? 福建省廈門(mén)市東山中學(xué) 張燕茹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”)指出,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總目標(biāo)是通過(guò)義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí),使學(xué)生獲得“四基”,增強(qiáng)“四能”,并具備科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新意識(shí).作業(yè)是學(xué)生達(dá)到新課標(biāo)目標(biāo)要求的重要途徑之一,合理的作業(yè)可以事半功倍地幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、查缺補(bǔ)漏,提高綜合素質(zhì).因此,“雙減”對(duì)教師如何切實(shí)提高初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的有效性提出了更高要求,筆者就初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)有效性的特點(diǎn)進(jìn)行深入思考,提出了作業(yè)有效性的延續(xù)性、針對(duì)性、層次性,希望通過(guò)“三性”的實(shí)踐研究,為廣大教師在作業(yè)設(shè)計(jì)有效性方面提供一定的參考,真正起到減負(fù)增效的作用.

1 善于例題變式,讓作業(yè)有延續(xù)性

作業(yè)是了解學(xué)生掌握課堂知識(shí)情況的檢驗(yàn)手段,例題的變式可以更好地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來(lái)思考問(wèn)題,不僅可以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維,還能促進(jìn)學(xué)生更全面地掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn).因此,對(duì)例題的挖掘與變式,能讓作業(yè)更好地發(fā)揮延續(xù)功效,提高課堂的教學(xué)效果[1].

例1如圖1所示,梯形ABCD中AB∥CD,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,求證:(1)AE平分∠BAD;(2)AB+CD=AD.

圖1

分析：該例題解題過(guò)程中需要添加輔助線(xiàn),學(xué)生易犯的錯(cuò)誤有兩點(diǎn).(1)認(rèn)為E是BC的中點(diǎn),為了構(gòu)造全等三角形,延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F,DE=EF,連接BF,但并未求證點(diǎn)A,B,F在一條直線(xiàn)上;(2)認(rèn)為DE平分∠ADC,為了構(gòu)造全等三角形或等腰三角形,延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F,使DC=AD,連接EF,但并未求證A,B,F三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.

于是,為了更好地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,促進(jìn)學(xué)生全面掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn),利用該例題可以變式設(shè)計(jì)如下作業(yè):

變式1如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD,求證:(1)E是BC的中點(diǎn);(2)AB+CD=AD.

變式2如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中點(diǎn),AB+CD=AD,求證:(1)DE平分∠ADC;(2)AE平分∠BAD.

變式3已知四邊形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),其中DE平分∠ADC,AE平分∠BAD,AB+CD=AD,求證:(1)E是BC的中點(diǎn);(2)AB∥CD.

設(shè)計(jì)意圖：利用該例題設(shè)計(jì)三種變式作業(yè),能讓學(xué)生更好、更充分地明白圖形結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)系,以及掌握如下兩種添加輔助線(xiàn)的常用方法.(1)根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn),可以聯(lián)想利用中心旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造全等三角形;(2)根據(jù)角平分線(xiàn),可以聯(lián)想到利用圖形翻轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造全等三角形.此外,變式1～3達(dá)到了舉一反三的功效,遠(yuǎn)比單一的、零碎的選擇個(gè)別作業(yè)題效果要好,通過(guò)變換問(wèn)題的條件和結(jié)論,變換問(wèn)題呈現(xiàn)的形式來(lái)設(shè)計(jì)作業(yè),不僅可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)本質(zhì)看問(wèn)題,不停留在問(wèn)題的表象,還可以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,促使學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系,從而更深刻地掌握課堂教學(xué)內(nèi)容.

2 注重知識(shí)整合,讓作業(yè)有針對(duì)性

一節(jié)課中往往會(huì)教給學(xué)生多個(gè)知識(shí)點(diǎn),教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)應(yīng)注意所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的整合,盡可能地把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)整合到一個(gè)例題中或一組例題中.此外,在設(shè)計(jì)作業(yè)的過(guò)程中,還可以將前后有關(guān)聯(lián)的新舊知識(shí)點(diǎn)整合到一個(gè)例題或一組例題中.這樣設(shè)計(jì)作業(yè)有助于學(xué)生在做題過(guò)程中同時(shí)掌握一連串相關(guān)的、前后有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn),既能有針對(duì)性地復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),又能很好地訓(xùn)練逆向思維,還能減少作業(yè)量,避免重復(fù)、大量的作業(yè),真正實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”,提高作業(yè)的有效性.

例2把下列各式因式分解.

(1)9a2-4b2=______.

(2)3x2y4+6xy2z=______.

(3)4x2-4x+1=______.

(4)a2+6b-ab-6a=______.

