張心怡，楊波

（1.德國柏林工業(yè)大學(xué) 電氣工程與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，柏林 10587； 2.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110167）

0 引言

隨著可再生能源滲透率的提高以及電力電子設(shè)備的不斷迭代，傳統(tǒng)大規(guī)模、集中式的電力系統(tǒng)正逐步向分布式、智能化、可持續(xù)方向發(fā)展［1］。微電網(wǎng)作為一種高效整合分布式能源的新型電力系統(tǒng)，得到了廣泛關(guān)注。微電網(wǎng)需要在并網(wǎng)模式和孤島模式下穩(wěn)定運行，由于孤島微電網(wǎng)面臨系統(tǒng)慣量小、無電網(wǎng)頻率支持的問題，因此保障孤島微電網(wǎng)的穩(wěn)定十分有挑戰(zhàn)性［2-4］。

分布式能源由變流器接入微電網(wǎng)。變流器按照工作模式一般可分為構(gòu)網(wǎng)型變流器和跟網(wǎng)型變流器［5-7］。跟網(wǎng)型變流器是基于電壓定向的電流源，依賴鎖相環(huán)與電網(wǎng)同步，可通過直接電流控制或級聯(lián)電壓電流環(huán)控制實現(xiàn)分布式能源功率輸出，但無法給系統(tǒng)提供電壓和頻率支持；構(gòu)網(wǎng)型變流器具有電壓源特性，可通過下垂控制等方法給系統(tǒng)提供電壓和頻率支持［8-11］。因此，在孤島微電網(wǎng)中，至少需要一個變流器工作于構(gòu)網(wǎng)模式［12］。在具有感性線路的網(wǎng)絡(luò)中，變流器的輸出有功功率和輸出頻率耦合，無功功率和輸出電壓耦合，因此，變流器的輸出頻率可通過控制輸出有功功率來調(diào)節(jié)，而輸出電壓可通過調(diào)整無功功率得到［13］。

小信號穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在小干擾后保持穩(wěn)定的能力，是保障孤島微電網(wǎng)可靠運行的關(guān)鍵［14-15］。通過對工作點附近的非線性系統(tǒng)線性化，可得到工作點附近的小信號模型。通過特征值分析及參與因子分析等方法可對小信號模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析。多數(shù)關(guān)于孤島微電網(wǎng)穩(wěn)定性的研究基于僅含構(gòu)網(wǎng)型變流器的微電網(wǎng)，沒有考慮跟網(wǎng)型變流器［16-18］；此外，恒功率負(fù)載（CPL）由于其負(fù)阻抗特性，對微電網(wǎng)的穩(wěn)定性造成了挑戰(zhàn)［19］。

本文針對含有構(gòu)網(wǎng)型、跟網(wǎng)型變流器及CPL 的孤島微電網(wǎng)穩(wěn)定性問題，首先構(gòu)建系統(tǒng)的小信號模型，在該模型的基礎(chǔ)上利用特征值分析法得到能夠保障系統(tǒng)穩(wěn)定運行的下垂系數(shù)的上界；其次，通過參與因子揭示系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)對小信號穩(wěn)定性的影響；最后，通過仿真驗證小信號分析的結(jié)果以及下垂系數(shù)取值的有效性。

1 孤島微電網(wǎng)結(jié)構(gòu)及模型建立

1.1 孤島微電網(wǎng)電路結(jié)構(gòu)

該微電網(wǎng)由2個相同的基于構(gòu)網(wǎng)型變流器的電池儲能系統(tǒng)（BESS）、1 個由跟網(wǎng)型變流器連接的CPL及線路網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，如圖1所示（圖中：Rlinei，Llinei分別為線路i的電阻和電感）。變流器均經(jīng)過LCL 濾波器在公共連接點（PCC）處并聯(lián)。構(gòu)網(wǎng)型變流器通過下垂控制策略得到其輸出電壓頻率和幅值的參考值，并通過級聯(lián)電壓電流控制器得到變流器的控制信號；跟網(wǎng)型變流器采用電流前饋解耦控制策略，通過鎖相環(huán)實現(xiàn)與系統(tǒng)頻率同步，并通過級聯(lián)電壓電流環(huán)控制功率輸入及CPL 直流母線的電壓穩(wěn)定；此外，系統(tǒng)的建模和控制均在dq軸中實施。

