姚慧 張海強(qiáng) 熊瑋玥

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

作為非線性發(fā)展方程的一種特殊局域解,呼吸子具有包絡(luò)振蕩結(jié)構(gòu),且這種振蕩呈現(xiàn)周期性變化.根據(jù)呼吸子在分布方向和演化方向的周期性,呼吸子主要有3 種類(lèi)型,即Kuznetsov-Ma 呼吸子(Kuznetsov-Ma breather,KMB)、Akhmediev 呼吸子(Akhmediev breather,AB)和一般呼吸子(general breather,GB).近年來(lái),周期背景下的呼吸子現(xiàn)象在許多非線性物理領(lǐng)域被觀察到,比如在非線性光纖光學(xué)、流體力學(xué)等.研究表明背景周期波的調(diào)制不穩(wěn)定性可以激發(fā)呼吸子的產(chǎn)生,且周期背景下的呼吸子具有非常豐富的物理性質(zhì)和相互作用.因此,最近在周期背景下呼吸子的時(shí)空結(jié)構(gòu)和相互作用引起了廣泛關(guān)注.Gerdjikov-Ivanov 方程可以被用來(lái)描述在量子場(chǎng)理論、弱非線性色散水波、非線性光學(xué)等領(lǐng)域中的非線性物理現(xiàn)象.構(gòu)造該模型的各種類(lèi)型的解是非常有意義的工作.據(jù)了解,在橢圓函數(shù)背景下的多呼吸子之前還未被研究過(guò).本文首先利用修正的平方波(modified squared wave,MSW) 函數(shù)法和行波變換法獲得該方程的橢圓函數(shù)解.然后,在橢圓函數(shù)解初始條件下得到該方程Lax 對(duì)的通解.基于橢圓函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式以及積分公式,將勢(shì)函數(shù)周期解化簡(jiǎn)為只含有Weierstrass 橢圓函數(shù).然后,利用達(dá)布變換構(gòu)造出在橢圓函數(shù)背景下呼吸子的具體表達(dá)形式.在橢圓函數(shù)背景下,推導(dǎo)出3 種不同類(lèi)型的呼吸子,包括GB,KMB 和AB.最后,給出3 種呼吸子的時(shí)空結(jié)構(gòu)三維圖,并且展示它們之間相互作用的過(guò)程.

1 引言

隨著自然科學(xué)的不斷發(fā)展進(jìn)步,研究非線性科學(xué)逐漸成為熱點(diǎn)課題之一[1,2].在研究人員的不斷探索下,人們發(fā)現(xiàn)非線性發(fā)展方程可以描述許多非線性現(xiàn)象,包括非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger,NLS)方程[3,4],modified Korteweg-de Vrie(mKdV)方程[5],Hirota 方程和Gerdjikov-Ivanov(GI)方程[6]等.作為非線性發(fā)展方程的局域解,孤子、呼吸子和怪波可以被用來(lái)揭示自然科學(xué)和工程技術(shù)中的許多非線性局域現(xiàn)象.呼吸子泛指一類(lèi)具有周期分布結(jié)構(gòu)的非線性波,可以在有限背景的某一空間或傳播方向局域,且具有周期振蕩的特點(diǎn)[7].20 世紀(jì)70 年代,Kuznetsov[8]和Ma[9]對(duì)NLS 方程進(jìn)行求解時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種特殊的非線性波,該波表現(xiàn)出在空間方向上局域,時(shí)間方向上周期呼吸的特征.人們稱(chēng)為“Kuznetsov-Ma 呼吸子”(Kuznetsov-Ma breather,KMB) .

