? 江蘇省江陰高級(jí)中學(xué) 毛慶華

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:“數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法.”數(shù)學(xué)思想被納入數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容.教學(xué)實(shí)踐中需要把握導(dǎo)數(shù)教學(xué)的良好契機(jī),注重化歸思想的有效滲透,促進(jìn)教學(xué)效率的有效提升.

1 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程聯(lián)系緊密.在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,結(jié)合化歸思想,創(chuàng)設(shè)函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的教學(xué)情境,有助于加深學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程關(guān)系的認(rèn)識(shí),掌握解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的高效思路.

1.1 函數(shù)向方程轉(zhuǎn)化

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位.導(dǎo)數(shù)部分涉及的函數(shù)通常較為復(fù)雜,采用常規(guī)思路有時(shí)無(wú)法直接求解,需要將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程,通過(guò)研究方程根的情況加以突破.教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)以函數(shù)圖象為媒介,借助多媒體技術(shù),展示函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系及對(duì)應(yīng)參數(shù)的邏輯關(guān)系,將二者之間的關(guān)系根植于學(xué)生內(nèi)心.同時(shí),圍繞教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)相關(guān)問(wèn)題情境,做好轉(zhuǎn)化后具體處理方法的指引,使學(xué)生不僅會(huì)轉(zhuǎn)化,而且能掌握轉(zhuǎn)化后的作答技巧.

例如,在課堂上展示習(xí)題:已知函數(shù)f(x)=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.該題目中涉及的函數(shù)是超越函數(shù),無(wú)法直接求出切線方程,究竟該怎么轉(zhuǎn)化呢?授課時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘與提取題干的有用信息,尋找轉(zhuǎn)化的切入點(diǎn).設(shè)計(jì)支架問(wèn)題:(1)如何求兩條切線方程的斜率?(2)兩條切線方程的斜率之間有什么關(guān)系?(3)轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)方程之后,如何運(yùn)用方程的判別式Δ構(gòu)建不等關(guān)系?

其中,問(wèn)題(1)啟發(fā)學(xué)生從直線斜率入手分析;問(wèn)題(2)指引學(xué)生聯(lián)系切線垂直知識(shí)構(gòu)建方程,實(shí)現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題向方程問(wèn)題的轉(zhuǎn)化;問(wèn)題(3)指向方程問(wèn)題的解決,需要借助方程的判別式與三角函數(shù)的有界性,求出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的值,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)得出結(jié)果.

三個(gè)問(wèn)題由淺入深,實(shí)現(xiàn)了從函數(shù)向方程轉(zhuǎn)化以及轉(zhuǎn)化后順利解答的有效輔助.學(xué)生在思考、回答問(wèn)題的過(guò)程中既加深了對(duì)函數(shù)與方程關(guān)系的認(rèn)識(shí),又通過(guò)尋找轉(zhuǎn)化,積累了一定的轉(zhuǎn)化解題經(jīng)驗(yàn).

1.2 方程向函數(shù)轉(zhuǎn)化

方程向函數(shù)轉(zhuǎn)化是解決方程問(wèn)題的有效方法,在導(dǎo)數(shù)部分中體現(xiàn)的尤為明顯.一般情況下,通常將復(fù)雜的方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,借助導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的增減性以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)范圍等進(jìn)行求解.當(dāng)然,部分習(xí)題技巧性較強(qiáng),轉(zhuǎn)化后還需要進(jìn)行針對(duì)性變形,以更好地體現(xiàn)隱含的規(guī)律.教學(xué)實(shí)踐中,教師需要立足學(xué)情與教學(xué)實(shí)際,給學(xué)生提供交流、討論的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在交流、討論的過(guò)程中獲得深刻感悟,體會(huì)將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解題的樂(lè)趣.

例如,教學(xué)過(guò)程中展示習(xí)題:若正實(shí)數(shù)x0是方程ex+1=aln(ax-1)的根,則ex0-ax0=______.該題題干較為簡(jiǎn)單,但卻較為抽象,直接將x0代入方程后,無(wú)論怎樣變形均無(wú)法與要求解的問(wèn)題建立聯(lián)系,也就無(wú)法解答.教學(xué)過(guò)程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從給出的方程入手,嘗試著將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題,從函數(shù)角度探尋解題思路.課堂上預(yù)留時(shí)間,要求學(xué)生相互交流,討論如何對(duì)已知方程變形.

