余明星，紀(jì)豪森，丁 東

（華北科技學(xué)院，北京東燕郊 065201）

0 引言

量子糾纏［1，2］是量子力學(xué)中重要的物理資源，在量子計(jì)算和量子信息的諸多應(yīng)用中起著關(guān)鍵性作用，比如，利用量子糾纏可以降低計(jì)算復(fù)雜度［3］，探究量子非定域性［4，5］，實(shí)現(xiàn)超密編碼［6，7］、量子密鑰分發(fā)［8］、量子隱形傳態(tài)［9-12］等。 量子隱形傳態(tài)是一種重要的量子通信方式，基于量子糾纏信道和經(jīng)典通信，通信雙方中的發(fā)送方可在不發(fā)送量子態(tài)的情況下將未知量子態(tài)傳送給信息接收方。 一般地，在量子隱形傳態(tài)過程中人們通常考慮應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的Bell 態(tài)測量（Bell State Measurement，BSM），是一種常見的兩量子比特聯(lián)合測量方法。

2019 年，Gisin 提出了一種新型的兩量子比特聯(lián)合測量方法，量子優(yōu)雅聯(lián)合測量［13］（Elegant Joint Measurement，EJM），是傳統(tǒng)BSM 測量的推廣。 本文考慮在量子隱形傳態(tài)方案中引入EJM測量，計(jì)算θ＝0 和θ＝π／2 兩種情況下，信息接收方用于恢復(fù)待傳送未知量子態(tài)所需要的演化矩陣，探討將EJM 測量應(yīng)用于傳統(tǒng)的量子隱形傳態(tài)方案的可行性。

1 EJM 量子聯(lián)合測量

EJM 是物理學(xué)家Gisin 等人［13，14］最近提出的一種兩量子比特聯(lián)合測量，也稱作對(duì)稱聯(lián)合測量?？紤]正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)：

定義單量子比特態(tài)

進(jìn)而，構(gòu)建兩量子比特態(tài)

經(jīng)計(jì)算，有

更一般地，通過引入一個(gè)角參數(shù)θ，Tavakoli等人［14］構(gòu)建了一組含參兩比特基態(tài)

2 基于EJM 的量子隱形傳態(tài)

一般地，量子隱形傳態(tài)過程包含信息發(fā)送方Alice 和信息接收方Bob，雙方共享一個(gè)量子糾纏對(duì)。 假設(shè)，Alice 需要向Bob 傳送一個(gè)單比特量子態(tài)，且Alice 并不知道這個(gè)量子態(tài)的確切狀態(tài)，即未知量子態(tài)。 量子隱形傳態(tài)過程包括三個(gè)環(huán)節(jié)，首先是Alice 對(duì)未知量子態(tài)和自己擁有的糾纏對(duì)中的一個(gè)粒子進(jìn)行聯(lián)合BSM 測量［10］；接著，通過經(jīng)典信道通知Bob 自己的測量結(jié)果；最后，Bob 根據(jù)Alice 的測量結(jié)果對(duì)自己手中的粒子（糾纏對(duì)中的另一個(gè)）采用適當(dāng)?shù)牟僮?，得到要傳送的未知量子態(tài)。

接下來，我們考慮把EJM 聯(lián)合測量［14-16］應(yīng)用于量子隱形傳態(tài)過程，探討基于EJM 聯(lián)合測量過程進(jìn)行量子隱形傳態(tài)的可能性。

假設(shè)，信息發(fā)送方Alice 需要向信息接收方Bob 傳送的未知單量子比特態(tài)

其中，復(fù)系數(shù)α和β滿足。 通信雙方Alice 和Bob 共享一對(duì)糾纏態(tài)

為了便于表述，這里將Alice 的兩個(gè)粒子作為量子系統(tǒng)的第1 和第2 個(gè)粒子，將Bob 的粒子作為量子系統(tǒng)的第3 個(gè)粒子，其中粒子1 為要傳送的未知量子態(tài)。 于是，復(fù)合量子系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