1986年,Akhmediev 等[10]在構(gòu)造NLS 方程的呼吸子時(shí),發(fā)現(xiàn)一類(lèi)與KMB 的結(jié)構(gòu)完全不同的非線性波,將其稱(chēng)為“Akhmediev 呼吸子” (Akhmediev breather,AB),該非線性波具有在時(shí)間方向上局域、空間方向上周期的特點(diǎn).1988年,其以NLS 方程為研究對(duì)象,得到了一類(lèi)不拘泥于時(shí)間或空間方向周期震蕩的呼吸子[11].在學(xué)者們的不斷探索下,呼吸子的應(yīng)用價(jià)值已在非線性光學(xué)[12]、流體力學(xué)[13]、玻色-愛(ài)因斯坦凝聚和流體力學(xué)[14,15]等非線性物理中體現(xiàn).NLS 方程一直以來(lái)都是孤子方程中的熱點(diǎn),于是在NLS 方程的基礎(chǔ)上,開(kāi)始尋找推廣的NLS 方程.作為NLS 方程的可積推廣,導(dǎo)數(shù)型NLS 方程[16]應(yīng)運(yùn)而生,該類(lèi)型方程具有3 種不同形式,可以被用于描述非線性光學(xué)和其他領(lǐng)域中重要的非線性波的傳播.1978年,Kaup 和Newell[17]提出了第一型導(dǎo)數(shù)NLS 方程:

1979年,Chen,Lee 和Liu[18]推導(dǎo)了第二型導(dǎo)數(shù)NLS 方程:

該方程被稱(chēng)作Chen-Lee-Liu (CLL)方程.自這兩種模型建立以來(lái),許多可積性質(zhì)和精確解已經(jīng)被大量的文獻(xiàn)研究.Liu 等[19]發(fā)現(xiàn)CLL 模型的AB 呼吸子能夠描述更一般的非對(duì)稱(chēng)調(diào)制不穩(wěn)定性,并且給出了其精確解析譜.

1983年,Gerdzhikov 和Ivanov[20]提出了第三型導(dǎo)數(shù)NLS 方程:

即GI 方程.這里q=q(x,t),其中x表示空間坐標(biāo),t表示時(shí)間坐標(biāo),符號(hào)*表示復(fù)共軛,下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù).已經(jīng)有許多學(xué)者對(duì)此方程進(jìn)行了研究,并推導(dǎo)出在零背景下的呼吸子[21–23].對(duì)于此方程,Fan[24,25]給出了雙哈密頓結(jié)構(gòu)、Liouvill 可積性和代數(shù)幾何解.隨后,Xu 等[26,27]構(gòu)造了方程的髙階怪波和高階有理解的行列式表達(dá)式.

呼吸子在周期性背景上的動(dòng)態(tài)行為比它們?cè)诤愣ū尘跋碌男袨楦鎸?shí)[28].這樣,橢圓函數(shù)周期背景下的解的研究尤為重要.Chen 和Pelinovsky[29]將Lax 對(duì)非線性化與達(dá)布變換方法相結(jié)合,提出了橢圓函數(shù)背景下NLS 方程多呼吸子的系統(tǒng)構(gòu)造方法.利用此方法來(lái)求解許多非線性方程的呼吸子解,包括GB,KMB 和AB.由于GI 方程的Lax對(duì)譜問(wèn)題不同于NLS 方程,在橢圓函數(shù)背景下構(gòu)造這些解是一項(xiàng)非常困難的任務(wù).除了標(biāo)量系統(tǒng)中的呼吸子外,耦合系統(tǒng)(例如Manakov 系統(tǒng))中的呼吸子也引起了廣泛關(guān)注[30–33].研究表明耦合系統(tǒng)可以激發(fā)出新的矢量非線性現(xiàn)象[34]、非退化孤子[35]和非退化怪波[36].

本文主要研究橢圓函數(shù)背景下多呼吸子的非線性動(dòng)力學(xué).將從以下3 個(gè)方面對(duì)方程(3)進(jìn)行研究: 1) 利用MSW 函數(shù)法和行波變換法獲得該方程的橢圓函數(shù)解和Lax 對(duì)通解;2) 利用達(dá)布變換構(gòu)造出在橢圓函數(shù)背景下呼吸子的具體表達(dá)形式,包括GB,KMB 和AB;3) 分析3 種呼吸子的時(shí)空結(jié)構(gòu)分布、非線性動(dòng)力學(xué)行為和相互作用.

