賀照鵬

（上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109）

引 言

在工程上，準(zhǔn)確確定負(fù)載的質(zhì)心位置對(duì)承載結(jié)構(gòu)的受力分析、設(shè)計(jì)校核和實(shí)際使用都至關(guān)重要。物體質(zhì)心估算常用的方法有理論計(jì)算法和實(shí)物測量法。理論計(jì)算法可以初步地對(duì)物體質(zhì)心進(jìn)行估計(jì)，然后開展前期受力分析等設(shè)計(jì)工作，但對(duì)于組成復(fù)雜的產(chǎn)品，計(jì)算工作量偏大；實(shí)物測量法可以更精準(zhǔn)地確定產(chǎn)品質(zhì)心，用以驗(yàn)證理論計(jì)算的結(jié)果，評(píng)估實(shí)際使用時(shí)的受力情況。對(duì)于大型雷達(dá)天線，實(shí)物測量需要借用專用儀器設(shè)備、工裝及場地，具體工程實(shí)現(xiàn)有一定的局限性。本文介紹了一種適用于大型雷達(dá)天線的質(zhì)心位置估算方法，借助懸臂梁所受集中力的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)懸臂梁受力變形的撓曲線方程估計(jì)雷達(dá)天線質(zhì)心。

實(shí)際工程中一般采用撓曲線方程解決梁的變形問題，國內(nèi)學(xué)者在撓曲線方程方面進(jìn)行了諸多研究。文獻(xiàn)[1–2]通過積分法對(duì)梁的撓曲線方程進(jìn)行精確推導(dǎo)，得到了精確的微分方程。文獻(xiàn)[3]依據(jù)彈塑性分區(qū)最小勢能原理，對(duì)梁的撓曲變形進(jìn)行了求解。在雷達(dá)轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)剛強(qiáng)度設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[4]建立了天線基座平臺(tái)的多體動(dòng)力學(xué)模型，得出了天線剛性運(yùn)動(dòng)規(guī)律及基座板角度變化規(guī)律；文獻(xiàn)[5]對(duì)某轉(zhuǎn)臺(tái)方艙的剛強(qiáng)度進(jìn)行有限元分析，通過仿真結(jié)果確認(rèn)該轉(zhuǎn)臺(tái)方艙骨架強(qiáng)度和剛度滿足設(shè)計(jì)要求。

1 撓曲線近似微分方程

如圖1所示，跨度為L的懸臂梁在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的外力F的作用下，將產(chǎn)生平面彎曲，變形后梁的軸線將變成一條光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲線。梁的橫截面形心在垂直于x軸方向上的線位移即為撓度w；橫截面對(duì)其原來位置的角位移即為轉(zhuǎn)角θ。

圖1 撓曲線示意圖

撓曲線近似微分方程的使用條件為：1）純彎曲梁或細(xì)長梁的橫力彎曲；2）小變形，即變形量遠(yuǎn)小于構(gòu)件的原始尺寸（梁的跨度），這樣可以按照構(gòu)件的原始尺寸計(jì)算受力平衡；3）梁的應(yīng)力不超過材料的比例極限（彈性范圍內(nèi)）。撓度的近似微分方程如下：

式中：w為梁的撓度；E為材料的彈性模量；I為截面慣性矩；EI即為抗彎剛度；x為懸臂梁上某點(diǎn)距固定點(diǎn)的距離；M(x)表示懸臂梁上彎矩M是x的函數(shù)；C1、C2為常數(shù)。通過測量不同受力位置下梁的轉(zhuǎn)角，建立方程組，即可求得受力位置距固定點(diǎn)的距離。

2 轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

某車載雷達(dá)轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)示意圖如圖2所示，由方位轉(zhuǎn)臺(tái)、轉(zhuǎn)塔、雷達(dá)天線和俯仰電動(dòng)缸組成。轉(zhuǎn)塔對(duì)雷達(dá)天線起到承載的作用，方位轉(zhuǎn)臺(tái)與轉(zhuǎn)塔之間采用圓周方向均布的螺栓相連，雷達(dá)天線通過俯仰電動(dòng)缸及俯仰軸與轉(zhuǎn)塔連接。雷達(dá)天線可以繞俯仰軸旋轉(zhuǎn)0?～70?，當(dāng)俯仰角度發(fā)生變化時(shí)，雷達(dá)天線的質(zhì)心位置也會(huì)發(fā)生偏移，轉(zhuǎn)塔產(chǎn)生的變形量和轉(zhuǎn)角也隨之變化。轉(zhuǎn)塔上有一處基準(zhǔn)面，可以放置合像水平儀用以測量轉(zhuǎn)塔的絕對(duì)角度；在雷達(dá)天線上，可以使用激光跟蹤儀測量雷達(dá)天線與大地的絕對(duì)角度；雷達(dá)天線的相對(duì)俯仰角度可以通過俯仰角度編碼器測得。