分析：該例題為關(guān)于因式分解知識(shí)點(diǎn)的課后作業(yè),學(xué)生充分掌握因式分解的方法后,看到類(lèi)似的題目,在腦海中會(huì)形成飽和模式.在此情況下,如果還只是提供一些常見(jiàn)的作業(yè)題目,則很難引導(dǎo)學(xué)生深入思考,學(xué)生完成作業(yè)也只是機(jī)械的重復(fù),思維得不到鍛煉.因此,有必要對(duì)作業(yè)進(jìn)行再精選、再設(shè)計(jì),以提高作業(yè)的有效性.

例3完成下列各題.

(1)多項(xiàng)式a2+b2,a2-b2,-a2+b2中,能分解因式的有______.

(2)若多項(xiàng)式a2+mab+9b2是一個(gè)完全平方式,則m的值為_(kāi)_____.

(3)如果多項(xiàng)式a2-kb-15能分解因式,則k的值可以是______.

(4)把多項(xiàng)式xy-xz+y-z用分組分解法分解因式,不同的方法有______種.

(5)把下列各式因式分解:3ca2-3cb4;a2+2ba-3b2;4x(1-x)3-(x-1)2.

設(shè)計(jì)意圖：以上是關(guān)于因式分解知識(shí)點(diǎn)的一組作業(yè).這組作業(yè)中,有些是基礎(chǔ)題,有些則是在基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)變化進(jìn)行再設(shè)計(jì),其目的就是提高作業(yè)的有效性,引導(dǎo)學(xué)生深入思考,更好地掌握因式分解的解題方法和出題方式.這種將知識(shí)點(diǎn)整合的作業(yè)設(shè)計(jì),特別適用于學(xué)業(yè)繁重的初三學(xué)生,精選、整合、有針對(duì)性,能夠高效提高學(xué)生的解題能力.

3 加強(qiáng)分組設(shè)計(jì),讓作業(yè)有層次性

每個(gè)學(xué)生都是不同的個(gè)體,對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度均不相同.為了更好地加強(qiáng)不同學(xué)生的薄弱知識(shí),教師可以依據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn),細(xì)心對(duì)作業(yè)進(jìn)行合理分層.學(xué)生根據(jù)自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況,基于教師設(shè)計(jì)的具有層次性的作業(yè),選擇符合自身的作業(yè)題目進(jìn)行練習(xí).如此設(shè)計(jì)層次性作業(yè),不僅有針對(duì)性地幫助學(xué)生突破薄弱環(huán)節(jié),還能減輕教師的作業(yè)設(shè)計(jì)任務(wù)[2].

例4關(guān)于x的二次函數(shù)y=(m+3)xm2+4m-3+5.

(1)若該函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,求m的值;

(2)若該函數(shù)存在最大值,求m的值.

例5如圖2所示,函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)方程為x=2,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,且x1

圖2

A.b2-4ac<0 B.ab>0

C.x1+x2<0 D.4

例6已知A,B兩家公司生產(chǎn)一批同款鞋子200雙.A公司生產(chǎn)的每雙鞋子成本為70元.B公司生產(chǎn)鞋子的總成本y(單位:元)與數(shù)量x(單位:雙)之間存在y=ax2+bx的函數(shù)關(guān)系,其中,當(dāng)x=20時(shí),y=1 000;當(dāng)x=10時(shí),y=400.現(xiàn)需要將鞋子運(yùn)往C,D兩家店,從A公司運(yùn)往C,D的費(fèi)用分別為m元/雙和6元/雙;從B公司運(yùn)往C,D的費(fèi)用分別為2元/雙和4元/雙.C地需要180雙,D地需要20雙,當(dāng)A,B兩家公司生產(chǎn)這批鞋子的總成本的和最少時(shí),求A,B總運(yùn)費(fèi)的和的最小值(用含m的式子表示).

設(shè)計(jì)意圖：例4～例6是依據(jù)二次函數(shù)的不同的知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的作業(yè).其中,例4較為基礎(chǔ),只要掌握二次函數(shù)的定義及性質(zhì)即可,難度較低;解答例5,需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,并要結(jié)合圖象來(lái)解決問(wèn)題,難度有所提高;例6與生活相結(jié)合,理解難度較大,需要學(xué)生能從文字描述中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,再運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.例4、例5、例6難度層次不同,學(xué)生可以依據(jù)自己的薄弱情況,針對(duì)性地選擇作業(yè),突破薄弱點(diǎn),增強(qiáng)信心.

在“雙減”背景下,教師能夠認(rèn)識(shí)到作業(yè)設(shè)計(jì)的重要性,是學(xué)生“減負(fù)增效”的關(guān)鍵.教師應(yīng)盡量減少作業(yè)數(shù)量,提升作業(yè)設(shè)計(jì)的有效性,不斷探索、實(shí)踐日常作業(yè)設(shè)計(jì),將作業(yè)設(shè)計(jì)作為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)能力的重要途徑,切實(shí)使學(xué)生獲得“四基”,增強(qiáng)“四能”,樹(shù)立科學(xué)態(tài)度,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).