王曉健 彭立志 張亮亮

(安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽淮南 232001)

巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)巖體工程失穩(wěn)破壞分析和地下結(jié)構(gòu)安全性、穩(wěn)定性評(píng)估具有重要意義[1-2]。20世紀(jì)，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下巖石強(qiáng)度理論進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究，取得了一些有意義的成果[3]。但由于巖石種類繁多和受力形式多樣化，在不同應(yīng)力路徑下巖石的強(qiáng)度大小和變形特征具有較大差異性，僅從力學(xué)角度研究巖石的破壞和變形存在一定的局限性。熱力學(xué)理論表明，能量的儲(chǔ)存、轉(zhuǎn)換和耗散是材料失穩(wěn)破壞的根本原因，巖石破壞是能量驅(qū)動(dòng)失穩(wěn)過程的結(jié)果[4-6]。因此，研究三維應(yīng)力狀態(tài)下巖石變形破壞過程中的能量傳遞與轉(zhuǎn)化規(guī)律，建立以能量變化為破壞判據(jù)的強(qiáng)度理論，就有可能比較接近真實(shí)地反映巖石的破壞規(guī)律[7]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)不同巖石不同受力條件下的能量演化規(guī)律進(jìn)行了大量研究。國(guó)外：Wiebols 等[8]指出，可以通過使用巖石的單軸抗壓強(qiáng)度以及巖石裂縫表面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)來預(yù)測(cè)巖石的多軸抗壓強(qiáng)度，這為巖石能量強(qiáng)度理論的未來發(fā)展奠定了基礎(chǔ)；Gao 等[9]發(fā)現(xiàn)材料的破壞模式不僅與應(yīng)力條件有關(guān)，還與材料的性能有關(guān)，并推導(dǎo)出巖土材料三剪屈服準(zhǔn)則；Hao 等[10]在三重剪切能屈服準(zhǔn)則基礎(chǔ)上，提出了非線性三重剪切能屈服準(zhǔn)則。國(guó)內(nèi)：謝和平等[11]從能量耗散與釋放角度研究巖石的變形破壞，發(fā)現(xiàn)巖石變形破壞是能量耗散與能量釋放的綜合結(jié)果，提出了基于能量耗散的強(qiáng)度喪失準(zhǔn)則和基于可釋放應(yīng)變能的整體強(qiáng)度準(zhǔn)則；鄭穎人等[12]從能量角度對(duì)巖土材料在彈性狀態(tài)及極限狀態(tài)下的摩擦特性進(jìn)行分析，與Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則進(jìn)行比較，提出了三剪應(yīng)力狀態(tài)下的Drucker-Prager 準(zhǔn)則；劉新榮等[13]對(duì)鹽巖變形過程中可釋放彈性應(yīng)變能與耗散能內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行研究，提出了與巖石材料及應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)參數(shù)N，在此基礎(chǔ)上給出了基于彈性應(yīng)變能的強(qiáng)度準(zhǔn)則；郭建強(qiáng)等[14]以彈性應(yīng)變能表示的經(jīng)典強(qiáng)度準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，借鑒經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則的研究方法，建立了廣義強(qiáng)度準(zhǔn)則。

現(xiàn)有研究多數(shù)針對(duì)巖石受力變形破壞過程中的彈性應(yīng)變能、耗散能等能量演化規(guī)律進(jìn)行研究，但是研究巖石在常規(guī)三軸壓縮條件下，其體積改變能和形狀改變能變化規(guī)律的相關(guān)成果較少，且鮮有基于形狀改變能密度建立的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則。本文開展了砂巖單軸抗壓試驗(yàn)和不同圍壓條件下的常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，分析了體積改變能和形狀改變能的演化規(guī)律，并建立了基于形狀改變能密度的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，采用試驗(yàn)結(jié)果和大量現(xiàn)有試驗(yàn)成果對(duì)其精確性和適用性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 砂巖三軸壓縮試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)方案