圖1 孤島微電網(wǎng)電路結(jié)構(gòu)Fig.1 Architecture of the islanded microgrid

1.2 基于構(gòu)網(wǎng)型變流器的子系統(tǒng)小信號模型

構(gòu)網(wǎng)型變流器的控制系統(tǒng)由功率控制器、電壓控制器、電流控制器、abc與dq軸的相互轉(zhuǎn)換模塊以及脈沖寬度調(diào)制（PWM）信號發(fā)生器構(gòu)成，如圖2 所示。由于PWM 信號發(fā)生器的高頻特性，系統(tǒng)建模時可忽略其動態(tài)模型（圖中：Lft，Cf和Lfg共同構(gòu)成了LCL 濾波器分別為abc，dq軸的輸出電壓參考值為輸出電流參考值；itabc，itdq分別為變流器在abc，dq軸中的電流；為輸入電流控制器的電壓在d軸的參考值；ioabc，iodq分別為變流器在abc，dq軸的輸出電流；voabc，vodq分別為LCL 濾波器中濾波電容在abc，dq軸的輸出電壓；ω為旋轉(zhuǎn)角頻率）。

圖2 構(gòu)網(wǎng)型變流器及控制系統(tǒng)Fig.2 Grid-forming converter and its control system

功率控制器采用下垂控制策略得到其輸出電壓的參考值，其數(shù)學(xué)模型為

式中：P，Q分別為變換器的輸出有功、無功功率；ωc為低通濾波器的截止角頻率；θ為構(gòu)網(wǎng)型變流器的旋轉(zhuǎn)角度；ωn，Vn分別為額定旋轉(zhuǎn)角頻率和額定輸出電壓；Pn，Qn分別為額定有功、無功功率；mp，nq分別為功率控制器的有功、無功下垂系數(shù)。

將由功率控制器得到的電壓參考值信號輸入級聯(lián)電壓電流環(huán)中，該控制環(huán)的數(shù)學(xué)模型為

式中：αdq，γdq分別為電壓控制器和電流控制器中PI補(bǔ)償器的積分部分；為變流器在q軸的輸出電壓參考值，設(shè)為0；kpv，kiv分別為電壓PI 控制器的比例參數(shù)和積分參數(shù)；kpc，kic分別為電流PI 控制器的比例參數(shù)和積分參數(shù)；Fi，F(xiàn)v分別為電流和電壓反饋系數(shù)。

該變換器交流側(cè)在dq軸上的動態(tài)模型為

式中：vtd，vtq分別為該變流器在dq軸的輸出電壓；vbd，vbq分別為PCC處電壓在dq軸中的值。

此外，構(gòu)網(wǎng)型變流器的建模是在其各自生成的dq軸中進(jìn)行的，在整個系統(tǒng)的模型中，需要將各個獨立dq軸中建立的模型通過轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換到同步參考系DQ軸中。該轉(zhuǎn)換矩陣的表達(dá)式為

式中：δi為第i個變換器的dq坐標(biāo)系與同步參考系的角度差。

在DQ軸中得到的某些變換器的控制量也需通過如下逆變換矩陣轉(zhuǎn)換到各自dq軸中

在本文中，同步參考系設(shè)定為由構(gòu)網(wǎng)變流器1生成的旋轉(zhuǎn)dq軸。進(jìn)行構(gòu)網(wǎng)變流器2 的建模時，需將式（1）中最后一個子式替換為式（6），其余保持不變。

