袁麗蕓, 楊曉濤, 黃院星, 付學(xué)中, 宋錦江

(廣西科技大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院, 柳州 545006)

齒輪傳動(dòng)廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車領(lǐng)域,其動(dòng)力學(xué)的研究在齒輪設(shè)計(jì)方面有著至關(guān)重要的作用,而齒輪由于具有傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)、應(yīng)用廣泛等特點(diǎn),齒輪性能的改善有著深遠(yuǎn)的意義與前景。但經(jīng)過對齒輪的長期使用,開始出現(xiàn)一些問題,如齒輪傳動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng),這樣會(huì)對齒輪傳動(dòng)效率產(chǎn)生很大影響,并且齒輪也會(huì)由于各種因素如重載、高速等產(chǎn)生疲勞失效,所以對齒輪還需更多的研究。

對于齒輪建模與仿真的研究有很多。杜進(jìn)輔等[1]以高速斜齒輪為研究對象,建立六自由度的彎-扭-軸動(dòng)力學(xué)模型,采用改進(jìn)的承載接觸分析計(jì)算時(shí)變嚙合剛度、嚙合沖擊等,為高速斜齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)提供參考。周洋等[2]以圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對象,考慮齒面摩擦、齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度等非線性因素,引入溫度變化的影響,建立六自由度的齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型,并采用4～5階龍格-庫塔算法對模型進(jìn)行求解,結(jié)合分岔圖、相圖和Poincare 映射圖,分析溫度變化和激勵(lì)頻率對齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。王旭偉[3]使用Rayleigh梁模型,考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和陀螺效應(yīng),建立多自由度的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的有限元模型,使用Lagrange方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,得到系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速與不平衡響應(yīng),使用的梁單元沒有考慮剪切變形。劉浩[4]以高速齒輪箱中兩級(jí)斜齒輪為研究對象,采用集中質(zhì)量法構(gòu)建12自由度的系統(tǒng)模型,基于高速工況,采用4階龍格庫塔法求解振動(dòng)響應(yīng)。

劉明勇等[5]建立齒面接觸分析模型,研究了齒面摩擦等因素對嚙合性能的影響,驗(yàn)證了模型的正確性。岳會(huì)軍等[6]以一對常嚙合斜齒輪為研究對象,采用有限元法分析斜齒輪靜態(tài)和動(dòng)態(tài)接觸,得到齒面接觸應(yīng)力的大小及分布,為斜齒輪傳動(dòng)改善提供了基礎(chǔ)。閆博等[7]利用Palmgren-Miner線性損傷累計(jì)理論進(jìn)行齒根疲勞損傷計(jì)算,確定齒根斷裂的主要原因,并通過增大齒輪螺旋角、齒根倒角以及齒面修形等方法對齒輪進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化,優(yōu)化后的斜齒輪未發(fā)生斷裂,滿足了疲勞壽命要求,為齒輪修形方式提供參考。陳興彬等[8]在不同載荷譜的情況下,基于材料的疲勞-壽命(S-N)曲線和Miner線性損傷累計(jì)理論,利用nCode軟件對直齒輪副進(jìn)行疲勞可靠性分析,得到齒輪傳動(dòng)在靜載和動(dòng)載條件下的最大接觸應(yīng)力和最小疲勞壽命的區(qū)域,為齒輪嚙合疲勞的分布提供參考。王玉等[9]以斜齒輪副為研究對象,利用ANSYS Workbench對不同工況下的齒輪進(jìn)行應(yīng)力分析,并基于載荷譜對齒輪副進(jìn)行了強(qiáng)度校核與疲勞壽命計(jì)算,得到最小疲勞壽命出現(xiàn)在輪齒接觸面處,但沒有對修形齒輪進(jìn)行進(jìn)一步嚙合研究。韓嘯等[10]運(yùn)用 ANSYS Workbench對單個(gè)輪齒進(jìn)行靜力有限元分析,得到齒輪齒根應(yīng)力云圖,對不同修形量之間的對比,得到隨著修形量的增加,齒根應(yīng)力呈現(xiàn)減小的趨勢,但沒有進(jìn)行瞬態(tài)分析研究。劉建剛等[11]利用KISSsoft對減速器齒輪進(jìn)行計(jì)算,并將理論值與其進(jìn)行比較分析,得到應(yīng)力應(yīng)變分布圖,為傳動(dòng)設(shè)計(jì)提供參考。Li等[12]對傳統(tǒng)的疲勞壽命分析進(jìn)行修正,通過考慮工況和材料的影響,得到反應(yīng)面法對于電力動(dòng)車組齒輪疲勞壽命預(yù)測比傳統(tǒng)更加準(zhǔn)確和安全。Yang等[13]研究了齒輪的應(yīng)力敏感性和疲勞壽命特性,利用ANSYS Workbench有限元軟件建立了有限元模型,并將有限元分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比,證明了模型的正確性,但沒有針對齒輪修形進(jìn)行對比分析。Feng等[14]利用ANSYS Workbench軟件對齒面進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)接觸有限元模擬,得到失效斜齒輪的斷裂開始于齒根處,為齒輪動(dòng)態(tài)分析提供參考。

