“合并”為整體的動(dòng)作是形成加法運(yùn)算概念的動(dòng)因，那么與之相反的從整體中“拿走”或“離開(kāi)”的動(dòng)作所形成的運(yùn)算概念，就成為加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，即減法。同樣，如果“前進(jìn)”的動(dòng)作是加法運(yùn)算，那么“后退”的動(dòng)作就是減法運(yùn)算。

因此，“運(yùn)算”一詞本義指的是動(dòng)作，這樣的動(dòng)作兼具行為與思維的含義。思維中的運(yùn)算概念一旦形成，就自然產(chǎn)生了用符號(hào)表達(dá)和記錄的需求，出現(xiàn)了用語(yǔ)言表達(dá)的運(yùn)算，即“符號(hào)運(yùn)算（Symbolic Operation）”，也就是對(duì)符號(hào)的操作。比如，前面示例中的動(dòng)作都可以用阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)表達(dá)為“2+4”，操作的結(jié)果可以用符號(hào)表達(dá)為“6”。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，“運(yùn)算”一詞的含義表現(xiàn)為事物世界、思維世界與符號(hào)世界的交互，具體體現(xiàn)為：

l 發(fā)生于客觀的事物世界

l 留痕于主觀的思維世界

l 表征于抽象的符號(hào)世界

由此可見(jiàn)，運(yùn)算與計(jì)算的含義是不同的。運(yùn)算偏向于名詞的詞性，指代動(dòng)作的“類型”。對(duì)運(yùn)算的認(rèn)知就是對(duì)類型的識(shí)別與選擇，是將事物世界的動(dòng)作轉(zhuǎn)換為思維世界和符號(hào)世界的動(dòng)作概念并進(jìn)行表達(dá)的過(guò)程。計(jì)算偏向于動(dòng)詞的含義，指向?qū)榷ǖ乃闶交蛩惴ǖ摹皥?zhí)行”。比如可以說(shuō)“計(jì)算圓的面積”，而不說(shuō)“運(yùn)算圓的面積”，原因在于已經(jīng)既定了圓的面積公式為πr2，只需要代入數(shù)據(jù)執(zhí)行與操作即可，無(wú)需對(duì)運(yùn)算類型進(jìn)行識(shí)別與選擇。

鑒于計(jì)算與運(yùn)算的不同，指向運(yùn)算意義理解的運(yùn)算之理與指向計(jì)算邏輯基礎(chǔ)的計(jì)算之理也應(yīng)當(dāng)是有區(qū)別的。

二、運(yùn)算之理

如果把算理在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的作用定位于對(duì)符號(hào)運(yùn)算的理解，那么理解的過(guò)程就應(yīng)當(dāng)是超越符號(hào)世界，建立符號(hào)世界的運(yùn)算與事物世界的運(yùn)算之間的聯(lián)系，用事物世界的動(dòng)作解釋符號(hào)世界的運(yùn)算，彰顯運(yùn)算“所以然”的道理［6］。在全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)2000年公布的《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中，把這樣的算理表述為“運(yùn)算的意義（Meanings of Operations）”，主要指符號(hào)運(yùn)算“何時(shí)出現(xiàn)”以及“為何而算”［7］。

任何符號(hào)以及符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，其本身并無(wú)意義。以文1中的14×12為例，從符號(hào)世界的內(nèi)部看，雖然可以用橫式或豎式計(jì)算出正確結(jié)果168，但這樣的過(guò)程只是符號(hào)與符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，對(duì)運(yùn)算“何時(shí)出現(xiàn)”以及“為何而算”仍可能一無(wú)所知，只有明晰符號(hào)與指代對(duì)象之間的關(guān)系，運(yùn)算的意義才會(huì)生成。