同時(shí),為使學(xué)生能盡快找到正確的思考方向,需要做好課堂觀察,了解學(xué)生的分析思路以及討論的結(jié)果,必要情況下給予點(diǎn)撥.事實(shí)上,由題干中的指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)容易聯(lián)想到函數(shù)的同構(gòu),借助指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律將所給方程的左右兩邊構(gòu)造出同一形式的新的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出新函數(shù)的單調(diào)性.如此通過(guò)等量代換便可得出結(jié)果.

教師引導(dǎo)學(xué)生交流、討論,進(jìn)行思維的碰撞.學(xué)生帶著問(wèn)題主動(dòng)思考,并在教師的引導(dǎo)下探尋方程向函數(shù)轉(zhuǎn)化的思路,在活躍的課堂氛圍中,掌握方程向函數(shù)轉(zhuǎn)化的相關(guān)技巧,實(shí)現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)效率的提高.

2 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)非常重要的對(duì)象.以數(shù)助形,可探究形的細(xì)微之處.以形助數(shù),可使數(shù)的問(wèn)題更易解決.高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,應(yīng)通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化教學(xué),促進(jìn)課堂教學(xué)實(shí)效的提升.

2.1 數(shù)向形的轉(zhuǎn)化

高中導(dǎo)數(shù)部分的“數(shù)”多指“函數(shù)”.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中發(fā)揮著探尋函數(shù)的變化趨勢(shì)、最值、極值、零點(diǎn)等作用.在具體的函數(shù)問(wèn)題中,基于對(duì)題干的理解以及巧妙轉(zhuǎn)化,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推理、判斷,畫出函數(shù)的大致圖象,可以確保抽象、復(fù)雜問(wèn)題得到創(chuàng)造性的解決.導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,教師應(yīng)運(yùn)用多媒體進(jìn)行函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)圖象的展示,明晰兩個(gè)圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使學(xué)生把握函數(shù)圖象繪制的關(guān)鍵點(diǎn).同時(shí),圍繞具體習(xí)題,進(jìn)行由數(shù)向形轉(zhuǎn)化的解題示范,給學(xué)生帶來(lái)啟發(fā).

圖1

學(xué)生通過(guò)觀察,容易發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.而要想滿足題意,則需要函數(shù)f(x)=kx-2(x≥0)的圖象和g(x)=lnx的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),此時(shí)只需找臨界點(diǎn),即直線y=kx-2和g(x)=lnx的圖象相切.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)以及f(x)=kx-2(x≥0)恒過(guò)點(diǎn)(0,-2),容易求得對(duì)應(yīng)的切線為y=ex-2,觀察圖形容易得出k的取值范圍為(0,e).由此可見(jiàn),通過(guò)數(shù)向形的轉(zhuǎn)化,抽象的函數(shù)問(wèn)題就會(huì)變得直觀易解.

2.2 形向數(shù)的轉(zhuǎn)化

形向數(shù)的轉(zhuǎn)化主要借助平面直角坐標(biāo)系以及空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分中的形向數(shù)的轉(zhuǎn)化,以平面直角坐標(biāo)系為主.如給出某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象,要求判斷原函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)等.教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)注重解題方法的引導(dǎo),要求學(xué)生認(rèn)真觀察給出的圖象,使用列表法,通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的值與0的關(guān)系進(jìn)行判斷,體會(huì)形向數(shù)轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程,掌握轉(zhuǎn)化的細(xì)節(jié).

例如,給出以下習(xí)題:已知f(x)和g(x)是定義在(a,b)上的函數(shù),對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),g′(x)的圖象如圖2所示,g′(x)的圖象在x2處與f′(x)相切,則有關(guān)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的說(shuō)法正確的是( ).

圖2

A.在區(qū)間(x1,x2)上先增后減

B.x2為極小值點(diǎn)

C.在區(qū)間(x1,x3)上單調(diào)遞減

D.極大值和極小值點(diǎn)各1個(gè)

該習(xí)題給出的是兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象,可以很好地考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)含義的理解.該問(wèn)題的難點(diǎn)在于給出的函數(shù)是抽象函數(shù),還涉及到導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算.由函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得出h′(x)=f′(x)-g′(x).課堂上要求學(xué)生按照x,h(x),h′(x),通過(guò)對(duì)圖象的觀察列表,根據(jù)h′(x)在0左右的符號(hào)做出推理.