通過以上兩方面的研究對于模型建立都考慮多自由度的情況,但有許多構(gòu)建的動(dòng)力學(xué)方程還是不完善,而其中對于修形齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合研究較少,且許多研究對象是低速齒輪。所以針對這些問題,為了構(gòu)建更完善的動(dòng)力學(xué)方程,現(xiàn)對每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮6自由度來建立模型,進(jìn)行瞬態(tài)分析且采用Newmarkβ法進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)求解,之后使用KISSsoft 軟件進(jìn)行一對斜齒輪副幾何模型的構(gòu)建,并加以修形,在ANSYS Workbench中進(jìn)行瞬態(tài)分析,且在高速工況下,對修形前、后齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合和疲勞壽命兩方面進(jìn)行對比分析, 以證明該修形方式可行性,為高速斜齒輪研究提供參考。

1 轉(zhuǎn)子-齒輪-軸承系統(tǒng)振動(dòng)研究

1.1 轉(zhuǎn)軸單元

轉(zhuǎn)軸單元采用Timoshenko梁單元進(jìn)行轉(zhuǎn)軸建模,如圖1所示。

圖1 Timoshenko梁單元

包含彎-扭-軸的型函數(shù),且每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮6個(gè)自由度(x,y,z,θx,θy,θz),表達(dá)式如式(1)所示。

(1)

(2)

式中:ξ=S/L,S為沿著單元的軸向位置,L為轉(zhuǎn)軸單元的長度;A、E、G、I、φ、μ、κ′分別為轉(zhuǎn)軸的橫截面積、彈性模量、剪切模量、截面慣性矩、剪切因子、泊松比、截面剪切因素;而考慮的6個(gè)自由度中,x、y、z分別為X、Y、Z方向的變形量,θx、θy、θz分別為繞X軸、Y軸、Z軸的扭轉(zhuǎn)角度。

根據(jù)積分公式求得梁單元的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣及剛度矩陣[15]。

(3)

式(3)中:MT為彎曲質(zhì)量矩陣;MR為旋轉(zhuǎn)慣量矩陣,Mθ為扭轉(zhuǎn)慣量矩陣;G為陀螺矩陣;K為剛度矩陣;KS考慮了彎曲和剪切變形;Kθ考慮了扭轉(zhuǎn)變形;Id為直徑截面慣性矩;JP、Jd為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ρ為材料密度;上角標(biāo)“T”表示該矩陣的轉(zhuǎn)置,“″”和“′”分別為矩陣的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)。

矩陣表達(dá)式[15]及參數(shù)取值如式(4)～式(9)所示。

(4)

式(4)中:sym表示對稱矩陣。

(5)

(6)

式(6)中:

(7)

(8)

式(8)中:skew表示反對稱矩陣。

(9)

1.2 圓盤單元

圓盤單元視為剛性圓盤,在不考慮嚙合齒側(cè)間隙、齒面摩擦力,嚙合部分采用彈簧單元模擬,如圖2所示,其質(zhì)量矩陣及陀螺矩陣如式(10)和式(11)所示。

ψ為兩齒輪嚙合面與豎直方向的夾角;α為齒輪的嚙合角;β為齒輪的螺旋角

式中:m1、m2分別為齒輪偏心質(zhì)量;Id為直徑截面慣性矩;Ip為極截面慣性矩。

齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

(11)

(12)

式(12)中:Ω為旋轉(zhuǎn)速度;F為外力向量,包括輸出轉(zhuǎn)矩T2、不平衡力(Fd1x、Fd2x、Fd1y、Fd1y);e為偏心距,兩齒輪不平衡力x方向相反,y方向相同,M為圓盤的質(zhì)量矩陣;G為圓盤的陀螺矩陣;K為圓盤嚙合矩陣。

