? 江蘇省南京市將軍山中學(xué) 張 俊

1 引言

對于多邊形內(nèi)角和、外角和的內(nèi)容,筆者一直頗有興致,尤其是相關(guān)結(jié)論的證明更需“一以貫之”.于是筆者嘗試將相關(guān)結(jié)論的證明過程進(jìn)行有機(jī)整合,達(dá)到證明方式與思考路徑的“一以貫之”,讓學(xué)生對本部分內(nèi)容進(jìn)行內(nèi)化并追本溯源,全面審視所學(xué)知識,提高立足點(diǎn),關(guān)注知識的形成過程,達(dá)到將知識融會貫通的目的,讓學(xué)生在知識、思想與方法上實現(xiàn)“一以貫之”[1].

2 教學(xué)過程設(shè)計

問題1如何證明“三角形內(nèi)角和是180°”?

追問1:問題1的這些證明方法,有什么共同點(diǎn)?

追問2:拼接點(diǎn)除了頂點(diǎn)處,還可以在哪里?

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生回憶三角形內(nèi)角和的證明本質(zhì),即借助平行線將三個內(nèi)角拼成平角或同旁內(nèi)角(如圖1～3).而構(gòu)成平角的拼接點(diǎn)可以在頂點(diǎn)處,也可以在邊上、內(nèi)部或外部(如圖4～6)[2].

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

問題2關(guān)于點(diǎn)的位置的選擇問題,你有過類似的經(jīng)驗嗎?

追問1:如何得到多邊形的內(nèi)角和公式?

追問2:你有什么猜測?

設(shè)計意圖：借由此問,幫助學(xué)生明確多邊形內(nèi)角和定理證明的本質(zhì),就是把多邊形變成若干個三角形.而分割線可以過頂點(diǎn),也可以過邊上、內(nèi)部、外部的任意一點(diǎn)進(jìn)行分割(如圖7～10).通過追問,引發(fā)學(xué)生對多種方法證明外角和定理的思考.

圖7

圖8

圖10

問題3根據(jù)已有經(jīng)驗,對于證明“三角形的外角和是360°”,你準(zhǔn)備如何開展研究?

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗,從周角入手,明確三角形外角和的證明其本質(zhì)就是把外角拼接到一起轉(zhuǎn)化為一個周角.因此,構(gòu)造周角的點(diǎn)P既可以置于三角形的頂點(diǎn)處,也可以置于三角形的邊上、內(nèi)部和外部.(如圖11～14)

圖11

圖12

圖13

圖14

追問1:接下來你準(zhǔn)備如何繼續(xù)開展研究?

追問2:如何證明“多邊形的外角和為360°”?

設(shè)計意圖：類比之前的學(xué)習(xí),學(xué)生可以熟練地利用平行線,將各外角進(jìn)行平移、拼接.而拼接點(diǎn)的位置自然可以在頂點(diǎn)、邊上、內(nèi)部、外部等位置.

問題4通過對內(nèi)角和與外角和結(jié)論證明方法的梳理,你有哪些感受?

設(shè)計意圖：在梳理中,讓學(xué)生感覺到證明方法雖然多樣,但關(guān)鍵都是如何平移角的問題.方法雖然很豐富,但平移角的時候,輔助線都不太好添加.

追問:為了讓證明更具簡潔美,可以從復(fù)雜圖形中尋找出簡潔的基本圖形,請試著找一找.

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生找到這個不變的基本圖形,可稱為“移動的平角”.同樣地,在三角形的外角和證明過程中,也存在這樣一個不變的圖形,那就是“移動的周角”.(如圖15～16)

圖15

圖16

問題5能否設(shè)計一個轉(zhuǎn)筆游戲,來驗證內(nèi)角和與外角和的大小呢?

設(shè)計意圖：設(shè)計轉(zhuǎn)筆游戲,可讓學(xué)生結(jié)合轉(zhuǎn)動的位置判斷屬于內(nèi)角和(如圖17)還是外角和(如圖18),再根據(jù)轉(zhuǎn)動后筆尖的方向判斷轉(zhuǎn)動的度數(shù),驗證旋轉(zhuǎn)角度的類別和大小.

