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        2022年新高考Ⅰ卷圓錐曲線試題的多角度探究與推廣

        2024-03-14 07:55:12江西省九江市第三中學(xué)彭奇斌
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2024年5期
        關(guān)鍵詞:極線真題調(diào)和

        ? 江西省九江市第三中學(xué) 彭奇斌

        高考真題是教學(xué)的絕佳素材,也是提升解題能力、優(yōu)化解題思路和積累解題經(jīng)驗(yàn)的寶貴源泉.因此,對(duì)優(yōu)秀的高考真題進(jìn)行多角度思考,多途徑求解,對(duì)發(fā)展思維、開拓視野、提升能力、提高素養(yǎng)、認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)具有重要意義.

        1 真題呈現(xiàn)

        (1)求l的斜率;

        本題第(1)問一改以往送分模式,繁重的計(jì)算使得大多考生半途而廢,無功而返.第(2)問中點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)均為無理數(shù),若直接求其坐標(biāo),運(yùn)算繁瑣.因此,應(yīng)探索合適的方法簡化運(yùn)算,優(yōu)化解題過程.

        2 真題破解

        2.1 角度一:常規(guī)曲直聯(lián)立

        當(dāng)m=1-2k時(shí),直線l過點(diǎn)A,舍去.故k=-1.

        點(diǎn)評(píng):設(shè)直線PQ的斜截式,聯(lián)立方程,將條件中直線AP,AQ的斜率之和為0結(jié)合韋達(dá)定理表示出來,從而得出結(jié)論,是破解此類問題的通技通法,雖容易想到但計(jì)算量較大.

        2.2 角度二:利用直線的對(duì)稱性巧設(shè)直線方程

        故PQ:3x+3y-5=0.后同解法1.

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)直線的對(duì)稱性設(shè)方程,設(shè)而不求,避免了解法1繁瑣的計(jì)算;觀察到點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)均為無理數(shù),直接求其坐標(biāo),運(yùn)算復(fù)雜,轉(zhuǎn)為求PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)(有理數(shù)),化繁為簡,達(dá)到事半功倍之效.

        2.3 角度三:利用直線的參數(shù)方程

        解法3:(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP的傾斜角為α,則直線BP的傾斜角為π-α.

        點(diǎn)評(píng):涉及弦長的問題,可考慮利用直線的參數(shù)方程簡化運(yùn)算,提高解題效率.

        2.4 角度四:根據(jù)斜率之和為定值進(jìn)行齊次化

        點(diǎn)評(píng):當(dāng)圓錐曲線上有三個(gè)點(diǎn)A,P,B,涉及到直線PA,PB的斜率之和或斜率之積為定值的問題都可使用齊次化方法.第(2)問中將面積齊次化后,得到△PAQ的面積關(guān)于tan∠PAQ與m的關(guān)系式,揭示了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,可謂無心插柳柳成蔭.

        2.5 角度五:非平移齊次化

        在角度四的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),避免平移.

        (x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0.

        聯(lián)立直線PQ與曲線C的方程,可得(x-2)2-2(y-1)2+[4(x-2)-4(y-1)][m(x-2)+n(y-1)]=0,即(2+4n)(y-1)2+4(m-n)(x-2)(y-1)-(4m+1)(x-2)2=0.

        (2+4n)k2+4(m-n)k-(4m+1)=0.

        2.6 角度六:利用調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)、極線的性質(zhì)

        解法6:如圖1,設(shè)直線AP,AQ交x軸于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)A分別作平行于x軸、y軸的直線,交直線l于點(diǎn)R,T,線束AR,AT,AP,AQ交x軸于E∞,S,M,N.由kAP=-kAQ,可以得到S為MN的中點(diǎn),(E∞,S;M,N)=-1,即E∞,S,M,N為一組調(diào)和點(diǎn)列,則直線AR,AT,AP,AQ為調(diào)和線束,它們與直線l交于點(diǎn)R,T,P,Q.根據(jù)調(diào)和點(diǎn)列的交比不變性可知R,T,P,Q也為一組調(diào)和點(diǎn)列,所以R,T關(guān)于曲線C互為共軛點(diǎn),即點(diǎn)R在點(diǎn)T的極線上.

        圖1

        點(diǎn)評(píng):“極點(diǎn)、極線”與“調(diào)和點(diǎn)列”是高等幾何中射影幾何范疇內(nèi)的概念,它關(guān)于二次曲線的相關(guān)結(jié)論經(jīng)常被作為高考解析幾何試題的命題背景.縱觀2022年高考試卷,全國新高考Ⅰ卷、全國甲卷、全國乙卷、北京卷、天津卷的解析幾何大題均以“極點(diǎn)、極線”與“調(diào)和點(diǎn)列”作為命題背景,可謂壯觀.在歷年高考中,以此背景命制的試題也屢見不鮮,例如,2020年全國卷Ⅰ、北京卷,2018年北京卷,2015年四川卷,2013年江西卷,等等.

        3 結(jié)論推廣

        將題中條件一般化,可推出結(jié)論1.

        結(jié)論1的證明留給讀者.對(duì)于橢圓及拋物線,也可推出類似結(jié)論.

        進(jìn)一步,如果將直線AP,AQ的斜率之和為0,即kAP+kAQ=0改為kAP+kAQ=k(k≠0),也有類似結(jié)論.

        證明略.對(duì)于橢圓及拋物線,也可推出類似結(jié)論.

        為了回答這第三個(gè)研究問題,對(duì)學(xué)生詞匯量與語言水平進(jìn)行了相關(guān)分析。表3提供了詞匯水平考試分?jǐn)?shù)與測(cè)試得分之間的相關(guān)性匯總,這些分?jǐn)?shù)分為高級(jí)、中高級(jí)和中低級(jí)熟練程度。

        再進(jìn)一步,如果將kAP+kAQ=k(k≠0)改為kAP·kAQ=s(s≠0),也有類似結(jié)論成立.

        4 教學(xué)啟示

        (1)通過一題多解,優(yōu)化算理、算法

        對(duì)于解析幾何問題,不同的解法對(duì)應(yīng)的運(yùn)算量相差很大.只有熟悉各種“算理”,才能在對(duì)比中優(yōu)化“算法”,從而積累有效的解題經(jīng)驗(yàn).比如,對(duì)于拋物線問題,通過對(duì)比“斜參”與“點(diǎn)參”兩種常用方法,學(xué)生可體會(huì)到“點(diǎn)參”法在處理拋物線問題時(shí)的巨大優(yōu)越性.在日常的教學(xué)活動(dòng)中,教師要積極引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題,多途徑解決問題,提升邏輯推理、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

        一些綜合性很強(qiáng)的解析幾何問題往往蘊(yùn)含著多個(gè)常見的數(shù)學(xué)小結(jié)論,比如焦半徑公式、中點(diǎn)弦結(jié)論、拋物線焦點(diǎn)弦結(jié)論等.這些小結(jié)論經(jīng)常會(huì)作為復(fù)雜問題的一個(gè)環(huán)節(jié),若學(xué)生熟悉一些常用結(jié)論與數(shù)學(xué)模型,則更容易打通“關(guān)節(jié)”,找到突破口,打開解題思路.

        (3)挖掘試題背景,把握命題規(guī)律

        以高等幾何中極點(diǎn)、極線理論為背景的解析幾何問題一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).教師若能掌握有關(guān)概念,熟悉相關(guān)性質(zhì),就能從高觀點(diǎn)分析這些試題,高屋建瓴,看透問題本質(zhì),把握命題規(guī)律,命制相關(guān)試題,這對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義.

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