2 Lax 對(duì)

GI 方程是完全可積的,它可以表示為一個(gè)線性系統(tǒng)的相容條件,即

這里,Ψ=(Ψ1,Ψ2)T是本征函數(shù),λ是譜參數(shù).由相容條件Ψtx=Ψxt或零曲率方程Ut-Vx+[U,V]=0可以推導(dǎo)出方程(3).

3 橢圓函數(shù)解和Lax 對(duì)通解

3.1 橢圓函數(shù)解

方程(3)有如下形式的解:

其中v(x,t) 是一個(gè)實(shí)函數(shù),下文將對(duì)上述待定的勢(shì)函數(shù)中的未知元素進(jìn)行求解.

設(shè)定Ψ1=(?1,φ1)T以及Ψ2=(?2,φ2)T,建立平方波函數(shù):

f,g,h滿(mǎn)足以下線性系統(tǒng):

由于矩陣U,V跡為零,很容易驗(yàn)證P(λ)=f2-gh不依賴(lài)于變量x,t,所以它只依賴(lài)于譜參數(shù)λ.研究表明可積演化方程的周期解或擬周期解與幾何代數(shù)理論中的黎曼曲面概念有著一定的聯(lián)系.為了得到方程(3)在初解(5)式周期背景上的呼吸子解,將P(λ) 設(shè)置為關(guān)于λ的一個(gè)多項(xiàng)式:

其中λj,j=a,b,c,d為多項(xiàng)式的根.

線性系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(7)具有多項(xiàng)式形式的解,故將f,g以及h寫(xiě)成如下形式:

比較等式P(λ)=f2-gh兩邊λ的系數(shù),得到如下等式:

令|q|2=v,則(11)式轉(zhuǎn)化為

根據(jù)韋達(dá)定理,得到ω關(guān)于v的表達(dá)式:

其中,R(v)是v的四次多項(xiàng)式:

結(jié)合方程組(6)和(7)以及方程(8)求導(dǎo)的結(jié)果,對(duì)比λ各階系數(shù)的關(guān)系可以得到:

根據(jù)方程(17)和方程(18)可以得到v僅和δ=x+s1t有關(guān),即:

顯然,方程(19)具有橢圓函數(shù)解.這樣,如果v已知,那么通過(guò)方程(5)就能求出q(x,t) .

結(jié)合方程組(6),(7)以及方程(9)求導(dǎo)的結(jié)果,對(duì)比λ各階系數(shù)的關(guān)系可以得到:

當(dāng)λ2=ω時(shí),f(ω1/2)=,則(20)式可以轉(zhuǎn)換為

因此可得到ω關(guān)于x和t的等式.由方程(21)和方程(22),易知ω僅依賴(lài)于相位δ=x+s1t.于是,GI 方程周期解的非線性相速度為

根據(jù)上述公式,得到q關(guān)于x,t的等式如下:

經(jīng)行波變換后,周期解有如下形式:

將(13)式代入上式,則

顯然,選取合適的λj應(yīng)該滿(mǎn)足v在兩個(gè)正值之間振蕩.若只有兩個(gè)vi是正實(shí)數(shù),則設(shè)置相應(yīng)的λj使其在v1,v2之間振蕩,且v1≥v2.若所有vi都是正實(shí)數(shù),則我們?cè)O(shè)置相應(yīng)的λj使v1≥v2≥v3≥v4.此時(shí),變量v可以在v1,v2或者v3,v4之間振蕩,且R(v)≤0 .

為滿(mǎn)足以上條件,設(shè)λj由兩對(duì)復(fù)共軛對(duì)組成:

由(15)式可得:

此時(shí)(16)式得到的vi均為復(fù)數(shù)值.