用符號(hào)表征的乘法運(yùn)算14×12=168，在事物世界或思維世界中所指代的動(dòng)作或事件并不是唯一確定的。比如將14箱蘋果（每箱12個(gè)）搬運(yùn)到一輛卡車上，這時(shí)符號(hào)算式14×12=168所表達(dá)的意義是“等組合并”，也即通常所說(shuō)的“相同加數(shù)求和”。但如果將事物世界的事件改變?yōu)椤耙粋€(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為14厘米和12厘米”，這時(shí)長(zhǎng)方形的面積也可以用符號(hào)運(yùn)算14×12=168來(lái)表征，但其意義就不再是“等組合并”，而是一種思維建構(gòu)。建構(gòu)的過(guò)程可以概括為三個(gè)步驟。

l 1厘米×1厘米=1平方厘米

l 1平方厘米×14=14平方厘米

l 14平方厘米×12=168平方厘米

此時(shí)算式14×12=168中的14和12所指代的對(duì)象不再是線段的長(zhǎng)度，而是長(zhǎng)方形網(wǎng)格中具有方向含義的行數(shù)與列數(shù)。這一建構(gòu)過(guò)程在思維中的動(dòng)作主要是對(duì)面積單位的規(guī)定和比例推理［8］。由此看出，用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算具有意義多樣的特點(diǎn)。表1中列出了14×12=168表示的意義的幾種類型。

從表1中可以看出，運(yùn)算之理指向的是符號(hào)運(yùn)算的意義，即運(yùn)算出現(xiàn)的原因以及目的，是人所自有的思維活動(dòng)，并非自外而入的獲得，是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的量及其運(yùn)算的內(nèi)部動(dòng)因與主觀生成，體現(xiàn)眼光的差異性、思維的多元性和表達(dá)的豐富性，與作為邏輯基礎(chǔ)的“計(jì)算之理”明顯不同。

三、全面認(rèn)識(shí)“算理”

綜上所述，運(yùn)算之理是事物世界、思維世界與符號(hào)世界交互過(guò)程中的思維生成，具有超越符號(hào)世界的開(kāi)放性。這樣的交互并非簡(jiǎn)單的“一一對(duì)應(yīng)”：事物世界或思維世界中同樣的動(dòng)作可以用多樣的符號(hào)表征；反之，同樣的符號(hào)表征形式可以指代事物世界和思維世界中多樣的動(dòng)作。因此，作為運(yùn)算之理的算理具有認(rèn)知上的“復(fù)雜性”。

表1中僅僅呈現(xiàn)出自然數(shù)乘法運(yùn)算的意義，隨著數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中數(shù)域范圍的逐步拓展，這樣的意義也會(huì)隨之變化、延伸，因此作為運(yùn)算意義的算理并非一成不變的，而是在數(shù)學(xué)課程中呈現(xiàn)出不斷拓展與變化的“動(dòng)態(tài)性”。

從更為廣泛的意義看，可以把算理視為生成算法的想法。我國(guó)清代數(shù)學(xué)家華蘅芳（1833—1902）在其所著的《學(xué)算筆談》中論及算理時(shí)說(shuō)：“人之心中若果懵懵然茫無(wú)知覺(jué)，則亦不必談及算學(xué)。若其稍有知覺(jué)而能思維計(jì)較者，即已有算學(xué)之理，與有生以俱來(lái)。試觀孩兒嬉戲，見(jiàn)果必爭(zhēng)，取其大者，因其胸中已有一多寡之見(jiàn)存焉也。由是知算學(xué)之理，為人心所自有，并非自外而入?！?論及算法與算理關(guān)系時(shí)稱：“一切算法，其初皆從算理而出。惟既得其法，則其理即寓于法之中，可以從法以得理，亦可舍理以用法?！保?］