式中：ω2為構(gòu)網(wǎng)變流器2的旋轉(zhuǎn)角頻率。

式（1）—（6）建立了該微電網(wǎng)中構(gòu)網(wǎng)型變流器的狀態(tài)空間模型。通過在系統(tǒng)工作點附近對狀態(tài)模型線性化，可以得到構(gòu)網(wǎng)型變流器的小信號模型為

其中

式中：AI，BI，CI分別為該模型的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣；vbDQ為DQ軸中各節(jié)點電壓所構(gòu)成的向量；ΔioDQ為DQ軸中各構(gòu)網(wǎng)型變流器輸出電流值構(gòu)成的向量。

1.3 基于跟網(wǎng)型變流器的子系統(tǒng)小信號模型

基于跟網(wǎng)型變流器的子系統(tǒng)包含1 個CPL、1 個跟網(wǎng)型變流器和1 個LCL 濾波器。CPL 可由DC/DC變流器接入直流母線并由DC/DC 變流器控制其功率的輸入、輸出。CPL具有負(fù)阻抗特性，當(dāng)功率較大或在負(fù)荷中占比中較大時會對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成影響，其輸出電流可由一個可控電流源表示，表達(dá)式為

式中：Pcpl為CPL的功率；vdc為直流母線電壓。

如圖3 所示，跟網(wǎng)型變流器的控制系統(tǒng)包括鎖相環(huán)、abc三項坐標(biāo)系與dq軸的轉(zhuǎn)換模塊、級聯(lián)的電壓電流環(huán)以及PWM信號發(fā)生器。

圖3 跟網(wǎng)型變流器及控制系統(tǒng)Fig.3 Grid-following converter and its control system

通過鎖相環(huán)可以跟蹤節(jié)點電壓頻率，實現(xiàn)abc三項坐標(biāo)系到dq坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。鎖相環(huán)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：ρ為連接點的實際相角；ρ?為鎖相環(huán)估計的相角；xρ為鎖相環(huán)PI 控制器積分環(huán)節(jié)的輸出；ωg為鎖相環(huán)跟蹤得到的PCC處電壓角頻率；klp，kli分別為控制器的比例和積分參數(shù)。

控制系統(tǒng)中的外環(huán)電壓控制器控制直流側(cè)的電壓并產(chǎn)生d軸的電流參考值，而q軸電流參考值一般情況下可設(shè)為0。將dq軸的電流參考值輸入內(nèi)環(huán)電流控制器，并產(chǎn)生變流器的控制信號。該控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：ξ1，ξ2，ξ3分別為外環(huán)電壓控制器和內(nèi)環(huán)電流控制器中PI 補(bǔ)償器在dq軸中的積分；vsd，vsq分別為跟網(wǎng)變流器側(cè)在dq軸的輸出電壓；isd，isq分別為跟網(wǎng)變流器側(cè)在dq軸的電流；vcd，vcq分別為濾波器電容電壓在dq軸中的值；vrefdc為DC 側(cè)電壓參考值；vdc為DC側(cè)電壓；irefsq為q軸電流參考值，一般可設(shè)為0。

跟網(wǎng)型變流器交流和直流側(cè)的動態(tài)模型為

式中：igd，igq分別為電網(wǎng)側(cè)在dq軸中的電流；Pcpl為CPL的功率；Cdc為直流側(cè)電容。

基于跟網(wǎng)型變流器的子系統(tǒng)在dq軸的輸出也需要通過式（4）轉(zhuǎn)換到同步DQ軸中，并且式（4）中的δi需替換為ρ?-θ。此外，式（15）中的vgd，vgq是DQ軸中得到的PCC 電壓通過式（6）轉(zhuǎn)換到dq軸得到的。根據(jù)式（12）—（15），在平衡點附近對該狀態(tài)空間模型線性化后，可得到基于跟網(wǎng)型變流器子系統(tǒng)的小信號模型為

式中：AF，BF，CF分別為該模型的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣；ΔigDQ為電網(wǎng)側(cè)電流在DQ軸中的值。

