郝志偉 劉榮剛 陳再現(xiàn)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)海洋工程學(xué)院，山東威海 264209)

振動(dòng)力學(xué)中關(guān)于彈性體彎曲振動(dòng)問(wèn)題求解多數(shù)教材都使用了求歐拉-伯努利直梁橫向彎曲振動(dòng)響應(yīng)的例子，求解基本過(guò)程為先基于達(dá)朗貝爾原理建立梁的彎曲振動(dòng)微分方程，再利用分離變量法求出梁的固有頻率和固有模態(tài)函數(shù)，最后利用受迫振動(dòng)模態(tài)疊加法給出了梁的位移響應(yīng)[1-4]。得到位移響應(yīng)后可分別利用梁的撓曲線近似微分方程和梁彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系就可以求出彎曲振動(dòng)梁任意截面上的彎矩和剪力。

當(dāng)前基礎(chǔ)力學(xué)課程安排都是先學(xué)習(xí)理論力學(xué)，其中包括處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的達(dá)朗貝爾原理[5-6]，再學(xué)習(xí)材料力學(xué)以及其他力學(xué)課程。計(jì)算彎曲內(nèi)力是工程力學(xué)和材料力學(xué)課程的重要內(nèi)容[7-9]。學(xué)生學(xué)完理論力學(xué)、材料力學(xué)后遇到桿件在動(dòng)載荷作用下的強(qiáng)度、剛度問(wèn)題時(shí)，自然的想法是應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題視為靜力學(xué)問(wèn)題求解內(nèi)力而后進(jìn)行強(qiáng)度、剛度分析。本文以振動(dòng)力學(xué)中常用的歐拉-伯努利直梁受簡(jiǎn)諧載荷作用下彎曲振動(dòng)為例，在得到振動(dòng)響應(yīng)后，直接利用梁的撓曲線近似微分方程和梁彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系計(jì)算了彎曲動(dòng)內(nèi)力，另外還采用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程的方法給出了彎曲動(dòng)內(nèi)力。兩種方法給出的彎曲動(dòng)內(nèi)力在形式上不完全一致，相比前者，后者給出了梁彎曲振動(dòng)內(nèi)力解的一種新形式，該形式的解由兩部分組成，一部分是簡(jiǎn)諧力直接引起的內(nèi)力，在集中力作用處剪力突變、彎矩是折點(diǎn)的規(guī)律與靜平衡時(shí)彎曲內(nèi)力的特征一致，另一部分是慣性力引起的內(nèi)力，該特征有助于學(xué)生理解動(dòng)載荷下梁的彎曲內(nèi)力以及慣性力的作用。本文基于傅里葉級(jí)數(shù)嚴(yán)格證明了兩種方法給出的解完全等價(jià)，并且給出了兩種解形式不同的原因。歐拉-伯努利直梁受簡(jiǎn)諧載荷作用解得振動(dòng)響應(yīng)后，雖然再次采用達(dá)朗貝爾原理求解內(nèi)力顯得有些繁瑣，但是該過(guò)程直觀顯示了達(dá)朗貝爾原理在解決動(dòng)載荷作用下的桿件的強(qiáng)度與剛度問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)，并將所學(xué)過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)、靜力學(xué)、達(dá)朗貝爾原理和梁彎曲理論揉在一起，緊密串聯(lián)學(xué)生學(xué)過(guò)的重要知識(shí)，可提升基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)效果。

1 簡(jiǎn)諧力作用下的歐拉-伯努利簡(jiǎn)支梁彎曲振動(dòng)響應(yīng)及內(nèi)力

簡(jiǎn)諧力作用下的歐拉-伯努利簡(jiǎn)支梁如圖1 所示，梁長(zhǎng)為l，簡(jiǎn)諧力Psin(ωt)作用在距梁左端b處。根據(jù)受迫振動(dòng)模態(tài)疊加法[1-4]，其位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（撓曲線方程）為

圖1 簡(jiǎn)諧力作用下歐拉-伯努利簡(jiǎn)支梁示意圖

再分別根據(jù)梁的撓曲線近似微分方程和梁彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系[7-9]，距離梁左端x處的橫截面上的彎矩和剪力分別為

考慮到梁的質(zhì)量m=ρAl及ωj的表達(dá)式，剪力和彎矩可寫為如下形式，并將此方法得到的剪力和彎矩分別記為 [FS]1和 [M]1。

2 達(dá)朗貝爾原理求解歐拉-伯努利直梁彎曲振動(dòng)內(nèi)力

由式（1）知，距離梁左端x處的加速度為

那么，如圖2 所示，距離梁左端x處微段dx的慣性力 dG(x)為

圖2 簡(jiǎn)諧力作用下歐拉-伯努利簡(jiǎn)支梁受力圖

梁慣性力對(duì)B點(diǎn)的力矩為

取梁整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖2 所示，列平衡方程

解得梁左端約束力為

再取梁上左端A至x段為研究對(duì)象，其受力圖如圖3 所示，列平衡方程可得距離梁左端x處的橫截面上的剪力和彎矩如下，并分別記利用達(dá)朗貝爾原理求得的剪力和彎矩為 [FS]2和[M]2