我們?cè)贓JM 測量基下，對(duì)Alice 的兩個(gè)粒子作聯(lián)合測量，可能得到以下四種結(jié)果。

接著，通過經(jīng)典信道Alice 通知Bob 自己的測量結(jié)果，Bob 根據(jù)Alice 的測量結(jié)果對(duì)粒子3 進(jìn)行適當(dāng)?shù)牧孔硬僮?，進(jìn)而得到要傳送的未知量子態(tài)。 為簡單起見，我們這里重點(diǎn)討論具有代表性的θ＝0 和θ＝π／2 兩種情況。

2.1 θ＝0 時(shí)的隱形傳態(tài)

Bob 在知道Alice 的測量結(jié)果后，需要采用適當(dāng)?shù)牧孔硬僮鱽砘謴?fù)出未知量子態(tài)（15）式。 我們這里假設(shè)該量子操作為預(yù)期的量子演化結(jié)果表示為

通過計(jì)算，得到

同理可得θ＝0 情況下其他三種測量結(jié)果分別對(duì)應(yīng)的量子操作，見表1。

表1 θ＝0 時(shí)四種測量結(jié)果對(duì)應(yīng)的變換矩陣

2.2 θ＝π／2 時(shí)的隱形傳態(tài)

經(jīng)過計(jì)算，我們得到

同理，我們計(jì)算θ＝π／2 的其他三種測量結(jié)果所對(duì)應(yīng)的變換矩陣，結(jié)果見表2。

表2 θ＝π／2 時(shí)四種測量結(jié)果對(duì)應(yīng)的變換矩陣

2.3 對(duì)變換矩陣幺正性的探討

接下來，我們檢驗(yàn)EJM 測量中θ＝0 和θ＝π／2兩種典型情況下Bob 恢復(fù)待傳送未知量子態(tài)所需要進(jìn)行的量子操作的幺正性。 量子算符的幺正性是量子力學(xué)中的重要概念，通常用于刻畫一個(gè)封閉量子系統(tǒng)的演化。 當(dāng)一個(gè)線性算符U滿足條件：U?U＝UU?＝I時(shí)，被稱為幺正算符，否則為非幺正算符，其中U?是算符U的共軛轉(zhuǎn)置，I為單位矩陣。 幺正算符作用于量子系統(tǒng)后，量子系統(tǒng)內(nèi)積保持不變，這是幺正算符的一個(gè)重要性質(zhì)。

對(duì)于θ＝0 情況，通過計(jì)算，結(jié)果為，i＝1，2，3，4，即四種測量結(jié)果對(duì)應(yīng)的變換矩陣都是非幺正矩陣。 對(duì)于θ＝π／2 情況，通過計(jì)算，得到，i＝1，2，3，4，滿足幺正性。

封閉量子系統(tǒng)的演化遵從幺正演化，幺正演化可以通過常見的量子門實(shí)現(xiàn)，而非幺正變換矩陣一般需要設(shè)計(jì)包含測量在內(nèi)的量子線路實(shí)現(xiàn)［17］。 所以，在量子隱形傳態(tài)過程中引入EJM測量的結(jié)果是信息接收方Bob 需要引入實(shí)現(xiàn)非幺正門的量子線路來實(shí)現(xiàn)未知量子態(tài)的傳送。

3 結(jié)論

（1） 基于EJM 測量進(jìn)行量子隱形傳態(tài)具有可行性。 相比于傳統(tǒng)的基于BSM 測量的量子隱形傳態(tài)過程，一般情況下，引入EJM 測量的結(jié)果使得信息接收方Bob 需要應(yīng)用非幺正量子線路才能恢復(fù)出信息發(fā)送方Alice 所要傳送的未知量子態(tài)。

（2） EJM 測量中，當(dāng)θ＝π／2 時(shí)，Bob 恢復(fù)要傳送的未知量子態(tài)需要的量子操作是幺正操作，與傳統(tǒng)的基于BSM 測量的量子隱形傳態(tài)過程中需要的量子操作在一個(gè)簡單的幺正變換下等價(jià)。這也進(jìn)一步證實(shí)了文獻(xiàn)［14］的結(jié)果，對(duì)于θ＝π／2情況EJM 測量等價(jià)于傳統(tǒng)的BSM 測量，兩者之間相差一個(gè)幺正變換。