砂巖試樣取自板集煤礦8 煤頂板基巖層，埋深為600～650 m，外觀呈現(xiàn)暗灰色，質(zhì)地均勻?，F(xiàn)場(chǎng)鉆孔取芯采用保護(hù)膜包裹直接運(yùn)到試驗(yàn)室，經(jīng)切割、打磨加工制成Φ50 mm×100 mm 的標(biāo)準(zhǔn)圓柱形試件，如圖1 所示。試樣直徑誤差不超過0.2 mm，上下兩端面的平行度偏差不大于0.05 mm，軸向偏差不大于0.25°。試驗(yàn)采用ZTCR-2000 低溫巖石三軸試驗(yàn)系統(tǒng)（見圖2）。

圖1 砂巖標(biāo)準(zhǔn)試樣Fig.1 Standard sample of sandstone

圖2 ZTCR-2000 低溫巖石三軸試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 ZTCR-2000 low temperature rock triaxial testing system

首先以100 N/s 的加載速率施加軸向應(yīng)力，使砂巖試樣與壓頭密切接觸，然后按“負(fù)荷”控制的方式以200 N/s 的加載速度施加圍壓至預(yù)定值，本次試驗(yàn)圍壓設(shè)定為5 MPa，10 MPa，15 MPa，20 MPa 和25 MPa，待圍壓到達(dá)預(yù)定值后穩(wěn)壓30 s，最后按“位移”控制的方式以0.06 mm/min的加載速率施加軸壓直至砂巖試樣破壞。

1.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

試驗(yàn)得到的不同圍壓下砂巖應(yīng)力-應(yīng)變曲線、體積應(yīng)變-軸向應(yīng)變曲線如圖3 所示。根據(jù)圖3 得到砂巖力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 砂巖力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of sandstone

圖3 砂巖的常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)曲線Fig.3 Conventional triaxial compression test curve of sandstone

由圖3 和表1 可知，砂巖彈性模量和峰值應(yīng)力均隨圍壓的增加而增加，說明圍壓能有效提高砂巖的強(qiáng)度。同時(shí)，根據(jù)表1 得到砂巖峰值應(yīng)力與圍壓的關(guān)系曲線，如圖4 所示。

圖4 砂巖峰值應(yīng)力與圍壓的關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curve between peak stress and confining pressure of sandstone

由圖4 可知，巖石的峰值應(yīng)力與圍壓之間滿足線性關(guān)系，根據(jù)Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則，得到砂巖的黏聚力c為14.54 MPa，內(nèi)摩擦角?為34.61°。

2 砂巖能量演化規(guī)律

2.1 能量理論

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，巖石試樣在外力作用下發(fā)生變形，在與外界沒有熱、物質(zhì)交換的前提下，外力做的功一部分轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能儲(chǔ)存在試樣內(nèi)部，另一部分轉(zhuǎn)化為耗散能形成巖石內(nèi)部損傷[11]，根據(jù)彈性力學(xué)理論，彈性應(yīng)變能密度可表示為

式中，UE為彈性應(yīng)變能密度；E為彈性模量；ν為泊松比；σ1，σ2和σ3分別為第一、二、三主應(yīng)力。

式(1)可進(jìn)一步化為[15]

式中，I1為應(yīng)力張量第一不變量，J2為應(yīng)力偏量第二不變量，UEV為體積改變能密度，UED為形狀改變能密度。

2.2 體積改變能密度和形狀改變能密度

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)合式（1）和式（2）得到不同圍壓下砂巖體積、形狀改變能密度和彈性應(yīng)變能密度隨軸向應(yīng)變的演化規(guī)律，如圖5 所示。

圖5 體積、形狀改變能密度曲線Fig.5 Volume and shape change energy density curve

由圖5 可知，體積改變能占彈性應(yīng)變能比例較小，彈性應(yīng)變能主要以形狀改變能的形式進(jìn)行儲(chǔ)存。體積改變能密度與形狀改變能密度整體變化趨勢(shì)與彈性應(yīng)變能密度相同，能量密度曲線先上升再下降，當(dāng)砂巖破壞時(shí)能量密度達(dá)到最大值。砂巖峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的峰值體積改變能密度和峰值形狀改變能密度見表2。