1.4 系統(tǒng)線路小信號模型

圖1中線路i（i=1，2）的狀態(tài)空間模型可表示為

可得到線路i的小信號模型為

其中

式中：ΔilineDi，ΔilineQi分別為線路i的電流在DQ軸中的值；vbDl，vbQl，vbDr，vbQr分別為線路i左節(jié)點和右節(jié)點的電壓在DQ軸中的值。

1.5 孤島微電網(wǎng)完整小信號模型

通過假設(shè)對地虛擬電阻［20］，節(jié)點j（j=1，2，3）的電壓可定義為

式中：RN為假設(shè)的對地虛擬電阻值。

綜合前文推導(dǎo)得到的基于構(gòu)網(wǎng)型變流器和基于跟網(wǎng)型的子系統(tǒng)模型以及系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型、節(jié)點電壓定義，可以得到整個孤島微電網(wǎng)的小信號模型為

式中：AW為該孤島微電網(wǎng)模型的狀態(tài)矩陣。

2 孤島微電網(wǎng)小信號穩(wěn)定性分析

2.1 全階小信號模型分析

通過判斷小信號模型特征值的符號可以直觀得到系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性。若小信號模型的特征值實數(shù)符號均為負(fù)，則系統(tǒng)為小信號穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)為小信號不穩(wěn)定。系統(tǒng)參數(shù)見表1，參數(shù)的計算和取值可參考文獻(xiàn)［21］。根據(jù)式（24）的小信號模型及系統(tǒng)參數(shù)可以得到特征值分布，如圖4 所示。由圖4 可以看出，系統(tǒng)的特征值均位于復(fù)平面左半平面。因此，在給出的參數(shù)及工作點下，該孤島微電網(wǎng)為小信號穩(wěn)定。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

圖4 系統(tǒng)特征值分布Fig.4 Eigenvalue distributions of the system

此外，本文引入了參與因子法分析系統(tǒng)狀態(tài)變量與特征值之間的關(guān)系。參與因子的定義為

式中：λi為模型第i個特征值；akk為AW矩陣的對角元素；pki為第k個狀態(tài)變量對第i個特征值的參與因子。

根據(jù)式（25）計算可知，圖4 中組1 的特征值與構(gòu)網(wǎng)型和跟網(wǎng)型變流器的內(nèi)環(huán)電流控制器有關(guān)，組2 的特征值與各變流器外環(huán)電壓控制器以及LCL 濾波器有關(guān)，而組3的特征值與CPL 的功率、構(gòu)網(wǎng)型變流器中下垂控制系數(shù)以及線路阻抗有關(guān)。由于組1和組2 的特征值距離復(fù)平面中虛軸較遠(yuǎn)，其動態(tài)過程衰減較快，因此對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較小。而組3 的特征值距虛軸較近，說明恒下垂系數(shù)、線路阻抗及負(fù)荷功率對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大，在其設(shè)計不合理的情況下，組3特征值可能到達(dá)復(fù)平面右半平面，系統(tǒng)會出現(xiàn)小信號不穩(wěn)定的情況。

由于下垂系數(shù)的絕對數(shù)值較小，對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大且調(diào)值裕度小，因此，本文將著重分析下垂系數(shù)的選取對系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性的影響。其余狀態(tài)變量或參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響可利用相同的方法進(jìn)行分析。

2.2 下垂系數(shù)的影響分析

圖5 顯示了組3 中一對共軛復(fù)數(shù)特征值λ1，λ2在mp變化下的變化軌跡?？梢钥闯觯趍p從1.0 ×10-4變化到5.0 × 10-4的過程中，λ1，λ2逐漸向虛軸靠近，并在mp= 4.6 × 10-4時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。mp＞4.6 × 10-4時，將大概率使λ1，λ2越過虛軸到達(dá)右半平面，造成系統(tǒng)的小信號不穩(wěn)定。