嚙合剛度計(jì)算是將單位接觸線長度的嚙合剛度視為常數(shù),以嚙合線長度函數(shù)與前者的乘積作為時(shí)變嚙合剛度。

k(t)=k0L(τ)

(13)

式(13)中:k(t)為時(shí)變嚙合剛度;k0為單位接觸線長度的嚙合剛度;τ=t/T,t為時(shí)間,T為嚙合周期,τ為標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間;L(τ)為斜齒輪時(shí)變接 觸線長度函數(shù),mm[6]。

(14)

式(14)中:εα、εβ分別為齒輪副端面重合度、軸向重合度;b為齒寬;βb為基圓螺旋角。

以輸入級(jí)轉(zhuǎn)速6 000 r/min為嚙合周期條件,結(jié)合所研究的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù),以《漸開線圓柱齒輪承載能力計(jì)算方法》(GB/T 3480—1997)定義的嚙合剛度為單位接觸線長度的嚙合剛度,基于式(14)計(jì)算時(shí)變嚙合剛度。

齒輪嚙合剛度矩陣[16]如式(15)所示。

1.3 軸承單元

對于軸承只考慮了兩個(gè)自由度(x、y)軸承剛度矩陣及阻尼矩陣,即

(16)

根據(jù)等向同性原則,Kxx=Kyy=Kb,Kxy=-Kyv,Kxx=Kyy=Kb,Kxy=-Kyv。

1.4 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)

通過有限元法建立轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型,包括轉(zhuǎn)軸單元、圓盤單元、偏心質(zhì)量單元、軸承單元,整個(gè)系統(tǒng)總共12個(gè)軸單元,兩個(gè)圓盤單元,4個(gè)軸承單元,14個(gè)節(jié)點(diǎn),軸長0.1 m,軸半徑為0.01 m,如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子-軸承劃分圖

通過以上的矩陣采用有限元法進(jìn)行組集,構(gòu)建動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

式(17)中:C為總阻尼包括軸承阻尼,通過計(jì)算得到轉(zhuǎn)速為6 000 r/min轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)前六階的固有頻率及0～6 000 r/min的campbell圖,如表1和圖4所示。

(15)

表1 固有頻率

表1結(jié)果得到彎曲的固有頻率,而圖4為轉(zhuǎn)速與固有頻率的變化圖,且前四階變化幾乎無變化,五階時(shí)出現(xiàn)稍微下降,六階出現(xiàn)上升趨勢,但由于系統(tǒng)陀螺力矩較小導(dǎo)致總體變化不明顯,在6 000 r/min位置是該轉(zhuǎn)速的第五階固有頻率。

1.5 位移響應(yīng)

考慮結(jié)構(gòu)阻尼,使用瑞利阻尼來求系統(tǒng)的阻尼:C=αK+βM,其中α取0.02,β取0.03,K為系統(tǒng)的剛度矩陣,M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣,再通過Newmarkβ法計(jì)算位移響應(yīng),得到結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 時(shí)域圖

圖5(a)為小齒輪的彎曲振動(dòng)時(shí)域圖,而圖5(b)為0～0.4 s的放大圖,0.1 s之前從負(fù)方向開始偏移,逐漸向0變化,0.1 s之后圍繞0進(jìn)行波動(dòng)。圖6(a)為彎曲振動(dòng)頻域圖,圖中出現(xiàn)的峰值對應(yīng)的頻率為第一臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的固有頻率,圖6(b)中的峰值對應(yīng)的固有頻率為第二臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的固有頻率。

圖6 頻域圖

圖7(a)為大齒輪的彎曲振動(dòng)時(shí)域圖,而圖7(b)為其中0～0.4 s的放大圖,0.1 s之前也從負(fù)方向開始偏移,比小齒輪的偏移要大,逐漸向0變化,0.1 s之后圍繞0進(jìn)行波動(dòng)。圖8(a)為彎曲振動(dòng)頻域圖,出現(xiàn)的峰值對應(yīng)的頻率為第一臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的固有頻率,圖8(b)中的峰值對應(yīng)的固有頻率為第二臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的固有頻率。