表2 不同圍壓下峰值能量密度Table 2 Peak energy density under different confining pressures

依據(jù)表2 得到砂巖破壞時(shí)峰值體積改變能密度和峰值形狀改變能密度與圍壓的關(guān)系曲線，如圖6 所示。

圖6 峰值體積、形狀改變能密度與圍壓的關(guān)系Fig.6 The relationship between peak volume,shape change energy density and confining pressure

由圖6 可知，隨著圍壓的增大，砂巖峰值體積、形狀改變能密度呈現(xiàn)線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。單軸壓縮條件下砂巖峰值體積改變能密度和峰值形狀改變能密度分別為0.029 3 MJ/m3和0.117 4 MJ/m3，當(dāng)圍壓為25 MPa 時(shí)，峰值體積改變能密度和峰值形狀改變能密度分別為0.112 1 MJ/m3和0.361 8 MJ/m3，兩者分別增大了2.83 倍和2.08倍，說明高圍壓狀態(tài)下砂巖的破壞需要儲(chǔ)存更多的體積改變能和形狀改變能。

3 基于形狀改變能密度的強(qiáng)度準(zhǔn)則

砂巖常規(guī)三軸壓縮條件下峰值形狀改變能密度與圍壓之間具有良好線性關(guān)系，為進(jìn)一步驗(yàn)證該規(guī)律的一般性，統(tǒng)計(jì)、收集了7 種不同類型巖石常規(guī)三軸壓縮破壞時(shí)的峰值體積改變能密度，峰值形狀改變能密度和峰值彈性應(yīng)變能密度，結(jié)果見表3。

表3 七種巖石峰值能量密度Table 3 Peak energy density of seven types of rocks

根據(jù)表3 中能量結(jié)果得到7 種不同類型巖石的峰值形狀改變能密度與圍壓的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)二者呈現(xiàn)良好線性關(guān)系，采用線性函數(shù)對(duì)二者進(jìn)行擬合，結(jié)果見圖7。

圖7 7 種巖石的峰值形狀改變能密度與圍壓擬合曲線Fig.7 Fitting curves of peak shape change energy density and confining pressure of seven rocks

基于巖石破壞狀態(tài)下形狀改變能密度與圍壓符合線性關(guān)系這一特征，假設(shè)擬合公式為

式中，a和b均為擬合參數(shù)。其中a表示巖石三軸壓縮破壞時(shí)形狀改變能密度隨圍壓變化的速率，b表示巖石在單軸壓縮條件下破壞時(shí)的形狀改變能密度。

在常規(guī)三軸壓縮條件下，σ1＞σ2=σ3，結(jié)合式（2）可得巖石破壞時(shí)形狀改變能密度計(jì)算公式為

式中，σ1f為峰值應(yīng)力，J2f為第一主應(yīng)力取峰值應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力偏量第二不變量。聯(lián)立式（3）～式（4）得

對(duì)式（5）進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到

在單軸壓縮破壞條件下有σ1f|σ3=0=σc，代入式（6）得。其中，σc為單軸抗壓強(qiáng)度。

式（6）可表示為

式（7）即為基于形狀改變能密度的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則利用形狀改變能密度計(jì)算公式，得到各類巖石常規(guī)三軸壓縮條件下，峰值形狀改變能密度與圍壓的線性擬合公式，再由理論計(jì)算的峰值形狀改變能密度與擬合計(jì)算得到的峰值形狀改變能密度相等的關(guān)系，建立一種新的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則。