圖2 轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)示意圖

轉(zhuǎn)塔是將方鋼管焊接成規(guī)則形狀的骨架后，在四周安裝蒙皮而成，內(nèi)部設(shè)備近似對(duì)稱排布，整體可以簡化為一個(gè)等截面梁，滿足上節(jié)撓曲線近似微分方程的使用條件。因此，可將轉(zhuǎn)塔看成以回轉(zhuǎn)中心為固定點(diǎn)的懸臂梁，雷達(dá)天線的重力為加載在懸臂梁一端的集中力，以此建立轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，雷達(dá)天線在設(shè)計(jì)時(shí)都采用對(duì)稱設(shè)計(jì)，即天線寬度和厚度方向的質(zhì)心位置都近似位于對(duì)稱軸上，因此只需確定長度方向的質(zhì)心位置。

轉(zhuǎn)塔的重力一直存在，對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的變形，轉(zhuǎn)塔重力不可忽略，可將其看成整個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由此得到圖3所示的轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)受力圖。懸臂梁上的力矩分布為一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)方程為：

圖3 轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)受力圖

式中：F為雷達(dá)天線的重力；G為轉(zhuǎn)塔的重力；l1為轉(zhuǎn)塔質(zhì)心距回轉(zhuǎn)中心距離；l2為雷達(dá)天線質(zhì)心距回轉(zhuǎn)中心距離。

將式（2）代入式（1）后，對(duì)¨w(x)積分得：

式中，θ(x)表示轉(zhuǎn)角θ是x的函數(shù)。由于系統(tǒng)變形為小變形，因此轉(zhuǎn)角θ近似等于撓曲線的曲率。

式（3）為轉(zhuǎn)角微分方程的通解，兩個(gè)常量的確定需代入懸臂梁的邊界條件（固定端的撓度和轉(zhuǎn)角均為0）和連續(xù)條件（撓曲線應(yīng)連續(xù)且光滑）。微分方程的邊界條件為：

代入式（3）得到C1、C2兩個(gè)常量：

代入式（3），轉(zhuǎn)角微分方程的特解為：

將雷達(dá)天線拆除后，系統(tǒng)中只保留轉(zhuǎn)塔重力，此時(shí)懸臂梁的力矩方程為：

式中，M′為此時(shí)系統(tǒng)所受彎矩。

按上述過程推導(dǎo)出系統(tǒng)轉(zhuǎn)角微分方程的特解為：

式中：θ′為此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角。

式（6）與式（8）相減即可得到去除轉(zhuǎn)塔重力等其他外界條件的影響，只有雷達(dá)天線重力時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角方程：

轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)坐標(biāo)示意圖見圖4，以轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)上平面為x軸、轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)回轉(zhuǎn)中心為y軸建立坐標(biāo)系。狀態(tài)1為雷達(dá)天線的運(yùn)輸狀態(tài)，雷達(dá)天線與轉(zhuǎn)塔上平面平行。選取雷達(dá)天線理論俯仰角50?（狀態(tài)2）和70?（狀態(tài)3）兩個(gè)工作狀態(tài)，分別測得轉(zhuǎn)塔的變形角度，代入式（6）；拆除雷達(dá)天線后，再測量一次轉(zhuǎn)塔的變形角度，代入式（8）得：

圖4 轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)坐標(biāo)圖

式中：α1為不計(jì)轉(zhuǎn)塔重力影響下雷達(dá)天線處于狀態(tài)2時(shí)轉(zhuǎn)塔的變形角度；α2為不計(jì)轉(zhuǎn)塔重力影響下雷達(dá)天線處于狀態(tài)3時(shí)轉(zhuǎn)塔的變形角度；β為不計(jì)雷達(dá)天線重力影響下轉(zhuǎn)塔自身重力產(chǎn)生的變形角度；θ1為雷達(dá)天線處于狀態(tài)2時(shí)，雷達(dá)天線與轉(zhuǎn)塔的重力使轉(zhuǎn)塔產(chǎn)生的變形角度；θ2為雷達(dá)天線處于狀態(tài)3時(shí)，雷達(dá)天線與轉(zhuǎn)塔的重力使轉(zhuǎn)塔產(chǎn)生的變形角度；x1、x2和x3分別為狀態(tài)2、狀態(tài)3和狀態(tài)1時(shí)雷達(dá)天線質(zhì)心在坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)。

