? 山東省陽信縣第二高級中學(xué) 王守亮

高中數(shù)學(xué)人教A版教材(2019年版)必修第二冊第七章“復(fù)數(shù)”章節(jié)通過選學(xué)內(nèi)容“7.3復(fù)數(shù)的三角表示”的方式給出復(fù)數(shù)的三角形式,結(jié)合相關(guān)的概念、運(yùn)算與幾何意義等,將代數(shù)、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面向量、平面解析幾何等相關(guān)知識點(diǎn)巧妙融為一體,很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思維能力與知識靈活應(yīng)用能力等,在數(shù)學(xué)競賽及諸項(xiàng)考試中備受命題者青睞.

1 基本概念的應(yīng)用

A.負(fù)實(shí)數(shù) B.純虛數(shù)

C.正實(shí)數(shù) D.虛數(shù)a+bi(a,b∈R,a≠0)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,分別設(shè)出兩個復(fù)數(shù)的三角形式,抓住兩向量的垂直關(guān)系確定兩向量的夾角為90°,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)的三角形式中輻角之差為90°,結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式的除法運(yùn)算,確定兩復(fù)數(shù)除式的結(jié)果,綜合復(fù)數(shù)的基本概念來分析與判斷.

點(diǎn)評：在明確兩個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的平面向量的夾角、兩個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的模的長度關(guān)系或比例關(guān)系等情況下,經(jīng)常可以考慮采用復(fù)數(shù)的三角形式來設(shè)置與應(yīng)用,通過復(fù)數(shù)三角形式的變形與轉(zhuǎn)化,這樣問題更加直接,目標(biāo)會更加明確,在一定程度上可以減少數(shù)學(xué)運(yùn)算,優(yōu)化解題過程.

2 圖形形狀的識別

A.直角三角形 B.等邊三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合條件中涉及兩個復(fù)數(shù)的方程,通過同除一個非零的復(fù)數(shù)加以恒等變形與轉(zhuǎn)化,通過整體思維來求解對應(yīng)的二次方程,并將結(jié)果中復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式,利用復(fù)數(shù)的幾何意義來確定對應(yīng)角的大小以及兩邊長的關(guān)系,進(jìn)而得以確定三角形的形狀特征.

點(diǎn)評：涉及復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)三角形式的幾何意義等,這些都具有實(shí)際的平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征內(nèi)涵.在實(shí)際解決綜合問題時,經(jīng)常借助復(fù)數(shù)的三角形式等相關(guān)知識,巧妙處理平面幾何中相關(guān)圖形結(jié)構(gòu)特征的判斷與應(yīng)用等,“數(shù)”與“形”巧妙結(jié)合與轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

3 二次方程的求解

分析：根據(jù)題設(shè)條件,直接設(shè)出對應(yīng)的復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)三角形式的相關(guān)運(yùn)算來處理對應(yīng)虛數(shù)的乘積、次冪與除法等.

而θ∈(0,2π),且θ≠π,可得3θ∈(0,6π),且3θ≠3π,則有3θ=π,2π,4π,5π.

點(diǎn)評：涉及復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實(shí)系數(shù)一元二次方程問題,有其對應(yīng)的求根公式,常規(guī)方法就是利用復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)——“實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對”,進(jìn)而加以分析與應(yīng)用.借助復(fù)數(shù)的三角形式和待定系數(shù)法處理,也是一個不錯的解決問題的方法.

4 最值問題的探究

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合復(fù)數(shù)的模,借助復(fù)數(shù)的三角形式,可以快速找到解決問題的突破口.結(jié)合復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算等,并通過復(fù)數(shù)求模運(yùn)算及三角函數(shù)的相關(guān)公式與基本性質(zhì)的應(yīng)用,分別確定對應(yīng)復(fù)數(shù)的模的最大值與最小值,進(jìn)而加以分析與求解.

點(diǎn)評：相比復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算與求解來言,復(fù)數(shù)的三角形式可以很好地減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量,解題過程更加簡潔清晰,提升了解題的準(zhǔn)確率.

5 平面向量的轉(zhuǎn)化

圖1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過圖形直觀,先設(shè)出坐標(biāo)軸上的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定,結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)表示,確定向量對應(yīng)的復(fù)數(shù),并通過圖形中的直角旋轉(zhuǎn),利用復(fù)數(shù)三角形式的幾何意義,借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算來確定對應(yīng)的平面向量,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積以及不等式的性質(zhì)等來分析與應(yīng)用.

點(diǎn)評：解決此類問題時,可以很好地將平面向量、復(fù)數(shù)以及平面解析幾何中相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)等知識加以合理化歸與轉(zhuǎn)化,“數(shù)”與“形”結(jié)合,并借助復(fù)數(shù)三角形式在乘除運(yùn)算方面的便捷性以及對應(yīng)的幾何意義,使得“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合更加密切,操作起來更加直觀簡捷.

巧妙借助復(fù)數(shù)的三角形式,綜合相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則、運(yùn)算性質(zhì)以及幾何意義等,合理聯(lián)系復(fù)數(shù)與代數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、平面解析幾何等知識之間的聯(lián)系,可以用來解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)綜合問題,使數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用與思想方法的拓展得到更好的升華,對于學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的“學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)”“學(xué)會數(shù)學(xué)”“會學(xué)數(shù)學(xué)”以及“會用數(shù)學(xué)”等知識、思想、方法等方面的積累與螺旋上升等大有裨益.