圖3 梁左端A 到x 段分離體受力圖

可以看出，剪力方程式（4），式（5）和彎矩方程式（6），式（7）均顯示：第一項(xiàng)是簡(jiǎn)諧力直接引起的內(nèi)力，在集中力作用處剪力突變、彎矩是折點(diǎn)的規(guī)律與靜平衡時(shí)彎曲內(nèi)力的特征一致，第二項(xiàng)是慣性力引起的內(nèi)力。該特征有助于學(xué)生理解梁從靜平衡到動(dòng)載荷作用下的彎曲內(nèi)力的不同以及慣性力的作用，而這在式（2）和式（3）中沒(méi)有體現(xiàn)。同時(shí)，再次利用達(dá)朗貝爾原理求得的剪力方程式（4），式（5）和彎矩方程式（6），式（7）與利用梁的撓曲線近似微分方程及梁彎曲內(nèi)力的微分關(guān)系求得的剪力方程式（2）和彎矩方程式（3）形式上不完全一致，這是因?yàn)榱旱膿锨€近似微分方程本質(zhì)上是利用本構(gòu)關(guān)系給出了彎矩與彎曲變形的關(guān)系，而再次利用達(dá)朗貝爾原理求得的彎矩方程完全是通過(guò)列平衡方程的思想求得，二者有一定的區(qū)別。

下面的工作就是嚴(yán)格證明剪力方程式（4），式（5）和式（2）完全等價(jià)，彎矩方程式（6），式（7）和式（3）完全等價(jià)。

3 二者等價(jià)的數(shù)學(xué)證明

兩種方法給出的剪力方程式（2）與剪力方程式（4）和式（5）作差，得

若下面的式（9）成立，則式（8）等于零，也即兩種方法計(jì)算的剪力完全等價(jià)。

下面利用傅里葉級(jí)數(shù)證明式（9）成立。假設(shè)f(x)是 [-l,l] 上周期為 2l的偶函數(shù)

則其傅里葉級(jí)數(shù)可寫為

其中

進(jìn)一步計(jì)算系數(shù)cj，得

將式（12）代入式（10）得

將式（13）中常數(shù)項(xiàng)移到等式的一邊，即可知式（9）在 [0,b)上成立。

同理，再假設(shè)f(x)是 [-l,l] 上周期為 2l的偶函數(shù)

由式（10）計(jì)算出其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)cj

于是可知

將式（15）中常數(shù)項(xiàng)移到等式的一邊，即可知式（9）在 (b,l] 上成立，所以式（9）成立。證畢。

兩種方法給出的彎矩方程式（3）與彎矩方程式（6）和式（7）作差，得

下面證明式（16）等于零，也即兩種方法計(jì)算的彎矩完全等價(jià)。式（8）已被證明等于零，式（8）左右兩邊對(duì)x進(jìn)行積分，由彎矩與剪力的微分關(guān)系知，兩種方法給出的彎矩方程式的差為

其中c1，c2，c3和c4為積分常數(shù)。由于簡(jiǎn)支梁兩端不能承受彎矩，也即簡(jiǎn)支梁兩端橫截面上彎矩為零，這與彎矩方程式（6），式（7）和式（3）給出的兩種方法計(jì)算的彎矩在x=0 和x=l處的彎矩等于零是一致的，也即

于是可知

將式（19）代入式（17）即可知式（16）等于零。證畢。

4 結(jié)論

針對(duì)振動(dòng)力學(xué)中常用的歐拉-伯努利直梁彎曲振動(dòng)內(nèi)力求解，不同于教材中利用梁的撓曲線近似微分方程和梁彎曲剪力與彎矩間的微分關(guān)系給出剪力與彎矩，本文在求出彎曲振動(dòng)響應(yīng)后繼續(xù)利用達(dá)朗貝爾原理求彎曲振動(dòng)內(nèi)力，給出了一種新形式的彎曲內(nèi)力，并證明了二者完全等價(jià)。雖然所給方法不一定簡(jiǎn)單，但是特征明顯，新形式的彎曲內(nèi)力方程直觀顯示了簡(jiǎn)諧力和慣性力對(duì)內(nèi)力的貢獻(xiàn)。該思路將數(shù)學(xué)中的傅里葉級(jí)數(shù)、基礎(chǔ)力學(xué)中的靜力學(xué)理論、達(dá)朗貝爾原理和梁彎曲理論自然地揉和在一起，可提升學(xué)生應(yīng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和力學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。