? 江蘇省徐州市第三中學 徐瑞金

在實際的數(shù)學解題過程中,如果充分剖析題設(shè)條件與所求結(jié)論以及二者之間的聯(lián)系,多思維視角切入,多方法技巧應用,總會有一些收獲與體會,總能積累解題經(jīng)驗,提升解題能力.

1 問題呈現(xiàn)

2 問題破解

2.1 思維視角1:基本不等式思維

方法1：基本不等式法1.

故填:1.

方法2：基本不等式法2.

故填:1.

點評：根據(jù)條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化,代入所求代數(shù)式進行消元處理,視4y+5,8y-5為元,結(jié)合關(guān)系式的配湊與轉(zhuǎn)化,構(gòu)建“定積”關(guān)系,進而利用基本不等式來確定相應的最值.從條件入手進行消元處理,往往是解決雙元代數(shù)式最值問題中比較常用的思維視角,合理聯(lián)系所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,對比分析,借助基本不等式來應用.

方法3：換元法.

故填:1.

點評：根據(jù)條件關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,把兩參數(shù)的乘積作為一個整體進行換元,進而結(jié)合條件構(gòu)建對應的參數(shù)方程,結(jié)合所求代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化,通過關(guān)系式的配湊與變形,構(gòu)建“定積”關(guān)系,進而利用基本不等式來確定相應的最值.乘積換元法是利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征加以整體化思維,合理消元,為進一步的分析與應用提供條件.

方法4：等差中項法.

故填:1.

點評：根據(jù)條件關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征可知,對應參數(shù)之間構(gòu)成等差數(shù)列,利用等差中項的性質(zhì)引入?yún)?shù),進而結(jié)合條件構(gòu)建對應的參數(shù)方程,結(jié)合所求代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化,通過關(guān)系式的配湊與變形,構(gòu)建“定積”關(guān)系,進而利用基本不等式來確定相應的最值.等差中項的數(shù)據(jù)特征,為引入?yún)?shù)提供了條件,進而利用參數(shù)方程來處理與轉(zhuǎn)化問題.

2.2 思維視角2:導數(shù)思維

方法5：導數(shù)法.

故填:1.

點評：根據(jù)條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化,代入所求代數(shù)式進行消元處理,化雙元為單元,并確定對應元的取值范圍,借助函數(shù)的構(gòu)建,利用求導處理,結(jié)合導函數(shù)的零點求解并通過函數(shù)單調(diào)性的確定來求解對應函數(shù)的最值,即所求代數(shù)式的最值.利用導數(shù)法求解最值問題,有時運算量比較大,細心計算,問題往往可以得以有效解決.

3 教學啟示

3.1 方法歸納,目標轉(zhuǎn)化

解決雙元最值問題,最常用的方法就是“消元”處理,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,或引參代換,或三角換元,或變換主元,或整體思維等,利用“消元”借助單元最值問題來處理,可以通過基本不等式、函數(shù)與方程等來解決,是處理此類問題時最為常見的基本思維方式.

3.2 發(fā)展思維,一題多得

合理挖掘條件內(nèi)涵,深入理解題意實質(zhì),通過分析與綜合,巧妙利用與轉(zhuǎn)化,合理開拓思維,實現(xiàn)“一題多解”,從不同思維視角切入,挖掘巧技妙解,利用不同的技巧方法來分析與處理,舉一反三,靈活變通,進而真正達到融會貫通,從數(shù)學知識、數(shù)學能力、數(shù)學思維等層面融合,形成數(shù)學知識體系,轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學能力,得以創(chuàng)新拓展.