將式（10）按照式（9）化簡得：

雷達(dá)天線處于不同狀態(tài)時(shí)轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)的物理關(guān)系如圖5所示，由此可得：

圖5 轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)物理關(guān)系

式中：A為雷達(dá)天線俯仰軸與轉(zhuǎn)塔回轉(zhuǎn)中心的距離，A=2 930 mm；λ1為雷達(dá)天線狀態(tài)2的實(shí)際俯仰角度；λ2為雷達(dá)天線狀態(tài)3的實(shí)際俯仰角度。由于俯仰控制系統(tǒng)存在一定的誤差，所以理論俯仰角度與實(shí)際俯仰角度有一定的誤差。

在雷達(dá)車體調(diào)平后，調(diào)平系統(tǒng)的誤差可以忽略不計(jì)，在轉(zhuǎn)塔基準(zhǔn)面上通過合像水平儀測量未安裝雷達(dá)天線時(shí)的角度β。安裝雷達(dá)天線后，使用激光跟蹤儀測量雷達(dá)天線在理論俯仰角50?和70?時(shí)的俯仰角數(shù)據(jù)σ，同時(shí)記錄俯仰角度編碼器的讀數(shù)（即實(shí)際俯仰角λ），激光跟蹤儀的讀數(shù)與角度編碼器讀數(shù)之差即為系統(tǒng)變形角度θ= (σ-λ)×3 600。不計(jì)轉(zhuǎn)塔重力的變形角度α=θ-β。測量記錄如表1所示。

表1 測量記錄表

將式（11）與式（12）聯(lián)立方程組，經(jīng)Matlab軟件計(jì)算得到兩組解，其中一組無意義，保留有意義的一組結(jié)果，即：x1=1 247.98，x2=2 012.07，x3=313.79。通過這種方法得到的雷達(dá)天線質(zhì)心位置與俯仰軸的距離為A-x3=2 616.21 mm。

3 雷達(dá)天線質(zhì)心位置驗(yàn)證

受測量工具和場地的限制，該型號(hào)雷達(dá)不能直接對(duì)實(shí)物進(jìn)行質(zhì)心測量，因此將上節(jié)的計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。理論計(jì)算一般是在三維模型軟件中直接對(duì)各組成部分設(shè)置密度，由軟件計(jì)算得到裝配體的質(zhì)心位置。該型號(hào)雷達(dá)天線組成復(fù)雜，計(jì)算量很大，因此該方法不適用。理論計(jì)算另一種方法是利用力矩平衡方程進(jìn)行求解。已知裝配體各組成部分的質(zhì)心位置和重量以及裝配體的總重量，列方程即可求得裝配體的質(zhì)心位置：

式中：f為雷達(dá)天線的重力；l為雷達(dá)天線質(zhì)心相對(duì)于原點(diǎn)的位置；f1,f2,···,fn為各組成部分的重力；l1,l2,···,ln為各組成部分質(zhì)心相對(duì)于原點(diǎn)的位置。

采用式（13）的計(jì)算方法求得雷達(dá)天線質(zhì)心相對(duì)于俯仰軸的距離為2 665 mm，與上節(jié)計(jì)算結(jié)果相差1.83%。

4 結(jié)束語

本文以某雷達(dá)車轉(zhuǎn)塔系統(tǒng)為基礎(chǔ)，借助撓曲線近似微分方程建立數(shù)學(xué)模型，將測量結(jié)果代入數(shù)學(xué)模型，通過軟件計(jì)算求得該型雷達(dá)天線的質(zhì)心位置，與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比，結(jié)果相近。該方法的優(yōu)勢在于：1）不受限于場地和測量儀器，也不需要進(jìn)行繁多的數(shù)據(jù)收集和復(fù)雜的理論計(jì)算；2）在產(chǎn)品初樣階段能夠較為準(zhǔn)確地估算出實(shí)際工況下的雷達(dá)天線質(zhì)心位置；3）該方法是對(duì)理論計(jì)算的驗(yàn)證，在整車的質(zhì)心估算中，可用來修正理論計(jì)算結(jié)果。

在結(jié)構(gòu)滿足撓曲線近似微分方程使用條件的前提下，本文提出的雷達(dá)天線質(zhì)心位置估算方法效率高、結(jié)果準(zhǔn)確可靠，可為相關(guān)車載雷達(dá)天線或相似結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的質(zhì)心位置估算提供工程應(yīng)用參考。