為尋找周期解,討論變量v在區(qū)間v1≥v≥v2振蕩,且v3,v4為實(shí)數(shù)的情況.選擇初始條件δ=0時(shí)v=v1,(19)式具有如下形式的解:

3.2 Lax 對(duì)通解

對(duì)上述表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn),得到如下形式:

其中,A1和A2表示待定的復(fù)常數(shù):

利用Lax 對(duì)中t部分的等式,可以求出φ1,t/φ1,?1,t/?,代入3.1 節(jié)所求的參數(shù),得到

根據(jù)前面的定義,有

不失一般性,可設(shè)定A1=1,A2=-1.

同理,易得Lax 對(duì)的第2 組通解形式如下:

因此,給定橢圓函數(shù)勢(shì)(23)的Lax 對(duì)的通解可以表示為

其中θ1,θ2由(29)式可知.

4 周期背景下的多呼吸子

4.1 解的化簡(jiǎn)

根據(jù)公式:

(1)根據(jù)國(guó)內(nèi)外砂土液化資料分析研究結(jié)果表明，人工沉積的尾礦砂與天然沉積的砂土一樣，地震時(shí)都可能發(fā)生液化，影響砂土液化的主要因素是相同的，液化機(jī)理也是一致的。因此可以利用判別天然砂土液化的方法來(lái)判別尾礦砂。

將(33)式代入(24)式中,可得

4.2 GI 方程的n 次達(dá)布變換

在規(guī)范變換下:

譜問(wèn)題(4)式轉(zhuǎn)換為

其中,U[1]和V[1]與Lax 對(duì)中的U和V的形式相同,不同的是q變?yōu)閝[1] .

設(shè)Ψi=(?i,φi)T,i=1,2,···,n,為譜問(wèn)題(4)式的n組線性無(wú)關(guān)的解,則n階達(dá)布變換中新的解q[n]和初解q[0] 之間滿(mǎn)足:

4.3 dn 橢圓函數(shù)背景下的呼吸子

單呼吸子的具體表達(dá)式為

其中,q,Ψ1,Ψ2,Ψ3和Ψ4分別為

式中,Ψi,i=1,2,3,4為譜參數(shù)λ取不同值時(shí)的線性解.因此,譜參數(shù)的值影響呼吸子解及其動(dòng)態(tài)行為.通過(guò)改變譜參數(shù)的值,得到3 種呼吸子解,即GB,AB 和KMB.

選取特定參數(shù),呈現(xiàn)出dn 背景下的呼吸子解λa=1+0.5i,λb=1-0.5i,λc=0.5+i,λd=0.5-i.

取參數(shù)λ1=0.3+1.1i,λ2=0.3-1.1i 則得到在dn 背景下的一個(gè)AB (圖1).觀察可得,此呼吸子的所有峰值都在t=0 這一條線上,此時(shí)這種呼吸子的振幅在原點(diǎn)處達(dá)到最大值為7.65.選取參數(shù)λ1=2+2i,λ2=2-2i,則獲得了dn 背景下的一個(gè)KMB (圖2).明顯看出這種呼吸子是時(shí)間呼吸和空間局域的.此時(shí),這種呼吸子在原點(diǎn)處的振幅達(dá)到最大值為10.95.選取參數(shù)λ1=0.3+1.3i,λ2=0.3-1.3i,獲得了dn 背景下的GB(圖3).此時(shí),這種呼吸子在原點(diǎn)處振幅達(dá)到最大值為8.18.

圖2 dn-周期波背景上的KMBFig.2.KMB on the dn-periodic wave background.

圖3 dn-周期波背景上的GBFig.3.GB on the dn-periodic wave background.

為了得到dn 背景下的雙呼吸子,令n=4,根據(jù)(40)式,得到二階呼吸子:

其中,Ψj(j=1,2,···,8) 有如下表達(dá)形式:

取參數(shù)λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.5+2i,λ4=0.5-2i,則得到GB 和KMB 相互作用的時(shí)空結(jié)構(gòu)(圖4).可以觀察到,兩個(gè)呼吸子在相互作用后沒(méi)有波峰的偏移,最大值為17.75.取參數(shù)λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.1+1.8i,λ4=0.1-1.8i,得到AB 和KMB 相互作用的時(shí)空結(jié)構(gòu)(圖5).選取參數(shù)λ1=1.5+1.6i,λ2=1.5-1.6i,λ3=0.1+1.8i,λ4=0.1-1.8i,得到AB 和GB 相互作用的時(shí)空結(jié)構(gòu)(圖6).