需要說明的是，本文建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則與第四強(qiáng)度理論屈服準(zhǔn)則建立的原理相同，都基于“不論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變能密度達(dá)到與材料性能有關(guān)的某一極限值，材料就會(huì)發(fā)生破壞”這一理論[23]，故二者的理論基礎(chǔ)相同。但第四強(qiáng)度理論屈服準(zhǔn)則在單向拉伸條件下，依據(jù)形狀改變能密度極限值（σs為材料屈服強(qiáng)度）推導(dǎo)建立得到，而本文建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則是在巖石三軸壓縮條件下，依據(jù)形狀改變能密度極限值推導(dǎo)建立得到，兩種準(zhǔn)則建立時(shí)形狀改變能密度極限值在選取依據(jù)上不同。第四強(qiáng)度理論屈服準(zhǔn)則多用于金屬等塑性材料的屈服強(qiáng)度計(jì)算，本文建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則是在第四強(qiáng)度理論的理論基礎(chǔ)之上，結(jié)合多種巖石三軸壓縮試驗(yàn)破壞時(shí)形狀改變能密度極限值演化特點(diǎn)歸納推導(dǎo)得到，相比于原有第四強(qiáng)度理論屈服準(zhǔn)則能更好地適用于巖石在常規(guī)三軸壓縮條件下的強(qiáng)度計(jì)算。

此外，基于形狀改變能密度的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則中包含巖石的彈性參數(shù)，各參數(shù)物理意義明確，表達(dá)式形式簡(jiǎn)單。當(dāng)為Hoek-Brown 準(zhǔn)則參數(shù)）時(shí)，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)變?yōu)镠oek-Brown 準(zhǔn)則，見式（8），因此Hoek-Brown 準(zhǔn)則可看作是本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的一種特殊形式。但Hoek-Brown 準(zhǔn)則是基于大量室內(nèi)三軸試驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)公式，其使用需要滿足第三主應(yīng)力大于零且小于單軸抗壓強(qiáng)度的一半，即0＜σ3＜0.5σc[24]；而本文強(qiáng)度準(zhǔn)則依據(jù)能量理論推導(dǎo)得到，對(duì)第三主應(yīng)力沒有限制，故其適用范圍更廣。

Hoek-Brown 準(zhǔn)則[25]

式中，σc為巖樣單軸抗壓強(qiáng)度；m為待定參數(shù)，通過擬合得到。

4 強(qiáng)度準(zhǔn)則驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文建立強(qiáng)度準(zhǔn)則的精確性及適用性，根據(jù)式（7）～式（10）求得本文砂巖和7 種不同類型巖石在Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則、等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則、Hoek-Brown 準(zhǔn)則及本文強(qiáng)度準(zhǔn)則下第一主應(yīng)力理論值，見表4。

表4 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算第一主應(yīng)力Table 4 Calculate the first principal stress using different strength criterion

根據(jù)表4，可得到不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的第一主應(yīng)力擬合曲線，如圖8 所示。

圖8 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算第一主應(yīng)力擬合曲線Fig.8 Calculation of the first principal stress fitting curve using different strength criterion

Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則[26]

式中，?為巖石內(nèi)摩擦角，c為巖石材料黏聚力。

等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則[27]

式中，λ和κ為等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則參數(shù)。

用于驗(yàn)證的8 種巖石根據(jù)第三主應(yīng)力與單軸抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系可分為兩類，第一類巖石圍壓滿足 0＜σ3＜0.5σc條件，即本文砂巖、華山花崗巖、錦屏大理巖、花崗閃長(zhǎng)巖；第二類巖石圍壓部分滿足 0＜σ3＜0.5σc條件，即綠泥石片巖、恒大砂巖、泥質(zhì)白云巖、錦屏綠片巖。

由圖8 可知：（1）對(duì)于第一類巖石，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)化為特殊形式的Hoek-Brown 準(zhǔn)則，因此本文強(qiáng)度準(zhǔn)則和Hoek-Brown 準(zhǔn)則對(duì)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果相當(dāng)，圖中表現(xiàn)為兩條曲線重合這一特殊情況，同時(shí)相比于Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則的線性擬合，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的非線性曲線擬合與三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)更加吻合，且遠(yuǎn)優(yōu)于等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則的擬合結(jié)果；（2）對(duì)于第二類巖石，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則依據(jù)能量理論推導(dǎo)得到不受第三主應(yīng)力的限制，而Hoek-Brown 準(zhǔn)則不行，故本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果略優(yōu)于Hoek-Brown 準(zhǔn)則，并且優(yōu)于 Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則的擬合效果。根據(jù)兩類巖石擬合結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相比于其他3 種強(qiáng)度準(zhǔn)則，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)巖石三軸強(qiáng)度擬合結(jié)果與三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，對(duì)于多種類型巖石破壞強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果可靠。