導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,部分題目既要進(jìn)行形向數(shù)的轉(zhuǎn)化,又要應(yīng)用到有關(guān)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)或一些技巧,可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系常規(guī)的解題思路解答一些看似復(fù)雜的問(wèn)題.

3 特殊與一般的轉(zhuǎn)化

特殊與一般的轉(zhuǎn)化是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的常用方法.導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,通過(guò)特殊向一般的轉(zhuǎn)化可以證明相關(guān)的結(jié)論,通過(guò)一般向特殊的轉(zhuǎn)化可求解具體的求值問(wèn)題.

3.1 特殊向一般轉(zhuǎn)化

歸納法是特殊向一般轉(zhuǎn)化的常用方法.特殊向一般的轉(zhuǎn)化在導(dǎo)數(shù)部分通常用于證明相關(guān)結(jié)論,對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力以及推理的嚴(yán)謹(jǐn)性要求較高.導(dǎo)數(shù)部分教學(xué)中,教師應(yīng)做好歸納法理論知識(shí)的講解,并結(jié)合具體解題過(guò)程做好解釋以及細(xì)節(jié)的說(shuō)明,使學(xué)生充分理解歸納法的本質(zhì).同時(shí),課堂上給出難度適中的習(xí)題,組織學(xué)生開展以小組為單位的合作學(xué)習(xí)活動(dòng),要求學(xué)生積極回顧歸納法的相關(guān)知識(shí),相互配合,積極討論,共同完成解答.

例如,課堂上展示如下習(xí)題:已知函數(shù)f(x)=x-xlnx,數(shù)列{an}滿足0

(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性;

(2)證明:an

該習(xí)題是導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的綜合問(wèn)題.其中,第(1)問(wèn)難度不大,通過(guò)求導(dǎo)不難作出判斷.第(2)問(wèn)難度稍大,需要挖掘出0

由于特殊向一般轉(zhuǎn)化的相關(guān)知識(shí)以及對(duì)應(yīng)的過(guò)程較為抽象,因此導(dǎo)數(shù)教學(xué)中應(yīng)靈活運(yùn)用多種教學(xué)方法,給學(xué)生帶來(lái)良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn).正如上文中的合作學(xué)習(xí)法,使學(xué)生在愉悅歡快的氛圍中完成證明.另外,根據(jù)需要,還可應(yīng)用互動(dòng)式教學(xué)法、項(xiàng)目教學(xué)法、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法等.

3.2 一般向特殊轉(zhuǎn)化

一般向特殊的轉(zhuǎn)化又稱演繹推理,即運(yùn)用一般的數(shù)學(xué)結(jié)論求解一些實(shí)際的、具體情境下的數(shù)學(xué)問(wèn)題.為確保問(wèn)題得以順利解決,需要牢記一般的數(shù)學(xué)結(jié)論,或能夠用一般的結(jié)論作出進(jìn)一步的推理.導(dǎo)數(shù)教學(xué)實(shí)踐中,教師需要與學(xué)生一起完成一般數(shù)學(xué)結(jié)論的推理,使學(xué)生把握一般結(jié)論的由來(lái),為其進(jìn)行更深層的推理奠定基礎(chǔ).當(dāng)然,為提高一般向特殊轉(zhuǎn)化的靈活性,增強(qiáng)解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的能力,導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行習(xí)題的優(yōu)選,組織學(xué)生開展課堂訓(xùn)練活動(dòng).

該問(wèn)題給出的函數(shù)較為特殊,所求問(wèn)題的自變量較大,直接代入根本不可能求解.教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生不要急于動(dòng)筆,觀察所求問(wèn)題的特點(diǎn),結(jié)合題干嘗試推出相關(guān)結(jié)論,再通過(guò)一般向特殊的轉(zhuǎn)化巧妙求出結(jié)果.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),該類問(wèn)題一般需要用到函數(shù)的奇偶性.基于此,分別求出f(-x),f′(x),f′(-x)以及f(x)+f(-x),f′(x)+f′(-x)的表達(dá)式.通過(guò)推出一般結(jié)論,可以發(fā)現(xiàn)要求解的問(wèn)題和自變量的大小無(wú)關(guān),如此問(wèn)題便迎刃而解.