圖4 dn-周期波背景上的GB 和KMB 相互作用Fig.4.Interaction between GB and KMB on the dn-periodic wave background.

圖5 dn-周期波背景上的AB 和KMB 相互作用Fig.5.Interaction between AB and KMB on the dn-periodic wave background.

圖6 dn-周期波背景上的AB 和GB 相互作用Fig.6.Interaction between AB and GB on the dn-periodic wave background.

4.4 一般橢圓函數(shù)背景下的呼吸子

與dn 背景下的呼吸子類(lèi)似,在一般橢圓函數(shù)背景下構(gòu)造3 種呼吸子,即GB,AB 和KMB.設(shè)定合適的參數(shù)來(lái)固定背景波λa=0.5+0.3i,λb=0.5-0.3i,λc=1+0.9i,λd=1-0.9i.取譜參數(shù)λ1=0.5+1.5i,λ2=0.5-1.5i,則得到一般橢圓函數(shù)背景下的一個(gè)AB(圖7).此呼吸子的峰值 為8.69.選取參數(shù)λ1=1.8+1.8i,λ2=1.8-1.8i,得到了一般橢圓函數(shù)背景下的一個(gè)KMB(圖8),此時(shí)最大值為8.28.取譜參數(shù)λ1=2+2i,λ2=2-2i,得到一般橢圓函數(shù)背景下的GB(圖9),此時(shí)最大值為8.18.

圖7 一般周期波背景上的ABFig.7.AB on the general periodic wave background.

圖8 一般周期波背景上的KMBFig.8.KMB on the general periodic wave background.

圖9 一般周期波背景上的GBFig.9.GB on the general periodic wavebackground.

與dn 背景下構(gòu)造二呼吸子相同,根據(jù)(44)式,選取合適的參數(shù)得到一般橢圓函數(shù)背景下的雙呼吸子.取參數(shù)λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.5+2i,λ4=0.5-2i,得到了GB 和GB 相互作用的時(shí)空結(jié)構(gòu)(圖10).可以看出,兩個(gè)呼吸子在相互作用后沒(méi)有波峰的偏移,最大值為13.27.取參數(shù)λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.1+2i,λ4=0.1-2i,則得到了GB 和KMB 相互作用的時(shí)空結(jié)構(gòu)(圖11),最大值為16.94.取參數(shù)λ1=0.2+i,λ2=0.2-i,λ3=1.4+1.4i,λ4=1.4-1.4i,則得到AB 和GB相互作用的時(shí)空結(jié)構(gòu)(圖12),波峰的最大值為10.05.

圖11 一般周期波背景上的KMB 和GB 相互作用Fig.11.Inacteraction between KMB and GB on the general periodic wave background.

圖12 一般周期波背景上的AB 和GB 相互作用Fig.12.Interaction between AB and GB on the general periodic wave background.

5 結(jié)論

本文系統(tǒng)地構(gòu)造了橢圓函數(shù)背景下GI 方程的多呼吸子.借助MSW 方法和行波變換,導(dǎo)出了橢圓函數(shù)解和Lax 對(duì)通解.在橢圓函數(shù)背景下,推導(dǎo)出3 種不同類(lèi)型的呼吸子,包括GB,KMB 和AB.最后,給出了3 種呼吸子的時(shí)空結(jié)構(gòu)三維圖,并且展示它們之間相互作用的過(guò)程.希望本文獲得的結(jié)果將有助于理解在流體動(dòng)力學(xué)、非線性光學(xué)等領(lǐng)域中周期背景下的呼吸子動(dòng)力學(xué)行為和相互作用.