圖6 顯示了nq逐漸從6.0 × 10-5變化到2.0 ×10-4的過程中，組3 中一對共軛復(fù)數(shù)特征值λ3，λ4的變化軌跡。從圖6 可以看出，nq＞1.5 × 10-4時，λ3，λ4將到達(dá)復(fù)平面右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

圖6 nq變化對特征值的影響Fig.6 Impact of nq on the eigenvalue

通過以上分析可知，構(gòu)網(wǎng)型變流器中較大的mp和nq可能導(dǎo)致系統(tǒng)小信號不穩(wěn)定。為保障該孤島微電網(wǎng)小信號穩(wěn)定，mp的上界取值為4.6 × 10-4，nq的上界取值為1.5 × 10-4。值得注意的是，本文通過遞增下垂系數(shù)的方法得到的數(shù)值上界非解析值，可通過調(diào)整遞增精度得到更精準(zhǔn)的上界值，但本文得到的結(jié)果已滿足實際應(yīng)用需求。

3 仿真驗證

在Matlab/Simulink 中搭建該孤島微電網(wǎng)的開關(guān)模型，并通過時域仿真結(jié)果驗證分析的準(zhǔn)確性。

本文設(shè)計了2個操作情景來分別驗證上節(jié)中得到的mp和nq取值上界。情景1 中，mp在0 — 0.1 s的值為4.4 × 10-4，0.1 s 后增加到4.7 × 10-4。從圖7 的仿真結(jié)果可以看出：0 —0.1 s 系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，0.1 s后，基于跟網(wǎng)型系統(tǒng)直流母線的電壓和系統(tǒng)頻率均振蕩增大，說明系統(tǒng)失穩(wěn)；0.1 s 時系統(tǒng)頻率出現(xiàn)階躍變化，這是由于mp的改變同時改變了構(gòu)網(wǎng)型變流器的輸出頻率。該仿真結(jié)果證明了上節(jié)分析得到的mp上界值的準(zhǔn)確性。

圖7 情景1仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of scenario 1

情景2 的仿真目的是驗證nq取值上界的準(zhǔn)確性。0— 0.1 s，nq為1.3 × 10-4，0.1 s 后變?yōu)?.7 ×10-4。從圖8 可以看出，系統(tǒng)在nq= 1.7 × 10-4時失穩(wěn)，驗證了上文分析得到的nq取值上界的有效性。

圖8 情景2仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of scenario 2

4 結(jié)論

本文研究了基于構(gòu)網(wǎng)型變流器和跟網(wǎng)型變流器并考慮CPL 的孤島微電網(wǎng)小信號穩(wěn)定性。通過特征值分析法和參與因子法，研究了構(gòu)網(wǎng)型變流器中下垂系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并得到其取值上界。本文主要結(jié)論如下。

（1）建立了包括構(gòu)網(wǎng)型和跟網(wǎng)型變流器及CPL的孤島微電網(wǎng)全階小信號模型，該模型充分考慮了變流器與系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)及負(fù)荷間的交互；本文建?；谝粋€特定的微電網(wǎng)，但建模方法適用于其他包含構(gòu)網(wǎng)型和跟網(wǎng)型變流器的微電網(wǎng)。

（2）通過特征值分析法和參與因子法揭示了系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及主要的狀態(tài)變量對穩(wěn)定性的影響，可為調(diào)節(jié)其他系統(tǒng)參數(shù)或控制參數(shù)提供參考。

（3）本文以下垂系數(shù)的設(shè)計為例，通過特征值軌跡分析，得出較大的下垂系數(shù)會導(dǎo)致系統(tǒng)小信號不穩(wěn)定的結(jié)論，并得到了下垂系數(shù)的數(shù)值上界。

限于篇幅，本文僅分析了下垂系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。根據(jù)小信號分析的結(jié)果，CPL 及線路阻抗也對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響，需要通過小信號分析給出合理取值范圍。此外，當(dāng)系統(tǒng)受到大擾動時，小信號分析不能預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定性，在這種情況下，應(yīng)該采用大信號穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。