2 齒輪修型及嚙合仿真

2.1 齒輪修型

在所用的仿真模型為一對斜齒輪副。主要參數(shù)為Z1=21,Z2=65,a=65 mm,m=1.5 mm,b1=30 mm,b2=28 mm,Z1和Z2分別為小齒輪和大齒輪的齒數(shù),a為兩齒輪間的中心矩,m為齒輪的模數(shù),b1和b2分別為兩齒輪的齒寬。其中小齒輪為驅(qū)動(dòng)輪,大齒輪為從動(dòng)輪。使用KISSsoft 軟件進(jìn)行以上參數(shù)的設(shè)置得到幾何模型。為了降低網(wǎng)格劃分的難度和對計(jì)算機(jī)硬件的要求,提高計(jì)算速度,在保證精度的前提下,省略了齒輪上的鍵槽和倒角,之后再進(jìn)行齒輪的修形設(shè)置,基于湯兆平等[17]的修型方式比較單位長度載荷和傳遞誤差得到修形后的幾何模型。修形參數(shù)如表2所示,比較形式如圖9和圖10所示。

表2 修形參數(shù)

圖10 單位長度載荷

圖9中傳遞誤差從1.79 μm下降到1.51 μm,傳動(dòng)平穩(wěn)性得到提高,圖10中單位長度最大載荷從243 N/mm下降到224 N/mm,且修型后在中間位置載荷最小,使載荷分布更加均勻,有利于齒輪平穩(wěn)嚙合,且齒輪的比滑率在(-1,1)表現(xiàn)出齒輪嚙合狀態(tài)良好。修形后斜齒輪的幾何模型如圖11所示。

圖11 齒輪幾何模型

2.2 齒輪嚙合仿真

將KISSsoft中的模型轉(zhuǎn)換成stp格式的文件,之后直接導(dǎo)入ANSYS Workbench中。將材料定義為20CrMnTiH,其中屈服強(qiáng)度為1 500 MPa,屈服極限為1 800 MPa,且彈性模2.07×1011MPa,泊松比0.29?？紤]到齒輪的實(shí)際工作條件,接觸齒輪表面的接觸類型設(shè)置為摩擦,摩擦因數(shù)初始化為0.15,齒輪的動(dòng)態(tài)接觸如圖12所示,齒面的接觸狀態(tài)如圖13所示。

圖12 動(dòng)態(tài)接觸

圖13 接觸狀態(tài)

圖12中紅色部分為小齒輪所有接觸齒面,藍(lán)色部分為大齒輪所有接觸齒面,可以看到齒輪動(dòng)態(tài)接觸的狀態(tài),而設(shè)置的參數(shù)方法采用廣義的朗格朗日法(augmented Lagrange),關(guān)閉微小滑動(dòng)(small sliding),方向?yàn)樵诟咚裹c(diǎn)上(on Gauss point),且滲透容差(penetration tolerance)和搜索半徑倍數(shù)(pinball factor)的分別為0.1 和0.2,齒輪接觸設(shè)為調(diào)整接觸(adjust to touch)。而圖13中為接觸部位的各種狀態(tài)分布,其中大部分都處于接近閉合狀態(tài)。

為了保證結(jié)果的準(zhǔn)確性,在網(wǎng)格劃分中,首先采用掃掠(sweep)的方法進(jìn)行劃分,之后再對接觸的齒面再進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化。得到非修形齒輪劃分的網(wǎng)格為146 979個(gè)節(jié)點(diǎn)和30 765個(gè)單元,修形齒輪劃分的網(wǎng)格為279 774個(gè)節(jié)點(diǎn)和61 275個(gè)單元, 且網(wǎng)格的質(zhì)量均較高,且平均質(zhì)量都達(dá)到0.7左右,網(wǎng)格劃分圖如圖14所示。

圖14 網(wǎng)格劃分

圖14中網(wǎng)格劃分采用六面體網(wǎng)格,它比四面體網(wǎng)格的計(jì)算精度更加準(zhǔn)確,且根據(jù)Hanoca等[18]中得到網(wǎng)格劃分越小,結(jié)果越好,所以把網(wǎng)格尺寸設(shè)為1 mm,使得在齒厚方向劃分出兩個(gè)網(wǎng)格如圖14中右下角,這樣比Xing等[19]中齒厚方向上只有一列網(wǎng)格劃分進(jìn)行瞬態(tài)分析的結(jié)果更加精確,可以看出齒厚方向的變形情況,使應(yīng)力和疲勞計(jì)算更加精確,這樣更符合有限元?jiǎng)澐忠?guī)范。

接下來進(jìn)行分析設(shè)置為直接法(direct),打開弱彈簧(weak springs)和大變形(large deflection),非線性控制方法為完全法(full),并打開力收斂(force convergence),位移收斂(displacement convergence)及線搜索(line search),且穩(wěn)定性(semi-implicit)設(shè)置為程序控制(program controlled)。速度及阻力矩設(shè)置如圖15所示。