總之,授課中,為使學(xué)生能夠形成高效的解題經(jīng)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用,要求學(xué)生樹立正確的課堂訓(xùn)練態(tài)度,關(guān)注解題正確率的同時(shí),更要認(rèn)真審視解題過(guò)程,明確在訓(xùn)練中暴露出的問(wèn)題,及時(shí)查漏補(bǔ)缺.對(duì)于較為典型的習(xí)題,可以摘抄到錯(cuò)題本中并做好批注,定期翻閱.

4 其他類型的轉(zhuǎn)化

除上述介紹的轉(zhuǎn)化方法外,直接轉(zhuǎn)化與換元轉(zhuǎn)化在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的解答中也較為常用.導(dǎo)數(shù)教學(xué)中應(yīng)注重?fù)Q元轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用講解.

4.1 直接轉(zhuǎn)化

直接轉(zhuǎn)化是指將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式以及基本圖形問(wèn)題.可以看出,牢固掌握基本定理、基本公式以及基本圖形是進(jìn)行直接轉(zhuǎn)化的重點(diǎn),導(dǎo)數(shù)教學(xué)中應(yīng)和學(xué)生一起運(yùn)用思維導(dǎo)圖做好歸納與總結(jié).同時(shí),帶領(lǐng)學(xué)生一起運(yùn)用直接轉(zhuǎn)化解答相關(guān)習(xí)題,進(jìn)一步加深學(xué)生印象,使學(xué)生能更好地理解與掌握.

例如:函數(shù)f(x)=ex+sinx-x-1在區(qū)間[-π,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.

該問(wèn)題中的函數(shù)由指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與一次函數(shù)組合而成.課堂上可以采用提問(wèn)的方式,要求學(xué)生回顧零點(diǎn)存在性定理,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)存在性問(wèn)題,通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)值與0的大小關(guān)系,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

直接轉(zhuǎn)化是解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用方法.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解和牢記基本定理、基本公式以及基本圖形,多開展利用直接轉(zhuǎn)化解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的訓(xùn)練活動(dòng),增強(qiáng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化技能.

4.2 換元轉(zhuǎn)化

通過(guò)換元可以減少參數(shù)個(gè)數(shù),將看似復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的式子,降低解題難度.換元轉(zhuǎn)化在解決導(dǎo)數(shù)多變量問(wèn)題中表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì),因此,課堂上應(yīng)緊跟換元理論知識(shí)的講解針對(duì)性地設(shè)計(jì)多變量導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,展示換元的具體過(guò)程,提高學(xué)生運(yùn)用換元轉(zhuǎn)化解決導(dǎo)數(shù)多變量問(wèn)題的意識(shí),使其在以后遇到類似問(wèn)題能夠迅速找到突破口.

導(dǎo)數(shù)教學(xué)中,可以采用“講解理論→分析習(xí)題→專題訓(xùn)練”的流程進(jìn)行授課.其中在專題訓(xùn)練環(huán)節(jié),要求學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注換元過(guò)程以及換元后如何高效、正確地確定參數(shù)的取值范圍,總結(jié)專題訓(xùn)練中獲得的啟示,將在專題訓(xùn)練中學(xué)習(xí)到的知識(shí)、技巧內(nèi)化為自身能力.

綜上所述,化歸思想在高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)中發(fā)揮出了提高教學(xué)效率、推動(dòng)教學(xué)活動(dòng)有序開展的積極作用.教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)增強(qiáng)認(rèn)識(shí),做好化歸思想理論的自主學(xué)習(xí),儲(chǔ)備豐富的理論知識(shí),增強(qiáng)在教學(xué)中融入化歸思想的意識(shí),做好教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性設(shè)計(jì),運(yùn)用各種教學(xué)策略,將化歸思想與課堂教學(xué)內(nèi)容有機(jī)銜接,使學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí),獲得熟練運(yùn)用化歸思想的方法與技巧.