為方便對(duì)不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的精確性及適用性進(jìn)行評(píng)估分析，利用式（11）和式（12）得到不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算第一主應(yīng)力平均相對(duì)誤差和均方根誤差，見表5 和表6。

表5 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算第一主應(yīng)力平均相對(duì)誤差Table 5 Calculate the average relative error of the first principal stress using different strength criterion

表6 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算第一主應(yīng)力均方根誤差Table 6 Calculate the root mean square error of the first principal stress using different strength criterion

式中，MRE為平均相對(duì)誤差，RM為均方根誤差，N為巖石的三軸試驗(yàn)組數(shù)，為巖石在第i組的第一主應(yīng)力試驗(yàn)值，為巖石在第i組的第一主應(yīng)力計(jì)算值。

根據(jù)表5 和表6 可知：（1）對(duì)于第一類巖石，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果與Hoek-Brown 準(zhǔn)則相同，以本文砂巖為例，計(jì)算平均相對(duì)誤差為2.58%，小于Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則的3.07%和等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則的35.05%，均方根誤差為3.36 MPa 略大于Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則的2.86 MPa，遠(yuǎn)小于Drucker-Prager 準(zhǔn)則的36.01 MPa，表明了本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的精確性較高。（2）對(duì)于第二類巖石，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果下綠泥石片巖、恒大砂巖、泥質(zhì)白云巖、錦屏綠片巖對(duì)應(yīng)平均相對(duì)誤差分別為1.99%，2.34%，5.30%和6.11%，均方根誤差分別為2.06 MPa，3.59 MPa，6.88 MPa和8.80 MPa，除泥質(zhì)白云巖外，其余3 種巖石平均相對(duì)誤差及均方根誤差均為最小，說明相比于其他3 種準(zhǔn)則，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則適用性更好。

綜合分析，本文所建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)多種巖石三軸強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果與三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)接近，同時(shí)與其他3 種強(qiáng)度準(zhǔn)則相比平均相對(duì)誤差、均方根誤差均較小，表明基于形狀改變能密度所推導(dǎo)建立的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則是合理的，用于評(píng)估巖石三軸強(qiáng)度具有較高精確性和適用性。

5 結(jié)論

通過對(duì)砂巖常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)?zāi)芰垦莼?guī)律進(jìn)行研究和分析，可以獲得下列結(jié)論。

（1）砂巖破壞時(shí)峰值形狀改變能密度與圍壓之間呈現(xiàn)良好線性關(guān)系，并通過統(tǒng)計(jì)7 種不同類型巖石的能量結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了該規(guī)律，表明巖石破壞與形狀改變能密度之間存在聯(lián)系，據(jù)此建立了基于形狀改變能密度的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則。

（2）本文強(qiáng)度準(zhǔn)則在形式上與Hoek-Brown準(zhǔn)則類似，當(dāng)參數(shù)時(shí)，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)變?yōu)镠oek-Brown 準(zhǔn)則，因此Hoek-Brown 準(zhǔn)則可看作是本文強(qiáng)度準(zhǔn)則的一種特殊形式。但Hoek-Brown 準(zhǔn)則是基于大量室內(nèi)三軸試驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)公式，其使用需要第三主應(yīng)力滿足一定條件，而本文強(qiáng)度準(zhǔn)則依據(jù)能量理論推導(dǎo)得到，對(duì)第三主應(yīng)力沒有限制，故其適用范圍更廣。

（3）采用Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則、等面積圓Drucker-Prager 準(zhǔn)則、Hoek-Brown 準(zhǔn)則和形狀改變能密度強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)8 種巖石的強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明相對(duì)于其他準(zhǔn)則，形狀改變能密度強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算誤差小，具有更高的精確性和適用性。