? 甘肅省白銀市教育科學研究所 何麗君

在教學過程中,時常會遇到點的運動類問題.由于動點處于不斷的運動中,教師講解時倍感壓力,而這類問題在練習與檢測中又經(jīng)常出現(xiàn).因此,研究點的運動問題非常有必要.本文中以點的運動形成相似三角形為切入點,探究圖形中點的運動問題的解決方法.

1 素養(yǎng)體現(xiàn)

動點問題一方面綜合了諸多知識點,另一方面對解決技巧有較高的要求.由此觀之,動點問題通常體現(xiàn)以下素養(yǎng):

(1)畫圖能力,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.由于點是運動的,因此分析其運動情況就離不開畫圖.換言之,將運動情況用圖形表現(xiàn)出來,既是解決這類問題的首要環(huán)節(jié),也是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)[1].

(2)問題分析能力,體現(xiàn)分類討論思想.點的運動形成相似三角形后,往往存在多個符合題意的三角形,這就需要對每種情況進行分類討論.

(3)符號化語言,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.根據(jù)點的運動情況畫好圖后,需將相關(guān)的線段用代數(shù)式表示出來,有利于分析和解決問題,同時也是將文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言的過程.

下面結(jié)合一道題加以說明:

例題如圖1,四邊形ABCD是一個長為8 cm、寬為6 cm的矩形.在BC,DC上分別有動點P,Q,點P的速度是2 cm/s,Q的速度是1 cm/s.現(xiàn)規(guī)定:點P從點B出發(fā)向點C運動,點Q從點C出發(fā)向點D運動,當一個點到達終點時,另一個點也立即停止運動.幾秒時,以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?

圖1

本題出現(xiàn)了兩個動點,運動的速度、方向等為分析動點狀態(tài)提供了重要條件.那么,本題是如何體現(xiàn)上文中提到的素養(yǎng)的呢?

(1)通過動點的運動情況畫圖,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.由于P,Q兩點的運動,線段PQ與BC或DC形成的夾角大小不同.考慮到△ABC是直角三角形,點P,Q在運動的過程中并不能改變∠PCQ為直角這個事實,所以只需線段PQ與BC或DC形成的夾角中有一個與∠BAC相等即可.于是,可畫出圖2中的簡圖:

圖2

(2)根據(jù)畫出的圖形,利用分類討論思想解決問題,體現(xiàn)了分類討論思想.從圖2可以看出,∠PQC和∠BAC相等、∠QPC和∠BAC相等是動點運動時存在的兩種情況.

(3)根據(jù)點的運動情況,將相關(guān)線段用代數(shù)式表示出來,并根據(jù)需要列方程解決問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.在確定兩種情況后,接下來需進行分析,而分析中的第一步就是根據(jù)兩點的運動狀況用代數(shù)式表示出相關(guān)線段.如下:

設ts時,以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似.

情況一:如圖2(1),有△ABC∽△Q1CP1,此時可知BP1=2t,CP1=8-2t,CQ1=t,DQ1=6-t.

情況二:如圖2(2),有△ABC∽△P2CQ2,此時可知BP2=2t,CP2=8-2t,CQ2=t,DQ2=6-t.

接下來,由相似三角形的性質(zhì)列出方程并解出t.最后,解決本題[2].

2 解法說明

既然點的運動產(chǎn)生的相似三角形問題蘊含著如此豐富的素養(yǎng),那么這類問題具體應如何解決呢?下面進行說明:

首先,根據(jù)動點的運動情況畫出符合題意的圖形.由于∠ABC=∠PCQ=90°,根據(jù)相似三角形的判定,若△ABC和△PCQ相似,應有以下兩種情況:

情況一:∠PQC=∠BAC,如圖2(1).

情況二:∠QPC=∠BAC,如圖2(2).

其次,分類討論并計算.根據(jù)以上兩種情況,分別利用相似三角形的性質(zhì)列方程.

本題的解決過程如下:

解：設ts時,以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似.根據(jù)題意,有以下兩種情況.

情況一:∠PQC=∠BAC,如圖2(1).此時易證得△ABC∽△Q1CP1.

情況二:∠QPC=∠BAC,如圖2(2).此時易證得△ABC∽△P2CQ2.

3 反思與啟示

本題是在已經(jīng)確定一組對應角相等的情況下尋求另一組對應相等的角.為了簡化問題,將∠BAC設為參考對象,只需尋找∠PQC或∠QPC與之相等即可.最后,分析出了兩種不同的情況.

這種“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法,對解決“因動點產(chǎn)生的相似三角形問題”有重要作用.如下面這道中考真題:

(2022·湖州)已知在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和N,點F從點M出發(fā),沿x軸正方向以1個單位長度/s的速度運動,連接PF,過點P作PE⊥PF交y軸于點E,設點F運動的時間是ts(t>0).

(1)若點E在y軸的負半軸上(如圖3所示),求證:PE=PF;

圖3

(2)在點F運動過程中,設OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b;

(3)作點F關(guān)于點M的對稱點F′,經(jīng)過M,E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q,連接QE.在點F運動過程中,是否存在某一時刻,使得以點Q,O,E為頂點的三角形與以點P,M,F為頂點的三角形相似?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

不難發(fā)現(xiàn),本題第(3)小題與例題類似,故“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法的啟示在解決此小題時可發(fā)揮作用.因此,本題第(3)小題的解決思路簡要分析如下:

首先,根據(jù)題意確定12兩種情況.然后,在每種情況中根據(jù)點的運動情況,同時結(jié)合“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法,得到12時△OEQ∽△MPF或△OEQ∽△MFP兩種情況,如圖5.最后,進行分類討論和計算.

圖5

4 結(jié)語

綜上所述,圖形中的動點雖然常令人眼花繚亂,但掌握其分析方法,就可以化繁為簡.本文中“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法,適用于因動點產(chǎn)生的相似三角形、全等三角形等問題中,是解決這類問題一種行之有效的方法.作為教師,應在講解中多滲透該種方法,直至學生能掌握并靈活應用于問題解決中[3].