圖17

圖18

問題6通過今天的學(xué)習(xí),你對多邊形的內(nèi)角和與外角和有哪些新的認(rèn)識?

設(shè)計意圖：通過總結(jié)與反思,學(xué)生感受到有關(guān)內(nèi)角和與外角和的證明在本質(zhì)、思路與技巧上的一致性,體會數(shù)學(xué)知識的相通性,從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“一以貫之”.

3 教學(xué)思考

本節(jié)課將三角形的內(nèi)角和、外角和,多邊形的內(nèi)角和、外角和相關(guān)結(jié)論的證明過程進(jìn)行有機(jī)整合,實現(xiàn)了“一以貫之”的目標(biāo),關(guān)注知識的形成過程和發(fā)生發(fā)展過程,以生為本,順其自然,循循善誘,水到渠成.

3.1 有效整合,一以貫之

教材依托實驗獲得新知,內(nèi)容看似簡單,實際知識豐富,如果只按教材授課,那么學(xué)生的思維發(fā)展會比較局限.筆者將相關(guān)知識有機(jī)整合,讓學(xué)生厘清內(nèi)在關(guān)系,站在更高的立足點(diǎn)上去觀察問題,將很多問題融會貫通,達(dá)到了有效整合的目的.不同的證明方法之間也有著內(nèi)在的聯(lián)系,而這些聯(lián)系最終將回到平角、周角等知識上去,體現(xiàn)了證明方法的“一以貫之”,引領(lǐng)學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”.

3.2 問題驅(qū)動,一以貫之

本課的設(shè)計采用“問題驅(qū)動、一以貫之”的教學(xué)方式,利用問題逐步引導(dǎo),創(chuàng)造一種具體問題情境讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,促進(jìn)思維發(fā)展.

利用問題引導(dǎo)學(xué)生思考三角形內(nèi)角和的證明方向和本質(zhì),嘗試思考輔助線的不同添加方式.再利用問題讓學(xué)生體會多邊形內(nèi)角和公式與其他結(jié)論的證明思路一致之處.同時,通過追問再將其思路引入到三角形外角和結(jié)論的證明當(dāng)中,顯得自然流暢.

通過問題,學(xué)生感受到三角形外角和、多邊形外角和相關(guān)結(jié)論的證明就是將這些外角拼接成一個周角,體會數(shù)學(xué)的“一以貫之”的類比思想.

3.3 層層突破,一以貫之

教學(xué)的核心就是“教學(xué)設(shè)計”.本節(jié)課抓住了教學(xué)活動中學(xué)生的三次突破,層層推進(jìn)教學(xué).

第一次突破在問題1:拼接點(diǎn)除了頂點(diǎn)處,還可以在哪里?事實上,這一教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵就在引出“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)方法.有了這個環(huán)節(jié)方法的研究,后續(xù)研究多邊形的外角和就可“一以貫之”了.

第二次突破在問題3:“外角和是否也可以用這樣的方法證明呢?”這既是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要,更是滿足學(xué)生的探究欲望的需要,這一環(huán)節(jié)的探究就顯得很開放,學(xué)生的自主地位很明顯.

第三次突破在問題5:當(dāng)完成了所有的研究后,并不能體會它的價值.此時轉(zhuǎn)筆實驗應(yīng)運(yùn)而生.在實驗中,讓學(xué)生嘗試將筆端放在邊上、外部進(jìn)行旋轉(zhuǎn),用實驗體會證明方法的“一以貫之”.

數(shù)學(xué)本身就是相通的,只有立足“一以貫之”,實現(xiàn)“數(shù)學(xué)相通”,才能更好地幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想融合,帶領(lǐng)學(xué)生站在數(shù)學(xué)的山頂俯瞰數(shù)學(xué),欣賞數(shù)學(xué)!