圖15 速度與力矩的設(shè)置

圖中大齒輪上施加了2 000 N·mm的恒定阻力扭矩,小齒輪上施加了6 000 r/min的恒定轉(zhuǎn)速,使得齒輪處于高速的工作狀態(tài),其中阻力矩值和轉(zhuǎn)速只是某一個(gè)試驗(yàn)值,并不是根據(jù)準(zhǔn)確的實(shí)際工作條件來設(shè)置的。

2.3 動(dòng)力學(xué)仿真分析

根據(jù)有限元模型的計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果導(dǎo)入后處理器,獲得了修形前、后的齒輪嚙合過程中的等效應(yīng)力分布云圖,如圖16所示。

圖16 等效應(yīng)力分布圖

圖16(a)為未修形齒輪的等效應(yīng)力分布圖,圖16(b)為未修形齒輪等效應(yīng)力分布圖,下左的區(qū)域圖為齒輪的最大等效應(yīng)力區(qū)域放大圖,且處在兩齒輪接觸的大齒輪齒根處,最小在小齒輪齒根處,得到修形的斜齒輪最大等效應(yīng)力從1 579 MPa減小到1 426 MPa,整體減小了6.6%,其中除了齒面接觸靠近齒根處有較大的等效應(yīng)力產(chǎn)生,其他地方的等效應(yīng)力相對于齒面接觸處都較小。

2.4 疲勞分析

將計(jì)算結(jié)果及材料S-N曲線圖導(dǎo)入疲勞工具中,S-N曲線圖如圖17所示。

圖17 20CrMnTiH材料S-N曲線圖

圖17中,橫坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)圈數(shù)N且使用對數(shù)形式,縱坐標(biāo)為應(yīng)力S,在圈數(shù)1～6.3的應(yīng)力隨圈數(shù)增大直線下降,之后應(yīng)力趨于平穩(wěn)。此外,疲勞載荷類型設(shè)置為(基于零)based-zero,疲勞應(yīng)力系數(shù)也設(shè)置為0.8,經(jīng)過后處理,得到修形前、后斜齒輪的疲勞壽命和安全系數(shù)分布圖,如圖18、圖19所示。

圖18 疲勞壽命分布圖

圖19 疲勞安全系數(shù)分布圖

圖18(a)為未修形齒輪的疲勞壽命分布圖,圖18(b)為修形齒輪疲勞壽命分布圖,而左下角為最小疲勞壽命區(qū)域放大圖,可知疲勞壽命最小區(qū)域?yàn)榈刃?yīng)力最大的區(qū)域,且修形齒輪的最小疲勞壽命增加。

圖19(a)為未修形齒輪安全系數(shù)分布圖,圖19(b)為修形齒輪安全系數(shù)分布圖,左下角為最小安全系數(shù)區(qū)域放大圖,最小安全系數(shù)從0.83增加到0.92,修形齒輪的安全性更加可靠。綜上對于修形前后的等效應(yīng)力、疲勞壽命及安全系數(shù)的分析,高速齒輪可以通過齒廓和齒向兩方面的修形,降低了齒輪的應(yīng)力集中,減少了齒輪之間的傳遞誤差,增大了齒輪使用的疲勞壽命和安全系數(shù)。

3 結(jié)論

對轉(zhuǎn)子-軸承模型進(jìn)行了系統(tǒng)中齒輪的固有特性分析,在之后通過KISSsoft和ANSYS Workbench軟件以高速條件對修形前、后斜齒輪副進(jìn)行瞬態(tài)仿真分析,并進(jìn)行對比分析,為高速斜齒輪的研究提供了參考,最終得到以下結(jié)論。

(1)通過MATLAB對多自由度的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)在考慮輸入輸出轉(zhuǎn)矩、不平衡力等外力,建立了更完善的動(dòng)力學(xué)方程最終得到系統(tǒng)的固有頻率,齒輪彎曲的時(shí)域圖、頻域圖。

(2)通過應(yīng)力分析可知斜齒輪在高速工作狀態(tài)下其隨時(shí)間變化最大應(yīng)力隨周期性變化,最大應(yīng)力處于兩齒輪接觸的齒根位置,且修形后齒輪等效應(yīng)力減小。

(3)通過疲勞分析可知高速斜齒輪的最小疲勞壽命和最小安全系數(shù)處于最大應(yīng)力處,且修形齒輪的疲勞壽命和安全系數(shù)相應(yīng)增加,證明了該修形方式的正確性。