華蘅芳關(guān)于算理與算法之間關(guān)系的論述含有三層意蘊(yùn)：第一，算法源于算理；第二，算法具有可見(jiàn)的顯性特征，而算理是隱性的思想內(nèi)容，是不可見(jiàn)的，算理寓于算法之中；第三，從顯性的算法可以透視隱性的算理，在不明算理的情況下也可以執(zhí)行并操作算法。運(yùn)算之理的含義與華蘅芳所說(shuō)的算學(xué)之理含義接近，典型的屬性是自內(nèi)而外的“思想性”。至此，可以概括出運(yùn)算之理四個(gè)方面的基本屬性。

l 超越符號(hào)的開(kāi)放性

l 認(rèn)知過(guò)程的復(fù)雜性

l 課程內(nèi)容的動(dòng)態(tài)性

l 自內(nèi)而外的思想性

相較于運(yùn)算之理的基本屬性，2022年版課標(biāo)中所說(shuō)的計(jì)算之理則呈現(xiàn)出符號(hào)世界內(nèi)部的封閉性、思維世界的簡(jiǎn)約性、相對(duì)確定的靜態(tài)性以及自外而內(nèi)的客觀性。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Hans Freudenthal，1905—1990）在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中，將數(shù)學(xué)分為“算法數(shù)學(xué)（Algorithmic Mathematics）”和“思維數(shù)學(xué)（Conceptual Mathematics）”［10］。按照這樣的劃分，2022年版課標(biāo)中的計(jì)算之理應(yīng)當(dāng)屬于算法數(shù)學(xué)，而運(yùn)算之理應(yīng)當(dāng)歸屬于思維數(shù)學(xué)。

將算理的含義從計(jì)算之理拓展到運(yùn)算之理，不是對(duì)計(jì)算之理的否定與拒絕。事實(shí)上，計(jì)算之理作為計(jì)算的邏輯基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中同樣具有重要作用。比如，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)中除法運(yùn)算所規(guī)定的“余數(shù)要比除數(shù)小”，從事物世界“分配”的動(dòng)作就無(wú)法解釋“為什么”的問(wèn)題。7個(gè)蘋果平均分配給2個(gè)人，未必一定要每人分3個(gè)，剩余1個(gè)，如下分法都是可能并且合理的。

l 每人分得1個(gè)，剩余5個(gè)：7÷2=1……5

l 每人分得2個(gè)，剩余3個(gè)：7÷2=2……3

l 每人分得3個(gè)，剩余1個(gè)：7÷2=3……1

但從邏輯的角度看，運(yùn)算的結(jié)果需要遵循“單值性”的規(guī)則（參見(jiàn)文1），也即對(duì)于給定的運(yùn)算，其結(jié)果應(yīng)當(dāng)是唯一確定的，這樣才能保證數(shù)學(xué)推理的可行、易行與遠(yuǎn)行［11］。比如對(duì)于兩個(gè)除法算式a1÷b1=c1……r1和a2÷b2=c2……r2，如果被除數(shù)與被除數(shù)相等（a1=a2），除數(shù)與除數(shù)相等（b1=b2），數(shù)學(xué)中的推理就需要除法運(yùn)算結(jié)果也相等，即c1=c2，且r1= r2。因此就需要運(yùn)算具有單值性，以確保這樣的推理可行，而單值性作為人為規(guī)定的邏輯規(guī)則，就成為“余數(shù)要比除數(shù)小”的道理［12］。

在學(xué)科課程與教學(xué)研究中，存在學(xué)科的知識(shí)邏輯與教學(xué)的認(rèn)知邏輯的矛盾，對(duì)任何一方的強(qiáng)化都可能導(dǎo)致另一方的弱化。實(shí)際教學(xué)中，要意識(shí)到計(jì)算之理并非“算理”的全部含義，至少還有認(rèn)知方面的運(yùn)算之理。因此在計(jì)算教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)對(duì)算理形成全面的認(rèn)識(shí)，讓計(jì)算之理與運(yùn)算之理并重，謹(jǐn)防片面強(qiáng)化計(jì)算之理，而忽視運(yùn)算之理。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）